龙门吊车重物防摆的鲁棒 PID 控制方案.pdf

1、 龙门吊车重物防摆的鲁棒 PID 控制方案 周耀龙 144173248 摘 要 龙门吊车作为一种运输工具，广泛应用在现代工厂、安装工地和集装箱货仓等的装卸与运输作业。他在离地面很高的轨道上运行，具有占地面积小、省时省工的优点。 关键词 龙门吊车；双闭环 ； PID 龙门吊利用绳索一类的柔性体代替刚体工作。由于惯性，运动过程中会使吊重产生摇摆，不利于起重机的快速对位。文中采用拉格朗日方程的方法建立了龙门起重机的动力学模型，并用 MATLAB仿真功能验证了数学模型的有效性。然后设计了防摇摆的双闭环 PID控制方案，并合理选择参数，使控制具有较强的鲁棒性。并用 Simulink进行仿真实验，验证控制

2、方案的合理性。 一、 前言 桥式起重机或门式起重机广泛用于车站、码头、仓库、工厂等场所搬运物料，是工厂、铁路、港口及其他部门实现物料搬运机械化的重要设备。尤其是轨行式集装箱龙门式起重机是集装箱堆场的主要装卸机型，作为现代物流装备之一其应用得到逐步推广。当起重机小车或大车运行时，控制起重机的起吊重物相对于小车中心竖直线的偏摆幅度，可以减小吊重的晃动程度，从而实现起重机的快速对位，如吊具与集装箱对位，起吊集装箱与底盘车对位等。以及集装箱在堆场的准确码放，以提高装卸作业效率。控制吊重摇摆程度的方法一种是采取防摇措施，主动控制小车或大车使吊重 从静止运动到目标位置过程中始终保持吊重在较小范围内摆动，另

3、一种是采取减摇措施，当吊重偏角较大时，被动控制小车或大车使吊重摇摆的幅度在最短时间内衰减到规定范围内。起重机的这种主动防摇和被动减摇问题可归结为起重机的快速对位问题。 起重机吊重防摇控制系统就是使吊重的摆动能得到迅速衰减，在较短内使吊重相对于小车的中心竖直线处于微动状态 (即在规定的微小角度内摆动 )，以利于吊具在工作空间准确对位和集装箱等吊重准确、快速码放，达到起重机快速对位的目的，从而极大地提高起重机的装卸作业效率，明显改善装卸作业安全状态，减轻操作 人员的工作强度，消除操作人员之间的经验差别，减少甚至消除快速对位对操作人员经验的过分依赖性。 二、 系统建模 (一 )机理建模 龙门吊车利用

4、绳索一类的柔性体代替刚体工作，以使得吊车的结构轻便，工作效率高。但是，采用柔性体吊运也带来了一些负面影响，例如吊车负载 重物的摆动问题一直是困扰吊车装运效率的一个难题。 为研究吊车的防摆动控制问题，需要对实际问题进行简化、抽象。吊车的“搬运 行走 定位”过程可抽象为如图的模型： 图 1吊车系统的物理抽象模型 图中，小车的质量设为0m ，受到水平方向的外力 ()Ft的作用，重物的质量为 m，绳索的长度为 L，对重物的快速吊运与定位问题可以抽象为：小车在受到外力 ()Ft作用时，使得小车在最短的时间 st 由 A点运动到 B点，且摆 () ,stq D， 为系统允许的最小摆角。 该问题为多刚体、多

5、自由度、多约束的质点系动力学问题，若应用牛顿力学来分析过于复杂，因此采用拉格朗日方程，将力学体系中运动方程从以力为基本单位的牛顿形式，改变为以能量为基本概念的分析力学形式。拉格朗日的普遍形式为： ()kkkdT TFdt q q- =式中， T为质点系的动能，k为质点系的广义坐标， k为质点系的自由度数，kF为广义力。 m0 m F(t) L A B 由此可见，拉格朗日方程把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，改变为以能量为基本概念的分析力学形式。 (二 )系统建模 实际中的吊车系统受到多种干扰，如小车与导轨之间的干摩擦、风力的影响等。为了便于分析，需对实际系统进行进一步的简化。简化

