1、2018 届甘肃省天水市第一中学高三下学期第二次模拟数学（理科）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，则 ( )=|(8)(+2)0 ()=A B C D(3,8) 3,8) (-2,3 (-2,3)2.设 为虚数单位， ，若 是纯虚数，则 ( )i 11+ =A2 B-2 C1 D-13.已知条件 ，条件 ，则 是 成立的( ):+2 120 :+110 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4.已知 是锐角，若 ,则 ( ) sin(4)
2、=14 cos2=A B C. D78 158 78 1585.已知数列 是公比为 的等比数列，且 成等差数列，则公比 的值为( ) q 1,3,2 qA B-2 C.1 或 D-1 或-12 -12 126.设向量 满足 ,则 ( ), |=2,|=|+|=3 |+2|=A6 B C. 10 D32 427.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A64 B32 C.96 D488.已知随机变量 服从正态分布 ,且 ( ) (2,2) (0) ,则直线 的斜率的最大值为( )|=2| A B C. D133 23 22第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将
3、答案填在答题纸上）13.设实数 满足 则 的取值范围是 , 220,+20,20, +2+314. 的展开式中， 的关系是 （用数字作答）(1+)(1)6 315.甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 16.如图，图形纸片的圆心为 ，半径为 ，该纸片上的正方形 的中心为 为圆 上的点， 6cm ABCD O,E,F,G,HO分别以 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以 为,， AB,BC,CD,DA
4、AB,BC,CD,DA折痕折起 ，使得 重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的 2ABE,BCF,CDG,ADH E,F,G,H倍时，该四棱锥的外接球的体积为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知在 中，角 的对边分别为 ，且有 . ABC A,B,C a,b,c cos+cos 2cos=0(1)求角 的大小；C(2)当 时，求 的最大值.c=2 18. 四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形，侧面 底面 ， ，P-ABCD ABCD PAD ABCD BCD=60，E 是 中点，点 在侧脸 上.PA=PD= 2
5、BC Q PC()求证： ；AD PB()若 是 中点，求二面角 的余弦值；Q PC E-DQ-C()是否存在 ，使 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.Q PA/DEQ19. 第 23 届冬季奥运会于 2018 年 2 月 9 日至 2 月 25 日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：收看时间（单位：小0,1) 1,2) 2,3) 3,4) 4,5) 5,6)时）收看人数 14 30 16 28 20 12(1)若讲每天收看比赛转播时间不低于 3 小时的教职工定义为“体育
6、达人” ，否则定义为“非体育达人” ，请根据频数分布表补全 列联表：22男 女 合计体育达人 40非体育达人 30合计并判断能否有 90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；(2)在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取 6 名，再从这 6 名“体育达人”中选取 2 名作冬奥会知识讲座.记其中女职工的人数为 ，求的 分布列与数学期望. 附表及公式：(20) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010 2.072 0.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828.2= ()2(+)(+)(+)(+)20.在平面直角坐标系
