1、探索霍夫曼编码一、绪论在学习完了本学期的数字图像处理课程后，我对图像压缩这部分内容产生了兴趣，通过深入学习，我用 matlab 实现了霍夫曼编码，成功地压缩了图像。随着信息时代的来临，多媒体已经被人们广泛的应用于生活的各个领域。我 们每天接受的信息开始以 Gb 计 ，众所周知 Gb 是一个很大的单位，多媒体是指文字、声音、图形和图 像等各种媒体，它能比单纯文字传输更多、更生动的信息，与此同时它的数据量也比文字要大得多，例如一幅分辨率为 1024768、颜色 24 位的图像将占到 2.3MB的存储空间， 1 秒钟没有任何压缩的数字视频图像需要上百兆字节的存储空间， 这是目前的存储空间和传输宽带不
2、能承受的。采用数据压缩技术去除不必要的冗余数据以减少所需传输的数据量是必然的选择。而我正是对如何编码使图像压缩而不至于影响人的体验产生兴趣的。上课时我了解到图像数据存在 3 种冗余：结构冗余、统计冗余、以及心里视觉冗余。通过上网搜寻资料我也了解到编码也是分 3 种的：统计编码、 预测编码，以及变换编码。我主要深入学习了用统计编码的方法来去除统计冗余。二、霍夫曼编码 概述赫夫曼（Huffman ）编码是 1952 年提出的，是一种比较经典的信息无损熵编码，该编码依据变长最佳编码定理，应用 Huffman 算法而产生。Huffman 编码是一种基于 统计的无损编码 。根据变长最佳编码定理，Huff
3、man 编码步骤 如下：（1）将信源符号 xi 按其出现的概率，由大到小顺序排列。（2）将两个最小的概率的信源符号进行组合相加，并重复这一步骤，始终将 较大的概率分支放在上部，直到只剩下一个信源符号且概率达到 1.0 为止；（3）对每对组合的上边一个指定为 1，下边一个指定为 0（或相反：对上边一个指定为 0，下边一个指定为 1）；（4）画出由每个信源符号到概率 1.0 处的路径，记下沿路径的 1和 0；（5）对于每个信源符号都写出 1、0 序列，则从右到左就得到非等长的 Huffman 码。Huffman 编码 的特点是：（1）Huffman 编码构造程序是明确的，但 编出的 码不是唯一的，
4、其原因之一是两个概率分配码字“0”和“1” 是任意 选择的（大概率为“0”，小概率为“1”，或者反之）。第二原因是在排序过程中两个概率相等，谁前谁后也是随机的。这样编出的码字就不是唯一的。（2）Huffman 编码结果，码字不等长，平均码 字最短，效率最高，但码字长短不一，实时硬件实现很复杂（特别是译码），而且在抗误码能力方面也比较差。（3）Huffman 编码的信源概率是 2 的负幂时，效率达 100%，但是对等概率分布的信源，产生定长码，效率最低，因此编码效率与信源符号概率分布相关，故 Huffman 编码依赖于信源 统计特性，编码前必须有信源这方面的先验知识，这往往限制了霍夫曼编码的应用
5、。（4）Huffman 编码只能用近似的整数位来表示单个符号，而不是理想的小数，这也是 Huffman 编码无法达到最理想的 压缩效果的原因假设一个文件中出现了 8 种符号S0，S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，那么每种符号要编码，至少需要 3 比特。假设编码 成 000，001，010，011，100，101，110，111 那么符号序列 S0S1S7S0S1S6S2S2S3S4S5S0S0S1 编码 后变成000001111000001110010010011100101000000001，共用了 42 比特。我们发现 S0，S1，S2 这 三个符号出现的频率比较大，其它符号出现的
6、频率比较小，如果我们采用一种编码方案使得 S0，S1，S2 的码字短，其它符号的码字长，这样就能够减少占用的比特数。例如，我们采用这样的编码方案：S0 到 S7 的码字分别01，11，101，0000，0001，0010，0011，100，那么上述符号序列 变成011110001110011101101000000010010010111，共用了 39 比特，尽管有些码字如 S3，S4，S5，S6 变长了(由 3 位变 成 4 位) ，但使用频繁的几个码字如 S0，S1 变短了，所以实现了压缩 。可由下面的步骤得到霍夫曼码的码表首先把信源中的消息出现的频率从小到大排列。每一次选出频率最小的两个