6、为图所示的物理模型： 图 2龙门吊车的物理模型 重物通过绳索与小车相连，小车在行走电机的水平拉力1F（ N）的作用下载水平轨道上运动，小车的质量为0m （ kg），重物的质量为 m（ kg），绳索的长度为 L（ m），重物可在提升电机的提升力2F（ N）的作用之下进行升降运动；绳索的弹性、质量、运动的阻尼系数可忽略；小车与水平轨道的摩擦阻尼系数为 D（ kg/s）；重物摆动时的阻尼系数为2(/)Kg m sh ，其他扰动可以忽略。 取小车的位置为1x，绳子长度为2x， 摆角为3x作为系统的广义坐标系，在 此 基础上对系统进行动力学分析。 由上图的坐标系可知，小车的位置和重物的位置坐标为： 00

7、112 3230sincosmmmmxxyxx x xyx x= -=所以小车和重物的速度分量为： 00112 3 23 323 23 30si n coscos si nmmmmxxyxx x x xx xyx x xx x= - -= -系统的动能为： 00022022 2 2022 201 223 12 3 123 31122112211( ) ( 2 sin 2 cos )22mmmm m mTmv mvmx y mx ymm x mx xx xx x xxx x=+=+ + - -（+）+（+）=此系统的拉格朗日方程组为： 1111232223 333()( ) cos( ) sin

8、dT TFDxdt x xdT TFmg xdt x xdT Tmgx x xdt x xh- =- =+- =- -综合以上公式的系统的方程组为： 01 2 3 23 3 23 3 23 31121 3 23 32223 2 23 12 3 2 3 3( ) sin cos 2 cos sinsin cos2 cos sin 0mm x mx x mxx x mxx x mxx xDx Fmx mx x mx x mg x Fmx x mx x x mx x x mgx x xh+ - - - +=- - =+ - + +=上式是考虑绳子长度变化的情况下的二自由度龙门吊车的运动系统的动力学模

9、型。对于绳子长度不变的情况下，可将上述模型进一步简化，将上式中的： 220xx=消去 F2，令 F=F1， x2=l=常数，得到绳长不变的情况下运动系统的数学模型为： 01 3 3 3 3 1231 3 3 3() cos sinco s sin 0mm x mlx x mlx x Dx Fml x mx l x mg l x xh+ - + +=- + +=(三 )模型简化 由上式可见，龙门吊车的运动系统的动力学模型为非线性微分方程组。为了便于应用经典控制理论对该控制系统进行设计，必须将其简化为线性定常的系统模型。 考虑到实际吊车运行过程中摆动角较小 ,一般不超过 10 ,且平衡位置为30x

10、q =，将模型在 0q=处进行线性化，此时有如下近似结果： 2si n ; cos 1; si n 0qq q q q 考虑到摆动的阻尼系数 h较小，可以认为 h=0,所以上式可以简化为：0()0mm x ml Dx Fml mx mgqqq+ - +=- + =进一步简化为： 0Fm x mg Dxxl gqqq=+ +=+对上式进行拉式变化可得： 2022() ( ) () ()() ( ) ()Fs ms DsX s mg ssX s ls g s =+ +Q=+ Q由上面系统的传递函数形式模型，可得图所示的定摆长吊车运动系统动态结构图，下图就是其中的一种表达形式： 图 3定摆长吊车 运

11、动系统动态结构图（一） 去掉反馈环节 同理，也可将上述模型转化为状态空间形式，对式进行变换，每个式子只保留一个二次倒数项，可得： 00 0000 01() 1Dmgxx Fmm mmm gDxFml ml mlqqq= - - += - - +取 , ,xxqq为系统的状态， ,x q 为系统的输出，则系统的状态空间描述方程为： , , , , ,TTxAxBuy CXxxx uFy xqq q=+=式中图 4定摆长吊车运动系统动态结构图（二） ()Xs()Fs201ms Ds+22sls g+mg ()sQ00 0000001 0 0 01,00 0 1 0() 1Dmgmm mABmmgD

