1、第十一章 鲁棒与最优控制,数学基础知识 LQR、LQG问题与 最优控制问题控制理论 线性定常系统的 最优控制问题 小结,11.1 11.2 11.3 11.4 11.5,返回主目录,由此，引出了如何设计一个合理的控制器，当存在不确定性因素的情况下，使系统仍保持良好鲁棒性的问题。鲁棒控制设计的主要思想是在使系统对不确定性的响应的最大值尽量小的前提下，以满足系统的性能指标。,由前面几章可知，最优控制规律的设计，要求必须能够得到系统的精确数学模型，否则，所谓的最优设计全部都是徒劳的。正因为在实际工程中，被控系统不确定性的存在，导致了人们对这一问题的重新认识。,11.1 数学基础知识,本节简要介绍本章
2、内容所涉及到的数学基础知识。为简明起见，假定读者已经具备工科线性代数、矩阵理论和控制理论的基础知识。,在前面的线性代数和矩阵理论等数学课程中，我们已经知道了向量范数和矩阵范数的概念。实际上，矩阵可以看成是向量空间到向量空间的映射。从几何意义上讲，向量的范数表达的是向量的长度；而矩阵的范数则反映了在这种映射过程中，向量长度被放大或缩小的一种“增益”。,返回子目录,因此，一个系统可以看成是从一个函数空间到另一个函数空间的映射，即算子。与向量和矩阵的情况类似，如果在函数空间引入范数的概念来表述信号在某种工程意义上的强度，以此来描述控制系统的性能，那么，系统作为算子时的范数就反映了系统在传递信号过程中
3、的一种“增益”，它是描述系统性能的一个重要手段。,在控制系统中，经常要面临各种信号，这些信号通常可以表示为时域或者频域内的函数。而系统在这些信号激励下的响应，同样也可以表示为各种函数。,11.1.1 信号的范数,1、时域信号,时域信号 可理解为从 到实数 的一个函数，设 是勒贝格可测函数，下面给出关于函数空间的一些定义。,对于正数 ，元素 为勒贝格可测函数，且满足,的函数空间，称为 空间。,其中 空间中，我们常用的函数空间有,定义11-1,：,：,：,其中， 表示真上确界。所谓函数在点集 上的真上确界是指它在 中除某个零测度集外的上确界。对于连续函数，其上确界就是真上确界。,在空间 中，所有对
4、 除去测度为零的集合上函数的全体所构成的集合记为 ，它是 的一个闭空间。因为实际信号均满足 ，所以我们讨论的信号均属于 空间。需要说明的是：对于函数空间中的元素 可以是单个的函数，也可以是向量函数。,对于时域信号 ，我们常用的范数有：,1-范数：,2-范数：,-范数：,应当指出：2范数的平方实际上是对信号能量的一种度量，而范数则是对信号幅值上界的度量。因此， 中的信号属能量有限信号，如单位脉冲信号（幅值不受限）；而 中的信号则属于幅值有限信号，如单位阶跃信号（能量不受限）。,可见， 和 以及 空间并不是完全等价的。,2、频域信号,频域信号 可看成从 的函数，设 为勒贝格可测函数，则有如下定义。
5、,定义11-2 对于正数 ，元素 在上有定义，取值于复数域 的 为勒贝格可测函数，且满足,的空间，称 空间。,常用的 空间有,对于频域信号 ，常用范数有,由于实际中常遇到的频域信号都是 的（真）实有理函数，因此，我们把 和 中实有理函数的全体给出专门的记号，分别记作 和 。,由定义可知， 是在虚轴上无极点的真实有理函数（向量）的全体。,即：,对于线性算子 的范数 可定义,本书中所讨论的系统，若没有特别说明，均是线性时不变有限维因果系统。我们知道，对于一个系统的作用，实际上可看成对信号进行某种变换。因此，可以把系统看作为一种算子。关于算子，也就是指定义在两个函数空间之间的某种映射关系。这里我们主
6、要把系统作为线性算子来处理。,11.1.2 系统的范数,由该定义可知，系统的范数实际上是单变量增益（信号放大倍数）概念在多变量系统中的推广。,有了算子范数的概念，就可以把 和 扩展为有理函数矩阵空间，相应的实有理函数矩阵空间仍分别记为 和 。,11.2.1 LQR问题与 最优控制问题,11.2 LQR、LQG问题与 最优控制问题,一个反馈系统的性能可以用从扰动输入到参考输出之间的闭环增益来衡量。系统的2-范数代表一个平均增益，可被用来作为一个最优控制问题的代价函数。当被控对象被近似给定以后，关于LQR的最优控制问题也就是使闭环系统的2-范数取最小值的最优问题。,返回子目录,最优控制问题将为下面
