1、凯里一中 2018 届黄金卷第三套模拟考试理科数学试卷第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合 ， 为整数集，则集合 中所有元素之和为（ ）A. 0 B. 1 C. 3 D. 5【答案】A【解析】由 ，有 ，则 , ， 所有元素之和为 . 故选： 2. 已知复数 ，其中是虚数单位，则在复平面内，的共轭复数对应的点所在象限是（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】 ， ，所以所对应的点在第四象限故选： 3. “ ”是“ ”的（ ）A.
2、 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 ， ， “ ”是“ ”的充分不必要条件故选： 4. 若 ， 表示空间中两条不重合的直线， ， 表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）A. 若 ， ，则 B. 若 ， ， ，则C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ， ，则【答案】C【解析】对于 ，还可能有 ，故 错；对于 ，还有平行、异面、相交，故 错故选： 5. 命题 ： ， ，则 为（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B【解析】根据特称命题的否定为全称命题,易知原命题的否定为: 故选 B.6. 已知 ，则 （ ）
3、A. B. C. D. 【答案】C【解析】 .故选： 7. 某校高三年级 1500 名学生参加高考体检，他们的收缩压数值 近似服从正态分布 .若收缩压大于 120，则不能报考某专业.试估计该年级有多少学生不能报考该专业？（ ）（参考数据：若随机变量 ，则 ， ，.）A. 34 B. 68 C. 2 D. 4【答案】A【解析】 ， . 当收缩压大于 120 时符合， 故选： 8. 已知函数 ，函数 ，则函数 的零点个数为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】B【解析】画出 的图像, 图像是把 的图像向右平移 个单位，将在 轴下半部分的图像关于 轴翻折上去得到.则函数 的零点个数等价
4、于 与 图像交点个数.由图像可知 与 的图像交点个数为 3 个.故选： 点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 上是连续不断的曲线，且 ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性 )才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点，充分利用图象的对称性处理问题.9. 已知 的内角 ， ， 所对的边分别为， ， ，且满足 ，则该三角形为（ ）A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D
5、. 直角三角形【答案】D【解析】由 ，即 ，化简得 ，所以为直角三角形故选： 10. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为， 是 上的一点，点 关于的对称点为 ，若且 ，则 的值为（ ）A. 18 B. 12 C. 6 D. 6 或 18【答案】C【解析】方法一：如图，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，由抛物线的定义知 ，因为 ，所以又 ，所以 ， 所以 ，则 ，所以 方法二：由已知有 ，又 ，所以直线 的倾斜角为 ，设直线 的方程为：，将 代入 ，整理得到 得 或 （舍去） 由有 故选： 11. 曲线 与 轴所围成图形的面积被直线 分成面积相等的两部分，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答
6、案】D【解析】如图所示， 与 轴的交点为 和 ， 与 的交点为 和 由题意和定积分的几何意义得：化简得：即 ，解得： 故选： 点睛：1由函数图象或曲线围成的曲边图形面积的计算及应用，一般转化为定积分的计算及应用， 但一定要找准积分上限、下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决(1)画出图形，确定图形范围；(2)解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；(3)确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；(4)计算定积分，求出平面图形的面积2由函数求其定积分，能用公式的利用公式计算，有些特殊函数可根据其几何意义，求出其围成的几何图形的面积，即其定积分12. 已知：定义在 上的可导函数 的