12、mlml ml-=+-10 0000 10C=当不考虑系统的阻尼系数 D，即令 D=0，则有： 2022() () ()() ( ) ()Fs msX s mg ssX s ls g s =+Q=+ Q写成传递函数的形式： 22200()()() 1() ( )X s ls gsssF s m ls m m g +=QQ=+所描述的系统如图所示： (四 )模型验证 数学模型建立完毕，为了检查所建立的模型和实际模型是否具有相同的一些必要性质，要对所建立的模型进行验证。 下面给一些物理量赋初值。设绳长为 1m，小车质量 m0=50kg,重物质量 m=5kg，在时间 t=0时，给小车一个 F=1N的

13、恒力，小车开始位于 x=0处，且摆角 0q=。 根据经验，我们知道，小车将在恒力的作用下做匀加速直线运动，位置不断增加，为一个抛物线曲线。初始状态 0q=为重物相对小车摆动的一个极限取值，而在恒力作用下， 也将使重物相对小车的摆动角存在另外一个极限取值 q，所以，整个摆动运动就是重物在小车的一侧 0 角度之间做往复摆动。 图 5系统结构图 2001()m ls m m gs+22ls gs+()Fs ()sQ ()Xs所以，在恒力 F作用下，小车向前移动， X不断增加，负载的重物在 0qq区间内摆动， q的取值与初始力 F的大小有关。 下面利用 MATLAB中的 Simulink模块进行仿真实

14、验。 为了使程序更具有可读性，使用 Simulink模块中的封装子程序功能。程序中有两部分，即使用传递函数建立的简化模型和使用微分方程建立的实际模型。 F值为输入， X和 q值为输出，为了便于比较两种模型的输出值的差异，将两种模型的 X值和 q值放在同一个输出框口中。程序如下： 图 6利用子系统封装后的模型框图 图 7简化模型的框图 FxthetaPractical ModelFx thetaSimplified ModelScopeScope1F150s 2Transfer Fcns 2s +9.82Transfer Fcn149Gai n1F1x 2theta图 8实际模型的框图 Fcn为

15、： (u7-9.8*u8*u3*u4-u8*u6*u5*u5*u3)/(u9+u8*u3*u3) Fcn1为： (u7-9.8*u8*u3*u4-u8*u6*u5*u5*u3)/(u9+u8 *u3*u3)*u(4)/u6-9.8*u3/u6 图 9小车位置坐标 X的值 50M5m1Lcos(u1)Fcn3sin(u1)Fcn2f(u)Fcn1f(u)Fcn1sIntegrator1sIntegrator11sIntegrator21sIntegrator31x2theta1F图 10重物摆角 q 从中可以看出，在 1N恒力作用下，负载不断的在 0, qx 区间内摆动 ，小车的位置不断增加。这

16、一结果符合前述的实验设计，故可以在一定程度上确认：该吊车系统的数学模型是有效的。 同时，我们也可以看出实际模型和简化模型的曲线基本上是重合的。因此，我们认为近似模型在一定条件下可以表述原系统模型的性质。 三、 龙门吊防摆的 PID控制与仿真实验 在设计控制系统 过程中，我们假设知道了受控对象和控制器的模型以及它们的各种定常参数。但是，由于存在种种不确定因素，例如参数变化、未建模动力学特性、未建模时延、平衡点的变化、传感器噪声、不可干预的干扰输入等，所以建立起来的对象模型并不能精确的表示实际的物理系统。 如何在 模型不精确或者存在参数变化的 前提下，有效地控制被控对象，尽可能地减小实际系统中这些

17、因素对控制系统品质带来的影响，使系统仍能保持期望的性能，是我们一直面临的问题。 在自动控制领域内，控制系统的设计是建立在比较抽象的而且繁琐的数学基础上的，这使得实际工程掌握和运用这 些方法较为复杂。 PID控制器以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便、各个控制器参数具有明显的物理意义而成为工业控制主要和可靠的技术工具。当对一个系统和被控对象不完全了解或者不能通过有效的测量手段来获得系统的参数时，最适合采用 PID控制。对于吊车系统的重物防摆控制要求，双闭环 PID防摆控制虽具有很好的消摆和定位效果，但针对其绳长和载荷常常不确定，要求所设计的控制系统应具有较强的鲁棒性。 下面利用鲁棒 PID

