1、2018 届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第八次模拟考试数学（理）试题考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 命题：高三数学备课组第卷（选择题共 60 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知 ， ，则UR2|30AxUAA. B. C. D.|31x1|3x|13x2.已知复数 在复平面上对应的点为 ，则z()Z，A. B. C. D. 是纯虚数2i|5z2i2z3.如图，半径为 1 的圆内有一阴影区域，在圆内随机撒入一大把豆子，共 颗，其中，落在阴影n区域内的豆子共 颗，则阴影区域的面积约为mA. B. C.
2、D.nnm4.执行如图所示的算法，则输出的结果是A. B C D154325.已知向量 ， ，若向量 在 方向上的,2a,2btba正射影的数量为 ，则实数3A. B. C. D.156.若公差为 的等差数列 的前 项和为 ，则2na9981S2018aA. B. C. D.40354037437.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B.C.D.61928.设 的三个内角 所对的边分别为 ，A、 、 abc、 、如果 ，且 ，那么 外()()3abcabc3ABC接圆的半径为A 1 B C. 2 D49.已知定义在 上的偶函数 在 上单调递增，则函数 的解析式不可能是,25a
3、()fx0,25a()fxA B C. D()fx|()f()fx()log|2af10. 展开式中 项的系数为5yz2xyzA30 B40 C. 60 D120s=0,n2开 始 +1Mn2s=logQ?否 是 输 出 s结 束1侧侧侧11211.已知双曲线的两个焦点为 、 ， 是此双曲线上的一点，且满足 ，10F， 210， M120MF，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为12MFA3 B C D13212.如图，已知直线 与曲线 相切ykx()yfx于两点，函数 ，则函数()gmFg()fxA.有极小值，没有极大值 B.有极大值，没有极小值C.至少有两个极小值和一个极大值D.至少有
4、一个极小值和两个极大值第卷（非选择题共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 满足不等式组 ,则 的最小值是 ,xy21yx4zyx14.已知数列 的前 项和为 ， ， ， ,则 nanS1a12nSanS15.甲、乙、丙三人玩摸卡片游戏，现有标号为 1 到 12 的卡片共 12 张，每人摸 4 张甲说：我摸到卡片的标号是 10 和 12； 乙说：我摸到卡片的标号是 6 和 11；丙说：我们三人各自摸到卡片的标号之和相等据此可判断丙摸到的编号中必有的两个是 16.在四面体 中， ， ，且 与平面 所成角的余ABCD4BC,DABCDABC弦值为 ，
5、 则该四面体外接球的表面积为 63三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分 12 分)将函数 的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，yfx12可以得到函数 的图象.cos2()求 的值；f()求 的单调递增区间.()x18.(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 中，底面 是长方形，PABCDAB， ， ,点 为线段 的22ADC5=120EPC中点，点 在线段 上，且 FF（）平面 平面 ；PABC（）求二面角 的余弦值.E19.(本小题满分 12 分)某钢管生产车间生产一批钢管(大
6、量） ，质检员从中抽出若干根对其直径（单位： ）进行测量，得m出这批钢管的直径 服从正态分布 当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为 ，X65,4.8N 73他立即要求停止生产，检查设备，（）请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；（）如果从该批钢管中随机抽取 100 根，设其直径满足在 的根数为随机变量 ，60.m5（i）求随机变量 的数学期望；（ii）求使 取最大值时的整数 k的值()Pk附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ， Z2(,)ZN()0.682PZ， (22)0.95433)0.974P20.(本小题满分 12 分)已知函数 .ln1axfxR（）讨
7、论函数 的单调性；（）若 有两个极值点 ，证明: .fx12,x1212fxfxf21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 的左右顶点分别为 ， .来源:C：214xy1A2（）求椭圆 的长轴长与离心率；（）若过定点 且不垂直于 轴的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，直线 与(,0)ylCPQ1AP交于点 .求证：当直线 转动时，点 在定直线上.2AQMlM请考生在 2223 中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本小题满分 12 分)【选修 44：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 为参数 在以原点 为极点， 轴正xOyl13,xty()Ox半轴为极轴的