7、 中，点 ，圆 ,点 是圆上一动点，线段 1( 3,0) 2:2+22313=0 的中垂线与线段 交于点 .1 2 (1)求动点 的轨迹 的方程；P E(2)若直线 与曲线 相较于 两点，且存在点 （其中 不共线） ，使得 被 轴评分，证明：l E A,B D(4,0)A,B,D ADBx直线 过定点.l21. 已知函数 .()=122+(1)当 时，试判断函数 的单调性；a -1 f(x)(2)若 ，求证：函数 在 上的最小值小于 .a4(2)若不等式 对于 恒成立，求实数 的取值范围.()227+4 m参考答案一、选择题1-5: CCADC 6-10:DACDC 11、12：BC二、填空题
8、13. 14. -5 15.乙 16.45,2 5003273三、解答题17. (1) 4C；(2) 12.解析：（1）由 coscos0aBbAC及正弦定理，得 sini2inA，即 sc，即 si2incos0.因为在 BC中， 0A， 0C，所以 sin，所以 2cos，得 4. （2）由余弦定理，得 222cosabab，即 24ab，故 ，当且仅当 42ab时，取等号.所以 1sin212ABCSab，即 ABCS的最大值为 12.18 （）见解析;（） 17.（） 3.解析：（）取 AD中点 O,连接 ,PBD.因为 P,所以 A.因为菱形 BC中, 60,所以 .所以 .因为 O
9、P,且 O平面 PB,所以 AD平面 POB.所以 ADB.（）由（）可知, ,BOADP,因为侧面 PAD底面 BC,且平面 PAD底面 BCAD,所以 PO底面 ABCD.以 O为坐标原点,如图建立空间直角坐标系 Oxyz.则 1,0,30,12,30DEPC,因为 Q为 PC中点,所以 31,2.所以 ,Q,所以平面 DE的法向量为 1,0n.因为 311,30,2DC,设平面 QC的法向量为 2,xyz,则 2 0nQ,即0 12xyz.令 3x,则 ,3yz,即 ,3n.所以 1212cos,7n.由图可知,二面角 EDQC为锐角,所以余弦值为 217.（）设 01P由（）可知 2,
10、3,01PA.设 ,Qxyz,则 xyz,又因为 2,3PC,所以23 1xyz,即 ,31Q.所以在平面 DEQ中, 0,2,D,所以平面 的法向量为 1n,又因为 /PA平面 DEQ,所以 10PAn,即 12,解得 23.所以当 3时, /平面 .19 （1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意知抽取的 6 名“体育达人”中有 4 名男职工，2 名女职工，所以 的可能取值为 0，1，2.计算 概率值得到 分布列与数学期望.试题解析：（1）由题意得下表：男 女 合计体育达人 40 20 60非体育达人 30 30 6
11、0合计 70 50 1202k的观测值为 21206754.706.所以有 9%的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关.（2）由题意知抽取的 6 名“体育达人”中有 4 名男职工，2 名女职工，所以 的可能取值为 0，1，2.且 246CP5， 1426CP85， 26CP15，所以 的分布列为0 1 2P25851528015E 10253.20 （1） 24xy；（2） ,试题解析：（1）由已知 13,0F， 23,0 ，圆 2F的半径为 4r依题意有： 1PQ， 1PQP故点 P 的轨迹是以 2,为焦点，长轴长为 4 的椭圆，即 3,1cab故点 P 的轨迹 E 的方程为 21
12、4xy （2）令 12,AxyB，因 A，B，D 不共线，故 l的斜率不为 0，可令 l的方程为： xmyn，则由 24 xmyn得 22440mny则 2121, ADB被 x轴平分， 0DABk即 1204y，亦即 121240yxy 而 1212211212xmnnmny 代入得：0yny 代入得： 2 24 204n0m时得： 1n此时 l的方程为： 1xmy过定点（1，0）时 ， 亦满足，此时 l的方程为： 综上所述，直线 l恒过定点（1，0）21(1) 函数 fx在 R上单调递増(2)见解析试题解析：（1）由题可得 xfea，设 gx，则 1xge，所以当 0x时 g， fx在 0
13、,上单调递增，当 时 ， 在 上单调递减，所以 1fxfa，因为 1，所以 0a，即 0fx，所以函数 在 R上单调递増.（2）由（1）知 fx在 ,上单调递増，因为 ae，所以 10ea，所以存在 ,t，使得 ft，即 0tea，即 te，所以函数 fx在 t上单调递减，在 ,t上单调递増，所以当 1,x时 22 2min11t t ttfeaeet，令 ,xhx，则 0xh恒成立，所以函数 在 1上单调递减，所以 21e，所以 2tet，即当 1,x时 minfx，故函数 fx在 ,上的最小值小于 2.22 （1）曲线 C的直角坐标方程为: 13xy，直线 l的普通方程为： 6yx；（2） min2d.试题解析：(1)由曲线 的极坐标方程得： 22sin，曲线 C的直角坐标方程为: 213xy，曲线 的参数方程为 cosin,（ 为参数） ；直线 l的普通方程为： 6yx.(2)设曲线 C上任意一点 P为 3cos,i，则点 P到直线 l的距离为2cos6in6d