18、控制 理论 对龙门起重 吊系统进行设计防摆控制设计 ，并用 MATLAB 7.0/Simulink软件进行 仿真 试 验 ，得 到 了相应的仿真结果并对结果进行分析。 (一 )鲁棒 PID控制理论 下图为 PID控制结构框图， 典型 PID为滞后超前校正装置。 图 11PID控制结构框图 由图可见， PID控制器是通加对误差信号 e(t)进行比例、积分和微分运算，其结果的加权，得到控制器的输出 u(t)，该值就是控制对象的控制值。 PID控制器的数学描述为： ( ) ( )( )+=dttdeTdtteTteKtudtip01)( 式中 u(t)为控制输入， e(t)=r(t)-c(t)为误差

19、信号， r(t)为输入量， c(t)为输出量。 下面对 PID中常用的比例 P、比例积分 PI、比例微分 PD和比例积分微分PID四种调节器作一简要分析，从而对比例、微分和积分作用有一个初步的认识。 1s+1Object ModelKKpDerivative1sIntegrator1r1e（ 1）比例调节器 比例的作用 比例调节器的传递函数 ， ，即在 PID控制器中使 ，。 根据前面所学，为了提高系统的静态性能指标，减少系统的静态误差，一个可行的办法是提高系统的稳态误差系数，即增加系统的开环增益。显然，若使 增大，可满足上述要求。然而，只有当 ，系统的输出才能跟踪输入，而这必将破坏系统的动态

20、性能和稳定性。 （ 2）比例积分调节器 积分的作用 在 PID调节器中，当 时，控制输出 u(t)与 e(t)具有如下关系： 首先，通过比较比例调节器和比例积分调节器可以发现，为使 ，在比例调节器中， ，这样若 存在较大的扰动，则输出 u(t)也很大，这不仅会影响系统的动态性能，也使执行器频繁处于大幅振动中；而若采用 PI调节器，如果要求，则控制器输出 u(t)由 得到一个常值，从而使输出 稳定于期望的值。其次，从参数调节个数来看，比例调节器仅可调节一个参数 ，而 PI调节器则允许调节参数 和 ，这样调节灵活，也较容易得到理想的动、静态性能指标。 但是，因 ， PI调节器归根到底是一个迟后环节

21、。根据前面介绍的迟后校正原理，在根轨迹法设计中，为避免相位迟后对系统造成的负面影响，零点 靠近原点，即 足够大；在频域法设计中，也要求转折频率 且远离 。这表明在考虑系统稳定性时， 应足够大。然而，若 太大，则 PI调节器中的积分作用变小，会影响系统的静态性能，同时，也会导致系统响应速度的变慢。此时可通过合理调节 和 的参数使系统的动态性能和静态性能均满足要求。 采用 PI控制，系统的稳态误差为零；且当 Ti减少时，系统的稳定性变差；当 Ti增加时，系统的响应速度变慢。 （ 3） PD和 PID调节器 微分的作用 当 PID调节器的 时，校正装置成为一个 PD调节器，这相当于一个超前校正Gc(

22、s)= Kpu(t)= Kpe(t) Ti!1Td! 0KpKp!1Td! 0u(t)= Kpe(t)+1TiZe(t)dte(t) ! 0Kp!1|e(t)|e(t) ! 01TiZe(t)dte(t)KpKpTiGc(s)= Kp(1 +1Tis)1TiTi1Ti!c!cTiTiKpTiTi!1装置，对系统的响应速度的改善是有帮助的。但在实际的控制系统中， 单 纯采用 PD控制的系统较少，其原因有两方面，一是纯微分环节在实际中无法实现，同时，若采用 PD控制器，则系统各环节中的任何扰动均将对系统的输出产生较大的波动，尤其对阶跃信号。因此也不利于系统动态性能的真正改善。实际的 PID控制器的

23、传递函数如下式： 式中 N一般大于 10。显然，当 时，上式即为理想的 PID控制器。 (二 )PID控制器参数整定 所设计的 PID控制器的控制质量如何，很大程度上取决于其三个参数PK 、IT和DT 。因此需要对PK 、iT和d三个参数进行整定。 PID控制器的参数整定的方法有很多，概括起来有两大类：一是理论计算整定，它主要是依据系统的数学模型，经过理论计算确定控制器的参数，这种方法所得到的计算数据还必须通过工程实际进行调整和修改才能在使用。二是工程整定方法，它主要依赖工程经验，直接在控制系统的试验中进行，而且方法简单、易于掌握，在工程实际中被广泛采用。 PID控制器参数的工程整定方法通常采