7、图象关于点 对称的充要条件是导函数 的图象关于直线对称.任给实数 ， 满足 ， ，则 （ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】可设函数 ，则 ，其图像关于 对称，故原函数 的图像关于点 对称，且 ，故对称点的坐标为 又 ，则 ，又当 时， 知 在 上恒单调递增故点 与点 关于点 对称所以 即 故选： 点睛：本题通过新定义的形式考查了函数的对称性，即若导函数为轴对称图形，则原函数为中心对称图形，且对称轴和对称中心的横坐标相同.对于中心对称函数 ，若对称中心为 ，那么当函数单调时， 和 是充要的.第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，
8、共 20 分. 13. 设函数 的图象与 轴相交于点 ，则 在点 处的切线方程为_【答案】【解析】函数 与 轴相交于点为 ， ，故切线斜率 ，故切线方程为：，即： 故答案为：14. 若实数 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为_【答案】2【解析】作出可行域如图所示，设 ，则表示可行域内的点 与原点 的距离的平方由图知，所以 故答案为：2.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：直线型，转化成斜截式比较截距，要注意前面的系数为负时，截距越大，值越小；分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；绝对值型，转化后其几何
9、意义是点到直线的距离.15. 在密闭的三棱锥容器 的内部有一个球体，已知 平面 ， ， .若容器的厚度忽略不计，则该球体表面积的最大值为_【答案】【解析】当该球体 为三棱锥的内切球时满足题意设球 的半径为，易知 、 、 、 均为直角三角形，且 ，则解得：故答案为： .16. 一质点从坐标原点出发，按如图的运动轨迹运动，每步运动一个单位，例如第 3 步结束时该质点所在位置的坐标为 ，第 4 步结束时质点所在位置的坐标为 ，那么第 2018 步结束时该质点所在位置的坐标为_【答案】【解析】当运动： 步时，坐标为 ；当运动： 步时，坐标为 ；当运动： 步时，坐标为 ；当运动： 步时，坐标为 而 ，即
10、 （ ） ，解得 当 时，该点的坐标为 ，共走了 步，此时还需向右走 步，故最终坐标为 故答案为： .三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知 ， ，设函数 ， .（）求函数 的单调递增区间；（）若 的内角 ， ， 所对的边分别为， ， ，且 ， ， ，求 的面积.【答案】 （I） ；（II） .【解析】试题分析：（）由向量的数量积坐标运算得 ，令 ，可得增区间；（）由（I）知 ，可得 ，由余弦定理可得 ，从而可得面积.试题解析：（I） ，令 ，则 ，所以函数 的单调增区间为： （II）由（I）知 ，即 ，而 ，知 ，所以 ，即 由 ，有解得 .故所求面积
11、为 18. 某地有一企业 2007 年建厂并开始投资生产，年份代号为 7，2008 年年份代号为 8，依次类推.经连续统计 9 年的收入情况如下表（经数据分析可用线性回归模型拟合 与 的关系）：年份代号（ ） 7 8 9 10 11 12 13 14 15当年收入（ 千万元） 13 14 18 20 21 22 24 28 29（）求 关于 的线性回归方程 ；（）试预测 2020 年该企业的收入.（参考公式： ， ）【答案】 （I） ；（II）预测 年该企业的收入为 千万元.【解析】试题分析：（1）由平均数公式计算平均值，结合公式计算回归方程即可即可；（2）利用（1）中求得的结论即可预测 20
12、20 年该企业的收入.试题解析：（I）由已知数据得： ， ， ， .故所求回归方程为： （II） 年的年份代号为 ，由（I）知，当 时， ，故预测 年该企业的收入为 千万元 点睛：本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算 的值；计算回归系数 ；写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19. 如图所示，在四棱锥 中，底面四边形 是边长为 的正方形， ， ，点为 中点， 与 交于点 .（）求证： 平面 ；（）求二面角 的余弦值.【答案】 （I
13、）见解析；（II） .【解析】试题分析：（）易证得 和 ，从而得 平面 ，再由 得 平面，从而得证；（）建立空间直角坐标系，分别求得平面 和平面 的一个法向量，利用法向量的夹角公式可得二面角的余弦.试题解析：（I）在 中，有同理可得：而 ， 平面平面在 中，易知 、 分别为 、 中点，则 ，而 平面平面 （II）由（I）知： 平面 ，故可建立空间直角坐标系 ，如图所示，则， ， ， ， ，设 、 分别为平面 和平面 的一个法向量，则，不妨设 ，则 ，由图易知二面角 为钝二面角二面角的 的余弦值为 20. 已知圆 ： 与定点 ， 为圆 上的动点，点 在线段 上，且满足 .（）求点 的轨迹 的方程；（）设曲线 与 轴正半轴交点为 ，不经过点 的直线与曲线 相交于不同两点 ， ，若 .证明：直线过定点.【答案】 （I） ；（II）见解析.
