1、辽宁省大连市 2018 届高三第二次模拟考试试卷文科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合 1,23A，则集合 A的子集个数是（ ）A6 B7 C8 D92.复数 zi，则 z（ ）A1 B 2 C2 D43.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A12 B18 C24 D364.设等比数列 na的前 项和为 24,3,15nS，则 6S（ ）A27 B31 C63 D755.在社会生产生活中，经常会遇到这样的问题:某企业生产甲、
2、乙两种产品均需用 ,AB两种原料.已知生产1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 4 万元、6 万元，问怎样设计生产方案，该企业每天可获得最大利润？我们在解决此类问题时，设 xy、 分别表示每天生产甲、乙产品的吨数，则 xy、 应满足的约束条件是（ ）A03521xyB03521xyC03521xyD03521xy6.下列函数中，既是偶函数，又在 ,0上单调递增的是（ ）A 21fx B 21logfx C 2xf D cosfx 7.双曲线 20,:yabC的左焦点为 F，虚轴的一个端点为 B， P为双曲线 C右支上的一点，若 FBP，则双
3、曲线 的离心率是（ ）A 2 B 3 C2 D 5 8.下面四个命题：1p：命题“ 2,nN”的否定是“ 020,nnN”；2:向量 ,1,amb，则 m是 ab的充分且必要条件；3p：“在 ABC中，若 ，则“ siniAB”的逆否命题是“在 ABC中，若 siniAB，则“”；4：若“ q”是假命题，则 p是假命题.其中为真命题的是（ ）A 12,p B 23, C 24,p D 13,p 9.已知 sinco,0xax，若 1a，则 x的取值范围是（ ）A 0,2 B ,22 C 0,2 D37,410.设椭圆2:1xCy的左焦点为 F，直线 :0lykx与椭圆 交于 ,AB两点，则 F
4、B的值是（ ）A2 B 23 C4 D 43 11.关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验.受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计 的值，试验步骤如下：先请高二年级 500 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对 (01, )xyy；若卡片上的 ,xy能与 1 构成锐角三角形，则将此卡片上交；统计上交的卡片数，记为 m；根据统计数 m估计 的值.假如本次试验的统计结果是 13m ，那么可以估计 的值约为（ ）A 387125 B 351 C 389125 D 3521 12.已知 fx是定义在 ,上的函数， fx为 f的导函数，且满足 10fxfx，则下列结
5、论中正确的是（ ）A 0fx恒成立 B 0fx恒成立C 1f D.当 ,1时， 0fx；当 1,时， 0fx第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.某班共有 36 人，编号分别为 1，2,3,，36.现用系统抽样的方法，抽取一个容量为 4 的样本，已知编号 3、12、30 在样本中，那么样本中还有一个编号是 14. 执行如图所示的程序框图，输出的 s值为 15.已知圆锥的底面直径为 1，母线长为 1，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为 16.已知数列 na的前 项和为 nS，若 123,2nnaa， 3132,nna，则 30S (
6、用数字作答)三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 ABC中， 23， D是 BC边上的一点.（1）若 1,D，求 的长；（2）若 20，求 A周长的取值范围.18.某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查.在使用华为手机的用户中，随机抽取 100 名，按年龄(单位:岁）进行统计的频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数的估计值(均精确到个位）；（2）在抽取的这 100 名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取 20 人参加华为手机宣传活动，再从这
7、20 人中年龄在 30,5和 4,0的人群里，随机选取 2 人各赠送一部华为手机，求这 2 名市民年龄都在,内的概率.19.如图，在三棱柱 1ABC中， ABC和 1均是边长为 2 的等边三角形，平面 1AC平面ABC，点 O为 中点.（1）证明： 1AO平面 BC；（2）求三棱锥 1的体积.20.已知抛物线 2:0ypx的焦点为 F，点 M的坐标为 6,4，点 N在抛物线 C上，且满足23OFNM，（ O为坐标原点）.（1）求抛物线 C的方程；（2）过点 作斜率乘积为 1 的两条不重合的直线 12l、 ，且 1l与抛物线 C交于 ,AB两点， 2l与抛物线 C交于 ,DE两点，线段 ,ABD