7、的被控对象找到线性时不变控制器,把LQR问题明确地叙述为一个系统的2-范数最优化问题可以从另一个角度考察LQR问题，并且可以比较容易得到公式来描述系统的频域特性。,使得由被控对象组成的闭环系统稳定，并且使得系统的2-范数最小。,式中 是从扰动输入到参考输出之间的闭环系统的脉冲响应矩阵。上面所示系统的结构图将在下图中给出。符号 源自全局稳定线性时不变系统的hardy空间 ，下标2代表所应用的系统范数。,图11-1 最优控制方框图,上式就等于稳态随机调节器的指标函数。这个输出的均方值也能通过闭环系统的2-范数来得到。,最优控制问题等价于稳态随机调节器。在这个情况下最优反馈增益是时不变的，并使系统稳
8、定。 最优控制问题和稳态随机调节器的等价性可以通过稳态参考输出的均方值来得出。,通过这两个表达式，随机调节器的指标函数可以看作系统2-范数的平方：,假设谱密度矩阵是单位阵。由于平方运算是单调的，使 最小的控制也使 取最小。这样， 最优反馈控制就等于状态反馈控制，在这里，反馈增益是稳态随机调节器增益，或者等价为稳态LQR增益。,11.2.2 LQG问题与 最优控制问题,带有LQR反馈增益的状态反馈能使 指标取最小。这些额外的结果使得LQR解在一个比较宽阔的控制应用领域中变得非常有用。,稳态线性二次型高斯最优控制问题等价于一个 最优控制问题。这个 最优控制问题按如下的方式给出：,图11-2 把LQ
9、G问题作为一个 最优控制问题,给出具有标称干扰输入和参考输出的被控对象：,为了表现出这种等价性，LQG代价函数能用闭环系统2-范数的形式写出：,找到一个反馈控制器，能够使闭环系统内稳定而且使闭环系统2-范数取最小值：,由于平方运算是单调的，使LQG代价函数最小等价于使闭环系统2-范数最小。,LQG问题的 形式表明有可能通过不同的系统范数设计控制器。比如，下面我们将要介绍的无穷范数。,11.3 控制理论,由于各种复杂因素的影响，控制系统本身存在着不确定性。这种不确定性包括数学模型自身的不确定性和外界干扰的不确定性。反馈控制可以克服或减小不确定性的影响，使系统达到要求的性能指标。但是，当系统存在不
10、确定性影响时，所设计的反馈控制器能否使系统达到期望的指标要求，这是一个需要回答的问题。,11.3.1 问题的提出,返回子目录,20世纪30年代开始发展起来的经典控制理论，利用幅频裕度和相频裕度的概念研究反馈系统，使设计的系统在一定范围内变化时能满足所要求的性能。由于充分大的增益裕度和相位裕度，使得系统在具有较大的对象模型摄动时，仍能保证系统性能，并具有抑制干扰的能力。,因此，经典反馈控制本质上是鲁棒的，且方法简单、实用，直至今日，仍在工程设计中得到广泛应用。但是，其不足之处是无法直接用于多输入多输出(MIMO)系统。,20世纪60年代，出现了现代控制理论，提出了许多新的控制理论与方法。这些方法
11、在实际控制系统的设计中并未得到广泛的应用，主要原因是应用这些方法时忽略了对象的不确定性，并对存在的干扰信号作出了苛刻的要求。,如LQG设计方法中要求干扰为高斯分布的白噪声，而在很多实际问题中，干扰的统计特性很难确定；此外，它还要求对象有精确的数学模型。这样，用LQG设计的系统，当有模型扰动时，就不能保证系统的鲁棒性。,针对现代控制理论存在的问题，1981年，Zames提出了著名的 控制思想。他针对一个具有有限功率谱干扰的单输入单输出系统的设计问题，引入了灵敏度函数的 范数作为目标函数，使干扰对系统的影响降到最低限度。,(1) 可以处理LQG优化无法解决的变功率谱干扰 下的系统控制问题;,(2)
12、 范数具有乘法性质 ，这一性质对研究对象不确定影响下，系统的鲁棒稳定性问题相当重要。,采用范数作为性能指标有以下优点：,在基于 控制理论的控制系统设计中，无论是鲁棒稳定还是干扰抑制问题，都可以转化为求反馈控制器使闭环系统稳定且闭环传递函数阵的 范数最小或小于某一给定值。这种同一模式下的 优化问题，即称之为 标准问题。下面我们就来介绍这种目前应用最广泛的 标准问题。,11.3.2 标准问题,设线性定常系统如图11-3所示。其中， 表示输出信号，是应设计需要而定义的评价信号， 表示外部干扰输入信号，包括干扰、噪声、参考输入等，是为了设计而定义的辅助信号， 是控制输入信号， 是测量信号， 表示广义被
