1、2018 届辽宁省部分重点中学协作体高三模拟考试数学（理）试题一、单选题1设集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：化简集合 A 与集合 B，然后求二者的并集.详解：由题意可得： ， 故选：D点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解;在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2设复数 满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用复数的运算法则化简复数 ，进而求出其共轭.详解：由 ，得故选
2、：B点睛：复数的除法:除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式3已知 是 所在平面内一点，且 ， ，则 （ ）A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意 ， 明确 与 具体的关系，即可得到 的值.详解： , ，故选：C点睛：本题考查了平面向量的加减及数乘运算，解题的关键把多个向量的关系转化为两个变量的关系即可，类似“减元”思想.4把不超过实数 的最大整数记作 ，则函数 称作取整函数，又叫高斯函数.在 上任取 ，则 的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用新定义明确 的 的范围，再由几何概型公式求概率即可.详解：当 时
3、， ，所以 ，所以当 即 时， ，当 即 时， ，所以当 时， ，故所求的概率故选：D点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何 概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率5执行如图所示的程序框图，则 的值变动时输出的 值不可能是（ ）A. B. 9 C. 11 D. 13【答案】C【解析】分析：由题意模拟程序的运行
4、，考查可能的输出结果，据此即可求得最终结果.详解：运行程序 x=2，2 是偶数，x=3，3 不是偶数，x=5，输出 5 或执行程序；不满足条件，x=6，6 是偶数，x=7 ，7 不是偶数，x=9，输出 9 或执行程序；不满足条件，x=10，10 是偶数，x=11 ，11 不是偶数，x=13，输出 13 或执行程序；不满足条件，据此可知，输出的 值不可能是 11.本题选择 C 选项.点睛：本题主要考查流程图知识与程序运行等知识，意在考查学生的分析问题和计算求解能力.6已知点 是双曲线 ： 的左，右焦点，点 是以 为直径的圆与双曲线 的一个交点，若 的面积为 4，则双曲线 的渐近线方程为（ ）A.
5、 B. C. D. 【答案】C【解析】分析:利用双曲线定义及勾股定理布列方程，由面积值，即可求出 的值，进而求出双曲线 的渐近线方程.详解：由点 P 是以 为直径的圆与双曲线 的一个交点，可得 ，设，则 ,所以 的面积为，所以双曲线 C 的渐近线方程为故选：C点睛：本题考查了双曲线的定义及简单的几何性质，本题解题的关键是利用， 的关系整体代换得到 的等量关系.7如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 28【答案】A【解析】分析：由三视图可得该几何体为三棱柱，分别计算各面的面积即可.详解：由三视图可知，该几何体的下底面长
6、为 4，宽为 2 的矩形，左右两个侧面为底边为 2，高为 的三角形，前后两个侧面是底边为 4，高为 的平行四边形，所以该几何体的表面积为：.故选：A点睛：点睛:空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用8已知定义域为 的函数 满足 ，且 时， ，若且 ，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意明确 的单调性及对称性，然后即可解抽象不等式.详解：由 ，可知 的图象关
7、于直线 对称，由 时， ，可知 在 上是增函数，设 ，则 是偶函数，且 在上是增函数，所以故选：B点睛：对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若 为偶函数，则 ，若函数是奇函数，则 9已知实数 满足约束条件 ，若 ， 的取值范围为集合 ，且，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先作出可行域，明确最值在顶点处取到，把问题转化为不等式组的问题.详解：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中 的最值一定在顶点处取到，所以 ，解得
8、：故选：A点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.10已知数列 满足 ，且数列 是以 8 为公差的等差数列，设 的前 项和为 ，则满足 的 的最小值为（ ）A. 60 B. 61 C. 121 D. 122【答案】B【解析】分析：由数列 是以 8 为公差的等差数列得到 的通项，然后利用裂项相减法求出 ，进而解不等式即可.详解：由 ，得 ，所以 ，所以
9、 ，所以 ，即 ，所以 ，因为 ，所以 ， ，由 得所以 .故选：B点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：（1）已知数列的通项公式为 ，求前 项和： ；（2）已知数列的通项公式为 ，求前 项和：；（3）已知数列的通项公式为 ，求前 项和:.11已知 ，若直线 与 的图象有 3 个交点，且交点横坐标的最大值为 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：直线 与 的图象有 3 个交点即直线与 的图象相切（如图所示） ，利用导数的几何意义布列方程即可.详解：,作出直线 与 的图象，显然直线 为 的图象在 处的切线，且 ，由切线斜率 得 ，所以故选：B点睛：本题考查了
10、导数的几何意义，是一道易错题，在本题中要明确 A 是定值并不是变量，所以我们是判断 A 在不在选项的范围内，而不是求 A 的范围.12在三棱锥 中， ，则三棱锥 外接球的体积的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：外接球体积最小即球的半径，利用均值不等式有，从而得到外接球体积的最小值.详解：由 得ABDACD ，所以 ACCD，所以 AD 中点 O 为三棱锥A 外接球的球心，其球的半径 ,所以三棱锥A 外接球的体积 故选：C点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，
11、注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 二、填空题13已知 ，若 ，则实数 的值为_.【答案】1【解析】分析：由分段函数具体化 ，从而解得实数 的值.详解： ， 由 得 ，即 所以.故答案为：1点睛：本题考查了分段函数的简单应用，解题关键明确 的范围，从而得到具体的方程，解之即可.14已知 的展开式中所有偶数项系数之和为 496，则展开式中第 3 项的系数为_.【答案】270【解析】分析：利用赋值法得到 两式相减即可建立关于 n 的方程，解得 n 值，进而得到第 3 项的系数.详解：设取 得， ，取 得，
12、 ，所以所有偶数项系数之和为 ，即 ，所以 ，因此展开式中第 3 项的系数为 .故答案为：270点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 r1 项，再由特定项的特点求出 r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 r1项，由特定项得出 r 值，最后求出其参数.15已知 是椭圆 上关于原点对称的两点，若椭圆 上存在点 ，使得直线 斜率的绝对值之和为 1，则椭圆 的离心率的取值范围是_ .【答案】【解析】分析：由 是椭圆 上关于原点对称的两点，易知 斜率之积为定值，结合均值不等式即可建立关于 的不等式，从而
13、得到椭圆 的离心率的取值范围.详解：不妨设椭圆 C 的方程为 , ,则 ，所以 ，,两式相减得 ，所以 ，所以直线斜率的绝对值之和为 ，由题意得， ，所以=4 ，即 ，所以 ，所以 .故答案为：点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c 的方程或不等式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.16已知四边形 中， ，设 与 面积分别为 ，则的最大值为_ .【答案】【解析】分析：利用余弦定理推 ，求出 的表达式，利用二次函数以及余弦函数的值的范围，求
14、的最大值即可详解：因为 ，所以 ，在ABD 中，由余弦定理可得， ，作 CEBD 于 E，因为，所以，所以，当 时， 的最大值为 .故答案为：点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得三、解答题17已知数列 满足 ， ，设 .（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 .【答案】() ；() .【解析】分析：（1）由 ， 可知 ，从而得到数列的通项公式；（2） ，利用错位相加法求出数列 的前 项和 .详解：() 由 ,得 ，代入 得，即 ，所以数列 是公差为 3 的等差数列，又 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 .() 由 得 ，所以 ，
