1、辽宁省重点高中协作校第三次模拟考试数学（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ，则 ( )|12,|2AxBxABA B C D-2， -， -4+， -，2.若复数 ，则 ( )53izzA1B C D23.已知 上的奇函数 满足：当 时， ，则 ( )R()fx02()log(1)fxx(7)fA1B-1C-2D24.某中学有高中生 3000 人，初中生 2000 人，男、女生所占的比列如下图所示，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该学校学生中抽取一个容量为 的样本，
2、已知从高中生中抽取女生 21 人，则从初中生n中抽取的男生人数是( )A12 B15 C. 20 D215.已知等差数列 中， ，则 ( )na1020173,S102aA1 B3 C.5 D76.已知实数 满足 ，则 的最大值与最小值之和为( ),xy402y5zxyA-21 B-1 C.-2 D17.将函数 的图象向右平移 个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍，1()cosfxx6得到函数 的图象，则 ( )()ygx34gA B C. D32212128.下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著数书九章中的“中国剩余定理”.已知正整数被 3 除余 2，被 7 除余
3、 4，被 8 除余 5，求 的最小值.执行程序框图，则输出的 ( )n nnA62 B59 C.53 D509.已知三棱锥 中， 平面 , ， ，则三棱锥PACBAPC42,2BPACA外接球的表面积为( )A B C. D283648710.某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为 1，则该几何体的体积为( )A B C. D42083421633208321611.已知双曲线 的离心率 ，对称中心为 ，右焦点为 ，点 是2x:(0,)yCabeOFA双曲线 的一条渐近线上位于第一象限内的点， 的面积为 ，则双曲线 的,AOFAF3C方程为( )A B C. D2136xy213xy214
4、xy2193xy12.设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最大值是( )0me2ln0mxeA B C. De3e第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知向量 ，若 ，则 (,0)(1,3)atb4abA2ab14.若 的展开式中 的系数为 80，则 25(3xxx15.已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则nanS36728543a16.已知抛物线 的焦点为 为坐标原点，点 ，射线2:(0)Cxpy,FO(,)(1,)2pMN分别交抛物线 于异于点 的点 ，若 三点共线，则 ,MONAB, 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 7
5、0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在 中，内角 的对边分别为 ，已知 .ABC, ,abcsincosincosinACBa(1)证明： ；bca(2)若 ，求 边上的高.13,os6AC18.2018 年 2 月 22 日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子 500 米比赛中,中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌,也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子 500 米的比赛规则,运动员自出发点出发进入滑行阶段后,每滑行一圈都要依次经过 4 个直道与弯道的交接口 .已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率
6、均为(12,34)kA,摔倒的概率均为 .假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行,现在用 表示该运动员在滑行最31 X后一圈时在这一圈内已经顺利通过的交接口数.(1)求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过 3 个交接口的概率；(2)求 的分布列及数学期望 .XEX19.如图，在高为 4 的正三棱柱 中， 为棱 的中点， 分别为棱1ABC3,ABM,DEF上一点，且 .11,AB1,DFED(1)证明： 平面 ；EM(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.20.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 也为抛物线 的21:(0)8xyCb12,F2:8Cyx焦点.(1)若 为椭圆 上两点,且线段 的中点
7、为 ,求直线 的斜率；,MN1MNMN(2)若过椭圆 的右焦点 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 和 ,设线段 的长分别为C2F,ABCD,AB，证明 是定值.,mn21.已知函数 的图象在与 轴的交点的切线方程为 .32()6(,)fxaxbRx918yx(1)求 的解析式；(2)若 对 恒成立，求 的取值范围.21()(90kxfxk(2,5)xk请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线 的参xOyx l数方程为 （ 为参数） ，曲线 的
8、极坐标方程为 .25,xtyC2cos8in(1)求曲线 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；C(2)若直线 与曲线 的交点分别为 ，求 .l ,MN23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 .()|5|3|fxx(1)解关于 的不等式 ；()1f(2)记函数 的最大值为 ，若 ，求 的最小值.()fxm40,abameAb辽宁省重点高中协作校第三次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题1-5: CBDAD 6-10: BACBA 11、12：DC二、填空题13. 14.-2 15. 16.22,616三、解答题17.（1）证明：因为 ，sincosinscosinBACAB所以 ，sinc
9、oC所以 ，iA故 .ab(2)解：因为 ，3,cab所以 .2109,os6C又 ，所以 ，解得 ，c2b1b所以 ，3,1a所以 边上的高为 .AC2359()18.解：(1)由题意可知： .31746P(2) 的所有可能值为 .X0,2则 ，且 相互独立.3()1)4kPA1234,A故 ，(，12()416X，239(PA，31247(3)5.43814(26X从而 的分布列为X0 1 2 3 4P1436964275681256所以 .97815()2452EX19.(1)证明：在正三棱柱 中，1ABC平面 ，则 ，1A1M为 的中点， .,CB又 平面 ， .11ABCBD平面 .
10、,MEDE(2)解：以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，Cxyz则 .33331(0,)(,0)(,1),(,0)(,4)2222FBD易得 ,(,1),(0)CFCM设平面 的法向量为 ，,nxyz则30,2nxCMA取 ，则 .3z(0,3)n，,24BD直线 与平面 所成角的正弦值为 .CF|8465|cos, 1320nBDA20.解：因为抛物线 的焦点为 ，所以 ，故 ，2:8Cyx2,0284b2所以椭圆2:184x(1)设 ，则12,MxyN212,84,xy两式相减得，12121212084xxyy又 的中点为 ，所以 .MN,1212,x所以 .21yx显然，点 在椭
11、圆内部，所以直线 的斜率为 ., MN12(2)椭圆右焦点 .2(,0)F当直线 的斜率不存在或者为 0 时， .AB113842mn当直线 的斜率存在且不为 0 时，设直线 的方程为 ,AB(2)ykx设 ，联立方程得12,xy2(),8ykx消去 并化简得 ，2()80kx因为 ，222(8)4(1)83(1)0kkk所以 .12122(,xx所以 .222114()kmk同理可得 .24()n所以 为定值.22113()8km21.解：(1)由 得 切点为 .980x,x(,0)， .2()31fa322661bfxx又 ， .4,()6(2)由 得 ，()9fxk32()9fxx设 ，
12、 对 恒成立，3261g 2(4)3()0gx(,5)x在 上单调递增， .()x,55)k，32389(2(fxx由 对 恒成立得 对 恒成立，21()0kxf,52129130()xkx2,5设 ， ，213()(5)xhx2213()xh当 时， ， 单调递减， ，即 .5130)0,h16(5)0kh12k综上， 的取值范围为 .k9,222.解：(1)因为 ，所以 ，cos8in2cos8in即 ，28xy所以曲线 表示焦点坐标为 ，对称轴为 轴的抛物线.C0,2y(2)直线 过抛物线的焦点 ，且参数方程为 （ 为参数） ，l,25xty代入曲线 的直角坐标方程，得 ，C250tt所以 .12125,0tt所以 .21|4MNtt23.解：(1)当 时，由 ，得 ，3x3x7x所以 ；当 时，由 ，得 ，351所以 ；1x当 时，由 ，得 ，无解.3x9综上可知， ，即不等式 的解集为 .x()1f 1,3(2)因为 ，|5|3|53|8x所以函数 的最大值 .()fxm因为 ，所以 .48abaeA4ba又 ，0,所以 ，42ab所以 ，即 .8020ab所以有 .1又 ，所以 ，即 的最小值为 4. ab2,4