8、E的中点分别为 ,GH，求证：直线 GH过定点，并求出定点坐标.21.已知函数/ sinxfae，其中 R.（1）当 a时，求曲线 yfx在 0处的切线方程；（2）)若函数 fx在区间 0,2内恰有一个极大值和一个极小值，求实数 a的取值范围. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 2cos3inxy（ 为参数） ，直线 l经过点 1,P，斜率为34，直线 l与曲线 相交于 ,AB两点.（1）写出曲线 C的普通方程和直线 l的参数方程；（2）求 PA的值.23.选修 4-5
9、：不等式选讲关于 x的不等式 122xm的解集为 R.（1）求实数 的值；（2）若 ,0abc，且 abc，求证： 3abc.试卷答案一、选择题1-5: CBDCC 6-10: BDBAC 11、12：AA二、填空题13. 21 14. 2 15. 34 16.75三、解答题17.解：（）在ADC 中，AD1，AC2 ，3所以 | | |cosDAC12 cosDAC3, 所以 cosDAC .AD AC AD AC 3 32由余弦定理得 CD2AC 2AD 22ACADcosDAC12122 1 7，332所以 CD . 7（）(法一)：在ABC 中 由正弦定理得234sinisiniABC
10、B4(i)sin()4sin()33AAA30,sin(,132.4BCA的周长为 ,3 （法二）在 中，由余弦定理可得，222cosAB即1()BC2 212()CA当且仅当 时不等式取等号.所以 16AB，即 4ABC又 23BAC所以 23,4BC， 的周长为 43,2 18. 解：() 平均值的估计值7.501.07.5.067.5038.59x（ ）中位数的估计值：因为 .4.2.， .2.4所以中位数位于区间 35,0年龄段中，设中位数为 x，所以 05.7350.x， 39x. () 用分层抽样的方法，抽取的 20 人，应有 4 人位于 3,年龄段内，记为 124,a，2 人位于
11、45,0年龄段内，记为 12,b. 现从这 6 人中随机抽取 2 人，设基本事件空间为 ，则12131411232234141412,aaabbb 设 2 名市民年龄都在 05为事件 A，则121314232434,Aaaa，, 所以 6()5P. 19. （）证明：AA 1=A1C，且 O 为 AC 的中点，A 1OAC，又平面 AA1C1C平面 ABC，且交线为 AC，又 A1O平面 AA1C1C，A 1O平面 ABC（）解：（法一） BCBS11, OCV11,又 BO11,由（）知点 到平面 A的距离为 O13,又,OBCS1322 BV1 13, OBCOB112. （法二） OBC
12、OBV11 COBBOCV111, 由方法一易知， 1B 到平面 AC的距离为 3， BOC的面积为 32，故 11 132COBBCV20. （）解： FMNOF32，点 M 的坐标为(6,4)，可得点 N 的坐标为(9,6)，3618p，p2，所以抛物线 C 的方程为 y24x. （）证明:由条件可知，直线 l1，l 2的斜率存在且均不能为 0，也不能为 1、-1设 l1：yk(x6)4，则 l2的方程为 y (x6)4，将 l1方程与抛物线方程联立得ky24y1624k0，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y1y 2 ，又 y1y 2k(x 1x 212)8， x 1x
13、284k，点 G 的坐标为),64(2kk，用 代替 k，得到点 H 坐标为(2k24k6,2k)， 214)1(22 kkk（GH 方程为：y2kkx(2k 24k6) 整理得 ()kyx124令 y0，则 x4，所以直线 GH 过定点(4,0) 21.解：（） 当 1a时， cosin1xfe， 02,0ff，所以切线方程为： 2yx（）令 cosinxgxfae，则 fx在 0,2恰有一个极大值和一个极小值可以转化为 gx在 0,2有两个变号零点.2cosxge， 30,， 0,2gx或 32x.23 3()2 2();3.8xgaeg 所 以 在 （ ， ） 上 单 调 递 减 ， 在
14、 （ ， ） 上 单 调 递 增 ， 在 （ ， ） 上 单 调 递 减在 处 取 到 极 小 值在 处 取 到 极 大 值 分 222(0)1,();()0,(,20.10.1gaaegxe又 要 想 使 恰 有 两 个 变 号 零 点 ，只 需 满 足 即 可 分所 以 分22.解： （）曲线 C： cos()3inxy为 参 数则22 2csi13xy，即2143xy直线 l的参数方程为： 531xty为 参 数（直线 l参数方程的其他形式请酌情给分）（）直线 l： 4531xty为 参 数，将直线 l代入2143xy中，得 2840tt 由于 13，故点 (,)P在椭圆的内部，因此直线 l与曲线 C的交点 ,AB位于点 P的两侧，即点,AB所对应的 t值异号.设点 A的对应值为 1t，点 B的对应值为 2t，则 1207t， 12584t 故 121207Ptt 23 （）解： xm ， ()()xm221，整理得: xm236410,由题可得： ()()22364，即 ()210， m（）证明：abc1，ab2 ，bc2 ，ca2 ，ab bc ca cab1，( )2abc2 2 2 ，a b c ab bc ca( )23，a b c所以 (当且仅当 abc 时取等号)成立 a b c 313