7、值，作为二叉树的两个叶子节点，将和作为它们的根节点，这两个叶子节点不再参与比较，新的根节点参与比较。重复(2) ，直到最后得到和为 1 的根节点。将形成的二叉树的左节点标 0，右节点标 1。把从最上面的根节点到最下面的叶子节点途中遇到的 0，1 序列串起来，就得到了各个符号的编码。上面的例子用 Huffman 编码的过程如图下图所示，其中圆圈中的数字是新节点产生的顺序。Huffman 编码的二叉树示意图信源的各个消息从 S0 到 S7 的出现概率分别为4/14，3/14，2/14，1/14，1/14，1/14，1/14，1/14。计算编码效率为98.5%，编码的冗余只有 1.5%，可见霍夫曼编
8、码效率很高。产生 Huffman 编码需要对原始数据扫描两遍。第一遍扫描要精确地统计出原始数据中，每个值出现的频率，第二遍是建立 Huffman树并进行编码。由于需要建立二叉树并遍历二叉树生成编码，因此数据压缩和还原速度都较慢，但简单有效，因而得到广泛的应用。三、霍夫曼编码应 用本文霍夫曼编码压缩图像的步骤如下：读入 图像，并把它用矩阵表示。统计图 像颜色的种数。统计 各种颜色值出现的概率，并把它们按从大到小的顺序排列。进行霍夫曼编码的计算：定义一个矩阵 M，M 矩阵的第一行，存放的是需要编码的各个颜色值出现的概率，并且按照从大到小排列顺序，然后再将第一行从后往前两两相加（即概率最小的两个数相
9、加），把相加得到的结果放到第二行，然后再将第二行重新进行排序，依此类推，一直到最后一行，这时最后一行只有两个概率，并且相加肯定为 1 。对 M 矩阵的数值进行霍夫曼编码：首先建立 N 矩阵，用来存放编码的码字。然后将字符 0，赋给最后一行的第一小段，再将字符 1，赋给最后一行的第二小段，在 M 矩阵中，由于每一行的最后两个数，都是这一行中概率最小的两个数，所以将倒数第二行的最后两个数进行相加，然后用相加的结果到倒数第一行中去寻找，肯定会在倒数第一行中找到一样的值，然后记录下来在倒数第一行中这个值的位置，再将这个在 M 矩阵中的位置对应到 N 矩阵中，将 N 矩阵中的该位置的字符赋给倒数第二行的
10、第二小段和第三小段，最后在给第二小段的后面赋字符 0，给第三小段后面赋字符 1，然后将在最后一行找到的那个数的左边的数，一一对应到上一行去，右边 的数，向左串一位，再 对应到上一行去，这样依此类推，那么在 N 矩阵的第一行，可以得到最后的编码 。实验程序见附录实验结果如下：压缩效果对比：图像大小比较：从图中我们可以明显的对比出来，经过了霍夫曼编码压缩图片后，在画质上看不出明显的区别，但是实际上压缩后的图片大小是原来的五分之一，占用空间是原来的三分之一。四、附录%霍夫曼编码实现图像压缩代 码：tic;clearz=imread(原图 .jpg);gray2=rgb2gray(z);f0=gray
11、2;subplot(1,2,1),image(f0);imshow(uint8(f0);title(原始 图像);f=abs(f0/4)-10;M,N=size(f);p=zeros(1,61);for t=1:61count=0;for i=1:Mfor j=1:Nif f(i,j)=t-1count=count+1;endendendp(t)=count;p0=p;endcore=cell(61,1);sign=zeros(61);for hh=1:60re=M*N;for t=1:61if (p(t)0)re=p(t);endendt=1;while (p(t)=re)endendt=1
12、;while (p(t)=re1)i=1;j=j+1;elsei=i+1;endbreak;endendendf=uint8(f*4+35);subplot(1,2,2)imshow(f);title(解码后的压缩图 像);imwrite(f,压缩图像.jpg);imfinfo(压缩图 像.jpg)toc五.总结学习完本门课程之后，是我的知识面有了很大的提高，对有关图像方面的知识进行了深入了解和探索，在多媒体信息量激增、网络特性和速度都飞速提高的今天，对高效合理的压缩算法的研究也越来越受到重视，很多方面的问题也越来越突出，如编码的复杂度、实时性的改善，解码的迅速性的提高以及图像恢复的质量问题等。更重要的是随着信息量的不断增大，信息检索的质量也与压缩编码方法有着越来越紧密的联系。由于本人对霍夫曼编码的理解粗浅，所以存在一些粗陋之处，有不当之处请谅解。
