1、辽宁省大连市 2018 届高三第二次模拟考试试卷理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合 1,23A，则集合 A的子集个数是（ ）A6 B7 C8 D92.复数 zi，则 z（ ）A1 B 2 C2 D43.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A12 B24 C36 D724.设等比数列 na的前 项和为 24,1,5nS，则 6S（ ）A 9 B 21 C D 3 5.某工厂生产的一种零件的尺寸（单位： m）服从正态分布 2
2、50,N.现从该零件的生产线上随机抽取20000 件零件，其中尺寸在 50,内的零件估计有（ ）（附：若随机变量 X服从正态分布 2,N，则 0.6827PX，220.954PA6827 个 B9545 个 C13654 个 D 19090 个6.下列函数中，既是偶函数，又在 ,0上单调递增的是（ ）A 2fx B 2xf C 21logfx D 1fx 7.双曲线 210,:xyabC的左焦点为 F，虚轴的一个端点为 B， P为双曲线 C右支上的一点，若 FBP，则双曲线 的离心率是（ ）A 2 B 3 C2 D 5 8.下面四个命题：1p：命题“ 2,nN”的否定是“ 020,nnN”；2
3、:向量 ,1,amb，则 m是 ab的充分且必要条件；3p：“在 ABC中，若 ，则“ siniAB”的逆否命题是“在 ABC中，若 siniAB，则“”；4：若“ q”是假命题，则 p是假命题.其中为真命题的是（ ）A 12,p B 23, C 24,p D 13,p 9.设椭圆 2:14xCy的左焦点为 F，直线 :(0)lykx与椭圆 C交于 ,AB两点，则 AFB周长的取值范围是（ ）A 2, B 6,423 C 6,8 D 8,12 10.关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验.受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计 的值，试验步骤如下：先请高二年
4、级 500 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对 (01, )xyy；若卡片上的 ,xy能与 1 构成锐角三角形，则将此卡片上交；统计上交的卡片数，记为 m；根据统计数 m估计 的值.假如本次试验的统计结果是 13m，那么可以估计的值约为（ ）A 387125 B 351 C 389125 D 3521 11.已知 sinco,0xax，若 a，则 x的取值范围是（ ）A 0,2 B 3,2 C 30,2 D37,412.已知 fx是定义在 ,上的函数， fx为 f的导函数，且满足 10fxfx，则下列结论中正确的是（ ）A 0fx恒成立 B 0fx恒成立C 1f D.当 ,1时， 0fx；
5、当 1,时， 0fx第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.某班共有 36 人，编号分别为 1，2,3,，36.现用系统抽样的方法，抽取一个容量为 4 的样本，已知编号 3、12、30 在样本中，那么样本中还有一个编号是 14. 执行如图所示的程序框图，输出的 s值为 15.已知圆锥的底面直径为 3，母线长为 1，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为 16.已知数列 na的前 项和为 nS，若 123,2nnaa， 3132,nna，则 60S (用数字作答). 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明
6、过程或演算步骤.） 17. 在 ABC中， 23， D是 BC边上的一点.（1）若 1,D，求 的长；（2）若 20，求 A周长的取值范围.18.某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查.在使用华为手机的用户中，随机抽取 100 名，按年龄(单位:岁）进行统计的频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数的估计值(均精确到个位）；（2）在抽取的这 100 名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取 20 人参加华为手机宣传活动，现从这 20 人中，随机选取 2 人各赠送一部华为手机，求这 2 名市民年龄都在 4,5内的
7、人数为 X，求 的分布列及数学期望.19.如图，在三棱柱 1ABC中， ABC和 1均是边长为 2 的等边三角形，点 O为 AC中点，平面1AC平面 .（1）证明： 1AO平面 BC；（2）求直线 与平面 1所成角的正弦值.20.已知抛物线 2:0ypx的焦点为 F，点 M的坐标为 6,4，点 N在抛物线 C上，且满足23OFNM，（ O为坐标原点）.（1）求抛物线 C的方程；（2）过点 作斜率乘积为 1 的两条不重合的直线 12l、 ，且 1l与抛物线 C交于 ,AB两点， 2l与抛物线 C交于 ,DE两点，线段 ,ABDE的中点分别为 ,GH，求证：直线 GH过定点，并求出定点坐标.21.