24、用 Ziegler-Nichols整定公式。 该整定公式是一种针对带有时延环节的一阶系统而提出的实用经验公式。此时，可将系统设定为如下形式： TsKesGs+=-1)(t在实际的控制系统中，大量的系统可用此模型近似，尤其对于一些无法用机理方法进行建模的系统，可用时域法和频域法对模型参数进行整定。 (三 )鲁棒 PID控制与灵敏度 我们常常希望所设计的系统在不确定参数在一定范围内变化时仍能正常工作。若控制系统是稳健的并有很强的适应能力则是鲁棒控制系统。鲁棒控制系统具有以下特点： 灵敏度低； 在参数的允许变动范围内能保持稳定；、 当参数发生较激烈的变化时，能够恢复和保持预期性能。 Gc(s)= K

25、p(1 +1Tis+Tds1+ sTdN)N !1鲁棒可以视为是系统对那些未加考虑的影响因素的灵敏度，这些影响因素主要包括干扰、测量噪声、和未建模动态特性等。当系统按照设计去完成任务时，它应该能够克服这些因素的影响。灵敏度是控制系统分析与设计的基本问题之一，是用来表征控制系统能受参数变化影响程度的量。当参数只在小范围内摄动时，常用系统灵敏度来度量系统的鲁棒性。 系统灵敏度的定义为 aaa/=TTST其中 a是参数， T是系统的传递函数。 经典的 PID控制器的传递函数为 sKsKKsGDIPc+=-1)(由于它具有较强的鲁棒性，能够在大范围内适应不同的工作条件，同时具有简单易用的优点，因此得到

26、了广泛的应用。 在下文中，我们将基于系统根轨迹，采用系统灵敏度来度量控制系统的鲁棒性。 (四 )鲁棒双闭环 PID控制器的设计 鲁棒 PID控制器设计 的基本任务是：确定控制器的结构和参数，以获得最佳系统性能。而 在设计中我们关心的是行走小车的定位和重物的摆角控制，因此采用双闭环 PID控制，取外环为位置环，内环为摆角环。内环的的设计有较强的跟随性能，可以使吊车在准确定位的同时，摆动也衰减至零，从而达到防摆的目的。 为了提高系统的性能，考虑到对象为非线性不稳定系统，以及反馈校正具有以下特点： （ 1） 削弱系统中非线性特性等不希望有的特性的影响； （ 2） 降低系统对参数变化的敏感性； （ 3

27、） 抑制扰动； （ 4） 减小系统的时间常数。 所以，对于系统内、外环拟采用反馈校正控制。 综上所述，设计出控制系统的结构如图所示。 IKSK)(1sG)(2sG)(2sH)(1s)(sXr)(s*Q)(sU)(sF)(sQ)(sX- -给定前向通道补偿电机增益内环调节器外环调节器输出吊车系统图 12吊车防摆控制系统结构图 1. 内环（摆角）控制器设计 假设所采用的伺服电机的机电时间常数较小，可以将其等效为比例环节。设050mkg= ， 28 /SKNV= （电机环节），重物质量 m与绳长 l在不同的情况下可以变化，它们的标称值分别取 kgm 5= ， 1lm。所以，内环系统未校正时的传递函数

28、为 22200( ) 28 0.56( ) ( ) 50 539 10.78sKsU s m ls m m g s sQ=+ + + 确定控制器的形式 对于内环反馈控制器 )(1sH 可以有 PD， PI和 PID三种可能的结构形式，绘制各种控制器结构下的“系统根轨迹”，加以比较并从中选出一种比较适合的控制器结构。图 3-3为各种控制器结构下的根轨迹。 各种控制器的开环传函的传递函数分别为： 20.56:10.29PKPS +图 13比例 (P)控制器下的根轨迹 20.56*( ):10.78IPKKSPIS+图 14比例积分 (PI)控制器下的根轨迹 20.56*( ):10.78PDKKS