8、极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 C2cos（）求直线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；l（）设 与 交于 两点，求 ,PQO23.(本小题满分 12 分)【选修 4-5: 不等式选讲】已知定义在 上的函数 . .存在实数 使 成立.Rxkxf2N0x2f（）求实数 的值;k（）若 ， 且求证 ，求证 .21mn10nfm3169nm东北育才学校高中部 2018 届高三第八次模拟数学答案（理科）一、选择题1.B 2.D 3.C 4.A 5.A 6.B 7.D 8.A 9.B 10.D 11.D 12.C二、填空题13. 14. 15.8 和 9 16.5n13()24三、解答题17.()将
9、函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，得到函数 的图象，再将所得cosyx 12cos4yx图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象， . 12cos4cos43yxx3f4 分6 分cos4cos3f ()令 2kx2k解得 116所求单调递增区间为 12 分1k,kZ26218.（1） ， ， ， ， ，65.358.4371.63，184710.97. .22PXPX此事件为小概率事件，该质检员的决定有道理 4 分（2 ） （i ） ， ， ，65.60.由题意 (22)0.954(2) .72PXPX， 根 8 分10,.47B:1.47.E（ii） （ 010()C.258k
10、kk设 最大，则 ，即 ，解得()PXk()(1)PXkk0.528.471.k47.19248.1972k因为 ，所以使 取最大值时的整数 12 分*N()PXk48k19.解：（） ， ，又 ，22ADAPDC 平面 ，-3 分DC又 平面 ，B平面 平面 6 分P（）过点 在平面 内作 的垂线交 于点DPCG 平面 ， ADCG平 面 AD 两两垂直， 分别以 、 、,为 、 、 轴正方向建立空间直角坐标系6 分xyz ，13(0,)(,20)(,)(0,),2DCFE113(,0)(,)22DFE设面 的一个法向量 ，E11,nxyz则由 可得 ，不妨令 ，则解得 ，0nFD11023
11、yz13y12,3xz . 8 分123(,)n，3(,0),(,)2CFE设面 的一个法向量 ，2,nxyz则由 可得 ，不妨令 ，则解得 ，0nFCE2230yz2y23,xz 10 分2(3,)n 11 分12123457cos,|9n经观察二面角 的平面角为钝角， 二面角 的余弦值为DFECDFEC357912 分20.解：（） ， ；221()()1() (0)axxaf x2()4()aa当 时， ， 在 上单调递增；4a0f()f,)当 时， 在 上单调递增，在 上单()fx24,a2(4)2(4)(,aa调递减，在 上单调递增；6 分()(,2（）由（）知： ， 且 ，4a11
12、2,xax，2121212()()()lnfxf a而 ，12 12()()lln()2aaff，得1212()(ln()xfxfaf ha14()02(2)aa在 上为减函数，又 ，)ha4,)(4)0h即 ；则 .12 分(01212()(xfxff21.解：（）椭圆 的方程可化为 , C24y所以 . 2,abc所以长轴长为 ，离心率 4 分42.cea（）方法 1：证明：设直线 :1PQxky联立 ，得214xky2()30kyk设 联立，则 （1）12(,)(,)PxyQ12123,yk又 1122:,:()AxAyx联立得212121212 12()()()()Mykykyy（2）
13、1223kyy由（1）得 （3）121263()ky将（3）代入（2）得 121212()Myyx12643y所以点 在定直线 上4x方法 2：22.解法一：（1）由 得 的普通方程为 ， 1 分13,xtyl31xy又因为 ，所以 的极坐标方程为 .3 分cos,inxylcosin3由 得 ，即 ， .4 分22s2xy所以 的直角坐标方程为 .5 分C20（2 ）设 的极坐标分别为 ，则 .6 分,PQ12,12POQ由 消去 得 ， .7 分cos3in3, cos3sin3化为 ，即 ， .8 分s2i sin26因为 ，即 ，所以 ，或 ， .9 分02， 7+6， 263263即
14、 或 所以 .10 分12,412,12=POQ解法 2：（1 ）同解法一 .5 分（2 ）曲线 的方程可化为 ，表示圆心为 且半径为 1 的圆 .6 分C21xy1,0C将 的参数方程化为标准形式 (其中 为参数 )，代入 的直角坐标方程为l3,12tyt得， ，20xy33102ttt整理得， ，解得 或 .8 分2t0t1t设 对应的参数分别为 ，则 所以 ， .9 分,PQ12,2PQt 60PCQ又因为 是圆 上的点，所以 .10 分OC30CO解法 3：（1 ）同解法一 .5 分（2 ）曲线 的方程可化为 ，表示圆心为 且半径为 1 的圆 .6 分21xy1,又由得 的普通方程为 ， .7 分l30则点 到直线 的距离为 ， .8 分Cl2d所以 ，所以 是等边三角形，所以 ， .9 分21PQPCQ 60PCQ又因为 是圆 上的点，所以 10 分O302O23.解： 存在实数 使 成立，0xfminxf，则kx2k2k2minkxf解得 ， ， 5 分N1(II)证明：由（1）知， ， ， ，xxf212n，同理，mf212114m14nf， ，即0n04n3n93913 369210nm当且仅当 ，又 ，得 ， 时取等号.10 分nm4m3n