13、控对象，包括实际被控对象和为了描述设计指标而设定的加权函数， 表示所设计的控制器。,图11-3 标准控制问题,广义被控对象 的状态方程描述为,其中 表示状态向量，传递函数的形式为,(11-1),将式(11-4)代入式(11-3)，消去 ，得从 到 的闭环传递函数为,由此， 标准问题可表述如下：,输入输出描述为,(11-3),控制器表述为,(11-4),(11-5),对于一个给定的广义被控对象 ，求取一个反馈控制器 ，使闭环系统内稳定，且使闭环传递函数 的 范数达到极小，即,式(11-6)表示 最优控制问题。,(11-6),其中，对应于图11-3中的闭环系统内稳定是指当 时，闭环系统的状态(原开
14、环系统和动态补偿器的状态)趋于零。,若给定 ，求取镇定反馈控制器 ，使得,表示 次优控制问题。,(11-7),11.3.3 不确定系统的 控制问题1、鲁棒稳定性问题,对于 标准问题，基本框图如图11-3所示。但当被控对象 含有不确定性因素时，通过抽取不确定性部分 后，闭环系统有如图11-4所示结构，,图11-4 不确定性系统的 控制,（1）考虑含加性不确定性，系统框图如图11-5(a)所 示有,(11-8),(11-9),(11-10),(11-11),与图11-4对应，则有,图11-5(a)含加性不确定性和扰动的系统框图,（2）考虑乘性不确定性，如图11-5(b)所示，有,与图11-4对应，
15、则有,图11-5(b)含乘性不确定性和扰动的系统框图;,（3）考虑互质分解描述不确定性，系统框图如图 11-5(c)所示，有,与图11-4对应，则有,图11-5(c)含基于互质分解描述不确定性和扰动的系统框图,综上所述，图11-5所述的各类不确定性系统的控制问题可以用图11-4所示的方式统一描述，从而转换成一般鲁棒控制问题。,结合式(11-8)式(11-10)，有,将式(11-11)代入式(11-12)，得,(11-12),(11-13),不确定性系统的鲁棒稳定性问题，就是寻找反馈控制器 ，使得图11-4所示的闭环系统在任意有界稳定摄动 的作用下内稳定，且满足,其中 是一给定常数。,由式(11
16、-13)给出。 。,其中,(11-14),设有如下一个人造卫星姿态控制的地面试验装置，该装置由于其太阳能电池板的柔韧性，无法将其作为刚体处理。对于该被控对象，设计如图11-6所示的反馈控制系统，进行卫星姿态控制。,下面举例说明这种鲁棒稳定设计问题可以通过设定 性能指标而实现。,被控对象的数学模型为,其中， 是由于被控对象的柔性特性而产生的高频振动项。,在进行系统设计的时候，我们采用简化的数学模型 ，模型误差即为 ，假设 的频率特性上界已知，即,其中， 为已知的有理函数。,对于上述卫星姿态控制系统，如果只考虑对于简化模型 的系统稳定性，那么由于摄动项 的影响，实际系统将会出现溢振现象，无法抑制卫
17、星太阳能电池板在移动过程中出现的振动现象。因此，基于鲁棒稳定性的控制律设计，应该在设计的时候就考虑模型误差，这对工程实际具有很重要的意义。,图11-6 鲁棒控制系统,上面的系统可以等价的表示为图11-7：,图11-7 等价系统,其中，,即开环系统的Nyquist曲线位于单位圆内，不围绕1点。,如果 是稳定的（即在s右半平面解析），那么根据Nyquist稳定判据可知，闭环系统对任意 稳定的充分条件是,因此，如果设计控制器 使得 ，等价于原系统 的标称系统稳定，同时满足 则系统鲁棒稳定。,所以，上述卫星姿态控制问题就可以描述为，对于标称模型 和 ，设计如图11-8所示的反馈控制器 ，使得闭环系统稳
18、定，同时满足 性能指标 ，其中 表示由 至 的闭环传递函数。,图11-8 鲁棒稳定控制器设计,与鲁棒稳定性问题相对应的还有鲁棒性能问题。,对于鲁棒性能问题可以归结为一类特殊的鲁棒稳定性问题。,2、鲁棒性能问题,令对任意有界稳定摄动 ，存在满足式(11-14)的控制器 ，由式(11-8)式(11-11)可得闭环控制系统为,其中 (11-16),(11-15),此时，式(11-14)意味着图11-6所示闭环系统由 到 的传递关系对任意有界稳定摄动 都是稳定的。,在不确定系统鲁棒稳定性分析中，依据小增益定理，鲁棒性能问题可归结于选择控制器 ，使闭环系统对 和 两端的任意有界稳定摄动 都稳定。如图11