29、PDS+-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-15-10-5051015Root LocusReal Axis (seconds-1)Imaginary Axis (seconds-1)-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-15-10-5051015Root LocusReal Axis (seconds-1)Imaginary Axis (seconds-1)图 15比例微分 (PD)控制器下的根轨迹 20.56*( ):10.78IPDKKKSSPIDS+图 16比例积分微分 (PID)控制器下的根轨迹 从图中的根轨迹我们不难发现，采用 PD结构的反馈控制器，

30、结构简单且可保证闭环系统的稳定。所以，选定反馈控制器的结构为 PD形式的控制器。 PD控制器的形式可以化为1() ( )cHs Kst=+，相当于给系统加上一负的零点 st=-。 内环加上反馈 PD控制器： -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-4-3-2-101234Root LocusReal Axis (seconds-1)Imaginary Axis (seconds-1)-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-4-3-2-101234Root LocusReal Axis (seconds-1)Imaginary Axis (seconds-1)1()PD

31、Hs K Ks=+ 其中，PK 为比例环节的增益，DK 为微分环节的增益。 内环的传递函数为： 200222()() ( )2SSD SPnnnKsU s m ls K K s K K m m gKssqwxw wQ=+ +=+其中， Kq为内环增益，0()SSPKKKK m mgq=+； nw 为角频率，2 00()SPnKK m mgmlw+= ； x为阻尼系数，002()SDSPKKml K K m mgx =+。 控制器参数的鲁棒性设计 为了保障系统控制具有较好的鲁棒性，即对于绳长 l和重物质量 m的变化不敏感，需要对内环控制器的参数进行鲁棒性设计。 由灵敏度公式知，当某个参数变化时，

32、系统轨迹（如伯德图、根轨迹、奈奎斯特轨迹等等）变化较小，就是说系统对该参数灵敏度较低，即鲁棒性较强。 令 /T qq*= ， la=可以得到系统对绳长 l的灵敏度为 20200222/()2TlSD SPnnm lsTTSl l m ls K K s K K m m gsssxw w=-+=-+同理可以得到系统对负载质量m的灵敏度为 200022/()/( )2TmSD SPnnTT mgSm m m ls K K s K K m m gmg m lssxw w=-+=-+为了使系统对参数变化有较低的灵敏度，一般要求在系统参数变化时系统轨迹变化不超过 5%。那么在此条件下，确定系统固有参数（绳

33、长和载荷质量）允许的变化范围。 用公式表示两变量的鲁棒性设计要求，即为 0. 05nTllSlwD05.0DmmSnTmw由 系统对绳长 l的灵敏度公式可以得到 xw21=njsTlS为了保持内环系统的快速响应并无超调，取1，则按绳长的鲁棒性设计要求可以得到 1.0Dll即绳长变化范围为 10%，即 0.9m到 1.1m。 由系统对载荷质量m的灵敏度公式可以得到 210 9.8 / 502nTmsjnSww=为保证内环的跟随性能，使响应时间尽量短，转折角频率 nw应该选得较大；然而当nw选得过大时，系统稳定性变差。为此，可以取10 /nrad sw =，则按载荷的鲁棒性设计要求可以得到 5.

34、1mmD即载荷的变化范围为 510%，即 0.82kg到 30.5kg。 将1=x和10 /nrad sw =带入内环传递函数公式并 取整得到 36DK =，159PK =综上可知，当内环控制器取36DK =，159PK =时，内环将具有抑制“绳长变化 10%（即 0.9m到 1.1m），载荷变化 510%（即 0.82kg到 30.5kg）”的能力。下面将用仿真实验检验这个结果 2. 外环（位置）控制器设计 鉴于内环调节时间对于外环来说较小，为简化外环系统的设计，可以将内环等效成一个增益为qK 的比例环节，则由前述内容可以知道， 0()282 8 1 5 9 (5 0 5 ) 9 .80 .