8、已知函数/ ln1,xfaR.（1）当 a时，解不等式 0fx；（2）)若 fx在 21,e内有两个不同的两点，求 a的取值范围. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 2cos3inxy（ 为参数） ，直线 l经过点 1,P，斜率为34，直线 l与曲线 相交于 ,AB两点.（1）写出曲线 C的普通方程和直线 l的参数方程；（2）求 PA的值.23.选修 4-5：不等式选讲关于 x的不等式 122xm的解集为 R.（1）求实数 的值；（2）若 ,0abc，且 abc，求证：
9、 3abc.试卷答案一、选择题1-5: CBCBA 6-10: CDBCA 11、12：DA二、填空题13. 21 14. 12 15. 12 16. 264三、解答题17.解：（）在 ADC 中， AD1， AC2 ，3所以 | | |cos DAC12 cos DAC3, 所以 cos DAC .AD AC AD AC 3 32由余弦定理得 CD2 AC2 AD22 ACADcos DAC12122 1 7，332所以 CD . 7（）(法一)：在 ABC 中 由正弦定理得234sinisiniABCB4(i)sin()4sin()33AAA30,sin(,132.4BCA的周长为 ,3
10、（法二）在 中，由余弦定理可得，222cosAB即1()BC2 212()CA当且仅当 时不等式取等号.所以 16AB，即 4ABC又 23BAC,所以 23,4BC， 的周长为 43,2 18. 解：()平均值的估计值7.501.07.5.067.5038.59x（ ）中位数的估计值：因为 .4.2.，50605所以中位数位于区间 3,年龄段中，设中位数为 x，所以 0.257350.x， 39x.()用分层抽样的方法，抽取的 20 人，应有 6 人位于 40,5年龄段内，14 人位于 40,5年龄段外。依题意， X的可能值为 0,1,2026149()CP,16420()95CPX,206
11、143()8X分布列为0 1 2()P914295384230158EX.19. （）证明：AA 1=A1C，且 O 为 AC 的中点，A 1OAC，又平面 AA1C1C平面 ABC，且交线为 AC，又 A1O平面 AA1C1C，A 1O平面 ABC（）如图，以 O为原点， ,BC1所在直线为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系由已知可得 (,)(,)OA010， (,)B30, (,)A13(,)C1023， AB31， ,-， 2， 设平面 A1BC1的法向量为 n()xyz，则有 -yxz203，所以 n的一组解为 (,)10设直线 AB与平面 C所成角为 ，则sinco,ABn又
12、,=3642， 所以 AB与平面 C1所成角的正弦值为 20. （）解： FMNOF32，点 M 的坐标为(6,4)，可得点 N 的坐标为(9,6)，3618p， p2，所以抛物线 C 的方程为 y24 x. （）证明:由条件可知，直线 l1， l2的斜率存在且均不能为 0，也不能为 1、-1设 l1： y k(x6)4，则 l2的方程为 y (x6)4，将 l1方程与抛物线方程联立得ky24 y1624 k0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y2 ，又 y1 y2 k(x1 x212)8， x1 x284k，点 G 的坐标为),642，用 代替 k，得到点 H 坐标为
13、(2k24 k6,2 k)， 214)1(22 kkk（ GH 方程为： y2 kx(2 k24 k6) 整理得 ()x14令 y0，则 x4，所以直线 GH 过定点(4,0) 21.解：（）22 1()1():(ln,() ,xxgxxg法 一 令max0,()1;()0,1.()()0,()0xg gx因 为所 以 所 以 所 以 ，2lnln 5.xf 即 ， 即 所 以 的 解 集 为 分(法二)：当 1a时， ln1xf， 2lnxf令 2lngxx易知， 1=-0,gx， 所 以 在 0,上单调递减，又因为 10g，所以在0,上， gx在 1上， 0所以 fx在 ,上为增函数，在
14、1,上为减函数，所以 max10ff即 所以不等式 0fx的解集为 , （） 2 21ln), 6( xe a 在 有 两 个 不 同 零 点 可 转 化 为 方 程 分223222 22,ln12ln(),(),111l,=-0,(),()0,1()().(), ,1=e 80- 1exxhhexexhxexheh 在 有 两 个 不 相 等 实 数 根 ，令令 ， 所 以 在 单 调 递 减 ，且 所 以 当 时 ， ；当 时 ，所 以 在 （ ） 单 调 递 增 ， 在 （ ） 单 调 递 分减又 分，2 224 40,()0,(1).2ehae 所 以 分22.解： （）曲线 C： c
15、os)3inxy为 参 数则22 2csi13xy，即2143xy直线 l的参数方程为： 531xty为 参 数（直线 l参数方程的其他形式请酌情给分）（）直线 l： 4153xty为 参 数，将直线 l代入2143xy中，得 28401tt 由于 3，故点 (,)P在椭圆的内部，因此直线 l与曲线 C的交点 ,AB位于点 P的两侧，即点,AB所对应的 t值异号.设点 A的对应值为 1t，点 B的对应值为 2t，则 1207t， 12584t故 121207Ptt23 （）解： xm ， ()()x221，整理得: x236410,由题可得： ()()m22364，即 ()210， （）证明： a b c1， a b2 ， b c2 ， c a2 ，ab bc ca ，6 分( )2 a b c2 2 2 ，a b c ab bc ca( )23，a b c所以 (当且仅当 a b c 时取等号)成立 a b c 313