19、-9(a)所示。,图11-9 (a)鲁棒性能问题,图11-9 (b)鲁棒性能问题的等价结构,则图11-9所示系统是内稳定的。,根据小增益理论，选取,(11-17),11.4 线性定常系统的 最优控制问题,为了更好的理解 最优控制的设计思想，我们首先考察线性系统中的最优控制问题。 假设单输入线性系统状态方程如下：,其中， 为状态变量， 为控制输入， ， 为定常矩阵。,(11-19),返回子目录,达到最小，同时，使闭环系统渐进稳定， 其中 为加权矩阵， 为加权系数。,最优控制理论的结果表明，通过解适当的代数Riccati方程，可以得到使 为最小的控制器 。,使给定的二次型性能指标,对于被控对象，设
20、计状态反馈控制器：,但是在这个设计问题中，并没有考虑干扰的影响，即性能指标的最优性只有在被控对象完全可以由式(11-19)精确描述时才能得到实现。由于实际系统中存在干扰等不确定性，使得这种最优设计的结果在实际应用中效果不好。,为了克服这一点，在被控对象的模型中，加入干扰项，并考虑干扰对系统响应特性的影响。下面我们将分别讨论线性定常系统的 最优控制和次优控制问题。,11.4.1 线性定常系统 最优控制问题的提出,系统(11-20)的 最优控制问题是求控制量 ，使得,(11-20),考虑带外干扰的线性定常系统,其中：,不等式(11-23)是在所求控制量 作用下，闭环系统对外干扰抑制能力的一种度量，
21、 称为系统(11-20)的 增益，它反映了带外干扰的闭环系统的输出能量对外干扰信号能量的衰减程度。,这里的控制量 可以是状态反馈(当全部状态可观测时)和观测输出的静态输出反馈，也可以是状态量和观测输出量的动态反馈。至于选择什么结构形式的控制器，要视系统的要求和实现的难易来选定。,在 控制器设计中，将寻求满足上述条件(1)和(2)的控制量 的问题称为“最优问题”，其中涉及到求 增益 的问题。虽然从理论上讲，在一定条件下，可证明系统(11-20)的 增益存在，但实际上却很难求得它。,因此，从工程实现考虑，在用 控制方法求控制器时，常根据工程设计要求而采取给定增益 的所谓“次优控制问题”。,控制设计
22、的次优问题是指对于事先给定的 ，寻求控制量 ,使得满足：,(1)闭环系统内稳定，即当 时，闭环系统(11-21) 是渐近稳定的。,(2)对 ，控制量 使得系统(11-22)的系统输出具有如下性质：,11.4.2 线性定常系统 最优控制问题的求解,其中， 是状态， 是外干扰， 是输出，A，B，C为适当维数的常数阵。,考察如下线性定常系统：,(11-24),这里的问题是：对于 ，求使,成立的A，B，C应满足的关系，其中 是在初态为 时对应于 的系统(11-24)的输出。,有如下所谓“最优干扰问题”,令,(11-25),利用使性能指标取极大值的哈密顿雅可比贝尔曼方程，直接得 取极大值的 为,而 满足
23、如下Riccati代数方程：,(11-26),定理11-1,给定线性定常系统(11-24)，若A，B，C使Riccati代数方程(11-26)有正定对称解时，则对事先给定的正数 有,其中 是在初态为 时对应于 的系统输出。,讨论其 次优问题的解。,下面我们继续讨论线性定常系统 次优控制问题的求解。,(11-27),使(11-29)中的 达到极大极小。,其中 满足如下Riccati代数方程：,(11-30),利用哈密顿雅可比依蕯柯方程（简称HJI方程），对于微分对策问题(11-29)，可得下列函数,定理11-2,对于给定线性定常系统(11-27)，当 完全可观测时，其全状态信息情况下的 次优控制
24、问题有解，即对给定的正数 ，状态反馈 使得系统具有如下性质：,(1)当 时，闭环系统(11-27)渐近稳定。,(2)对于给定的正数 ， 皆有,其中 是(11-27)的系统输出， 是Riccati代数方程(11-30)的正定对称解。,11.5小结,1、2、,本章介绍了LQR、LQG问题与 最优控制问题的关系，从另一个角度考察了LQR、LQG问题，并且可以比较容易得到公式来描述系统的频域特性。,本章用了一定的篇幅介绍一些数学基础知识，旨在让读者了解 、 控制问题的提法、最基本结果及其与最优控制问题的联系。,返回子目录,3、4、,本章介绍了 控制理论中 标准问题的提法，并简单介绍了鲁棒稳定问题和鲁棒性能问题与标准问题的联系，以及如何将上述两个问题简化为 标准问题来求解。,本章介绍了线性定常系统的 最优和次优控制问题的解法及其解存在时系统方程应满足的条件。,