35、0 0 5 6SSPKKKK m m gq=+= + + =由内环传递函数公式 可知这种近似应满足条件： 222nnss wxw +由内环设计知1=x，10 /nrad sw =， 为外环响应频率范围，可以取为外环的剪切角频率cw。为满足上式，不妨取“ 5倍系数”，则有 21210 10 5ccww+ 计算得到0.95 /crad sw ，即外环的剪切角频率不超过0.95/rads。 外环的简化设计 注意到由摆角到位移的传递函数：22)()(sglsssX +=Q。该传递函数分子没有一次项，这样的系统容易不稳定。为了便于设计，需要对该环节进行简化。 由线性系统的性质，可以将该环节分解为两个并联

36、的环节：比例环节l和积分环节2/gs。分别对这两个环节进行控制，所得的结果与直接控制环节时是等价的。即可以将对图设计而得到的控制器参数，直接用于图所示的系统中。 IKq2sgls+sK21+)(sXr位置给定-)(sX位置输出图 17外环控制器设计系统框图 IKqsK21+)(sXr位置给定-)(1sX位置输出Iq2sgsK21+l-)(2sX)(sX图 18简化后外环控制器设计系统框图 对于二次积分环节2/ sg ，本身有两个不稳定的零极点，采用 PD控制器能够将此环节校正到稳定状态。为了消除闭环零点对系统动态性能的影响，将控制器放在反馈通道。 外环控制器的鲁棒性设计 设所采用的反馈调节器的

37、传递函数为 sKsH221)( += ，为了调节前向通道的增益，起到快速、准确定位的作用，在前向通道内设置一个比例环节调节器1)( KsG = 。图中，二次积分环节闭环传递函数为 21222212 1()()() 2nrnKK gXsTsXs s KKKgsKKg s sqqqwxw w= =+ +其中： gKKn qw12= 212KKKgqx = 比例环节的闭环传递函数为： 11112 1()()() (1 )rKKlXsTsX s K K K ls K K lqqq=+由于 )(1sT 对系统的影响较小，为了简化设计，可以将 )(2sT 作为系统传递函数进行设计，而把 )(1sT 当作系

38、统叠加的扰动进行处理。为保持系统始终稳定，达到较好的鲁棒性，应满足： )(1)(21ww jTjT +对频域内所有角频率w都成立。 为了满足剪切角频率和吊车定位无超调的要求，选定1=x， 0.6 /crad sw = ，则根据式 gKKn qw12= 、212KKKgqx = 以及验证公式 cnwxxw)94(11ln312-+可以解得110. 3K = ，22.7K = ，经过优化选择， 最终选定参数112K = ，22. 5K =。所以有 10. 0672()0. 168 (1 0. 0672 )lTsls l=+2 20. 5625()1. 5 0. 5625Tsss=+为了验证外环设计

39、过程中的简化条件，可以做出不同绳长时)(1wjT和)(12wjT+的幅值图如图 3-6所示。上面为)(12wjT+伯德图的幅值特性，下面的三条曲线分别为 1. 1,1. 0 , 0. 9lm= 时 )(1wjT 伯德图的幅值特性，这四条曲线在任何频率是都在)(12wjT+的下面，即幅值在任何频率是都小于上者。所以设想成立，整个外环系统可以用 )(2sT 代替。 在 MATLAB中编写如下画图程序来绘制 伯德图的幅值特性 ： 图 19不同绳长时的幅频特性曲线 num=1 1.5 1.125; den=1 1.5 0.5625; num1=0.06048; den1=0.1512 1.06048;

40、 num2=0.0672; den2=0.168 1.0672; num3=0.07392; den3=0.1848 1.07392; w=logspace(-1,2); mag,pha=bode(num,den,w); mag1,pha1=bode(num1,den1,w); mag2,pha2=bode(num2,den2,w); mag3,pha3=bode(num3,den3,w); magdB=20*log10(mag); magdB1=20*log10(mag1); 10-1100101102Frequency(rad/sec)-50-40-30-20-10010Magnitude

41、 dBmagdB2=20*log10(mag2); magdB3=20*log10(mag3); semilogx(w,magdB); hold on semilogx(w,magdB1); hold on semilogx(w,magdB2); hold on semilogx(w,magdB3); grid on xlabel(Frequency(rad/sec) ylabel(Magnitude dB) title(外环简化条件验证 Bode Diagram) 接着 检验内环的近似条件，画出外环单位负反馈开环传递函数的伯德图 ，如图 ，可以得到0.48 /crad sw =，既满足剪切角

