1、3.2.2 函数模型的应用实例,一、新课引入,到目前为止,我们已经学习了哪些常用函数?,一次函数,二次函数,指数函数,对数函数,幂 函 数,阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km .,例1: 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示: (1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义;,一、新课引入,这个函数的图像如下图所示:,解:(2)根据图形可得:,例1: 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示: (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km,试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式,并作出相
2、应的图象 .,二、例题研究,1.下图中哪几个图像与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图像写出一件事。,我离开家不久,发现自己把作业忘在家里,于是返回家里找到作业再上学,我骑车一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间,我出发后,心情轻松,缓慢行进,后来为了赶时间开始加速,A,B,C,D,三、课堂练习,2. 在一定范围内,某种产品的购买量为 yt与单价x元之间满足一次函数关系,如果购买1000t,每吨为800元,如果购买2000t,每吨为700元,一客户购买400t,单价应该为( )A.820 元 B.840元 C.860元 D.880元,C,三、课堂练习,例4 : 人口问
3、题是当年世界各国普通关注的问题。认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年,英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型:,下表是19501959年我国的人口数据资料:,其中 t 表示经过的时间,y0 表示 t = 0 时的人口数,r 表示人口的年平均增长率。,二、例题研究,问:(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符;,解:(1)设19511959年的人口增长率分别为 r1, r2, , r9 .,55196 (1+
4、r1) =56300,可得1951年的人口增长率 r10.0200 .,同理可得,,r20.0210,r30.0229,r40.0250,r50.0197,r60.0223,r70.0276,r80.0222,r90.0184,二、例题研究,于是,19511959年期间,我国人口的年均增长率为:,r = ( r1+r2+r9 )9 0.0221,令y0=55196,则我国在19501959年期间的人口增长模型为:,根据表中的数据作出散点图,并作出函数的图象。,由图可以看出,所得模型与19511959年的实际人口数据基本吻合。,二、例题研究,问: (2) 如果按表中的增长趋势,大约在哪一年我国的
5、人口达到13亿?,解:将 y =130000,代入,由计算器可得:t 38.76,所以,如果按表中的增长趋势,那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿。,二、例题研究,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力。,从以上的例子可以看到,用已知的函数模型刻画实际问题的时候,由于实际问题的条件与得出已知模型的条件有所不同,因此通过模型得出的结果往往会与实际问题存在一定的误差。因此往往需要对模型进行修正。,二、例题研究,分析:由表中信息可知销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶销售利润怎样计算较好?,解:设在进价基础上增加x元后,日均
6、经营利润为y元,则有日均销售量为,(桶),而,有最大值,只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润。,二、例题研究,例6: 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表:,(1) 根据表所提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高 xcm 的函数关系?试写出这个函数模型的解析式. (2) 若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175 cm,体重为78kg 的在校男生的体重是否正常?,二、例题研究,二、例题研究,解:(1) 以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图.,根据点的分布特征,可考
7、虑以y=abx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.,如果取其中的两组数据 (70,7.90),(160,47.25),代入 y=abx 得:,用计算器算得:a 2,b 1.02,这样,我们就得到一个函数模型:y = 21.02x,将已知数据代入上述函数解析式,或作出上述函数的图像,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系 .,二、例题研究,解:(2) 将x=175代入y = 21.02x ,得 y = 21.02175 ,,用计算器算得:y 63.98,由于 78663.98 1.22 1.2 ,,所以,这个男性偏
8、胖 .,例6: 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表:,(2) 若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175 cm,体重为78kg 的在校男生的体重是否正常?,解决实际问题的基本过程,收集数据,画散点图,选择模型,求解模型,检验模型,使用模型,不符合实际,符合实际,课堂小结,解函数的应用问题,一般地可按以下四步进行:,第一步:阅读理解,认真审题;,第二步:引进数学符号,建立数学模型;,第三步:利用数学的方法将得到的常规数学问题予以解答,求得结果;,第四步:再转移成具体问题作出解答.,实际问题,数学模型,实际问题的解,抽象概括,数学模型的解,还原说明,推理 演算,课堂小结,