42、频率又满足内环环节的简化条件。 在 MATLAB中编写如下画图程序来绘制 伯德图 ： num=336 0 3292.8; den=50 1488 4991 6585.6 0; hd=tf(num,den); w=logspace(-1,2); Gm,Pm,Wcg,Wcp = margin(hd); mag,pha=bode(num,den,w); magdB=20*log10(mag); semilogx(w,magdB,r); xlabel(Frequency(rad/sec) ylabel(Magnitude dB) title(Bode Diagram) grid on 图 20外环单位

43、负反馈开环传递函数的伯德图 ans = 11.6912 69.0087 2.1038 0.4809 此外，为使电机输出的最大控制力限定在一定的范围内，可在摆角给定和电机电压给定前分别加上饱和限幅环节，以限定电机的最大输出力矩。由于最大输出量得到了限制，可使系统在暂态过程中的超调得以减小，因而稳定性也有所提高。 四、 仿真实验 (一 )Simulink仿真实验 根据上面的设计，可以建立如图 3-9所示的龙门吊车控制系统的 Simulink仿真程序。其中，系统初始状态为零，小车质量为 50kg，小车的期望位置为 4m。载荷质量和绳长变化时仿真的结果分别如图 3-10、 11所示。 10-11001

44、01102Frequency(rad/sec)-70-60-50-40-30-20-1001020Magnitude dBBode Diagram图 21系统仿真结构图 上图中 crane model展开后如下： 在 MATLAB中编写如下画图程序来绘制 m不同时的响应曲线 ： %m=0.5kg plot(time,position) hold on plot(time,angle) grid on xlabel(Time(s) ylabel(position(m),Angle(degree) mLforceanglepositoncrane model0:0Clockposition0:15

45、To Workspaceangle0:16To Workspace1time0:1To Workspace20:21position desired0:30force limit0:26swinging limit0.50:2m10:4L100:24K1950:25Kp20:19K2290:17K-K-0:13rad-deg0:18Derivative0:20Derivative10:23 0:280:270:22280:29motor gain1m1angle2L3force2positon9.8g50m0mTo WorkspacelTo Workspace1gTo Workspace2m0

46、To Workspace31den(s)Transfer Fcnl.s +g2s 2Transfer Fcn1axis(0 12 -6 8) title(质量（ m）不同时的响应曲线（ L=1m） ) hold on %m=1.0kg plot(time,position) plot(time,angle) hold on %m=5.0kg plot(time,position) plot(time,angle) hold on %m=20kg plot(time,position) plot(time,angle) hold on %m=30kg plot(time,position) pl

47、ot(time,angle) hold on %m=50kg plot(time,position) plot(time,angle) hold on %m=100kg plot(time,position) plot(time,angle) 图 22重物质量 m不同时的响应曲线（ L=1m） 在 MATLAB中编写如下画图程序来绘制 L不同时的响应曲线 ： %L=0.5m plot(time,position) hold on plot(time,angle) grid on xlabel(Time(s) ylabel(position(m),Angle(degree) axis(0 12

48、-6 8) title(L（ m）不同时的响应曲线（ m=5kg） ) hold on %L=0.9m plot(time,position) plot(time,angle) hold on %L=1.0m plot(time,position) plot(time,angle) hold on %L=1.1m plot(time,position) plot(time,angle) hold on %L=2m plot(time,position) plot(time,angle) 图 23不同绳长 L时的响应曲线（ m=5kg） (二 )总结 由仿真结果可见，摆角和位置在 10s左右时就可以达到稳定，同时，可以看出负载质量与绳长两个可变参数在“鲁棒设计”的参数变化范围之内时，系统控制的动态性能满足要求，即系统灵敏度变化不超过 5%。在仿真实验过程中， 也给出了参数变化超出我们设计的参数变化范围的情况，从仿真结果可以看出，控制系统一样可以克服这些参数的大范围扰动，保证系统的控制性能。 综上所述，采用“鲁棒双闭环 PID控制”的吊车系统防摆控制方案可以在定位完成的同时