1、第 28 卷 第 4 期 广西物理 GUANAGXI WULI Vol.28 No.4 2007 56 用拉伸法测钢丝杨氏模量实验中的 不确定度分析 胡益丰，沈大华，祁秀春，张剑豪(江苏技术师范学院数理学院，江苏 常州 213001) 摘 要： 阐述了不确定度的A类评定、B类评定和合成不确定度的一般计算方法。由贝塞尔公式计算了杨氏模量实验中各直接测量量的A类不确定度，并根据具体测量条件计算了B类不确定度。分析了杨氏模量不确定度的来源，并提出了改进措施。 关键词： 不确定度A类评定；不确定度B类评定；合成不确定度 中图分类号： O48 文献标识码： A 文章编号： 1003-7551(2007)
2、04-0056-04 1 引言 杨氏模量是表征固体力学性质的重要物理量，是工程技术中机械构件选材时的重要参数1，2。杨氏模量测定实验是大学物理实验中比较经典的实验，一般采用拉伸法测量材料的杨氏模量3。在外力作用下，长为l、 横截面积为 S 的钢丝伸长 l， 则该钢丝的杨氏模量的表达式为/FSYll=4。 由于材料的拉伸量非常微小，实验中常采用放大法“光杠杆镜 ”来测定这一微小的长度改变量。由此，钢丝杨氏模量的表达式变为nbdFlLY=28，其中 F 为给钢丝施加的外力， l 为钢丝长度， L 为镜面到标尺间的距离， d 为钢丝直径， b 为光杠杆后足到两前足尖连线的垂直距离， n 为望远镜中标
3、尺刻度的变化量。 在实际测量中，存在随机误差、系统误差和粗差5。为了更全面、准确的表达测量结果，实验中往往采用不确定度来表达被测量的分散性，并且把不确定度作为表征测量结果的一个重要参数6，7。本实验中，由于被测量比较多，所采用的测量工具也较复杂，因此，不确定度的计算也相对较繁琐，学生往往不易掌握。本文阐述了不确定度的一般计算方法，分析了拉伸法测金属丝杨氏模量中的不确定度，并根据分析结果给出了一定的改进措施。 2 计算方法 2.1 标准不确定度的 A 类评定8当对某一物理量 X作 n次等精度独立测量时， 得一测量列 x1， x2， xn， 则最佳值为算术平均值=niixnx11。此时 A 类标准
4、不确定度由贝塞尔公式9计算为)1()()(12=nnxxtxniipA ，其中 tp为与一定置信概率相联系的置信因子(可查表得到)。 当测量次数较少或置信概率较高时， tp1； 当测量次数 n10 且 p0.683 时， tp1。在大多数大学物理实验教学中，为了简便，一般取 tp1。 2.2 标准不确定度的 B 类评定10 不确定度的B类分量不能用统计方法进行计算， 可根据测量实际情况和经验来确定它属于哪种概率分布，再用此概率分布对 B 类不确定度进行评定。在教学中一般只考虑仪器的极限误差，若极限误差为 仪 ，则 B* 基金项目：江苏省普通高校自然科学研究计划资助项目 (07KJD430041
5、)，江苏技术师范学院青年科研基金项目(KYY06094)，国家自然科学基金项目 (50361002) * 收稿日期：20071123 用拉伸法测钢丝杨氏模量实验中的不确定度分析 57类不确定度为CxB仪=)( ， 式中 C 是仪器误差概率分布的置信系数， 对于正态分布、 均匀分布和三角分布，C 的值分别为 3、 3 和 6，置信概率 p 取 0.95。在物理实验中，若不能确定 仪 的分布，可视为均匀分布。 2.3 合成标准不确定度11 (1)当测量 X 是直接测量时，则合成标准不确定度 )()()(22xxXBAC += ，置信概率 p 取0.95。 (2)当待测量 y=f(x1， x2， x
6、n) 为间接测量时 ( 其中各 xi无相关 ) ，则合成不确定度为)()()(221iCniiCxxfy = ，其中 )(iCx 分别为各直接测量值的合成标准不确定度。当 y 函数是以乘除为主时，可先求相对不确定度21)(=niixfE ，再求绝对不确定度 yEyC=)( ，间接测量结果表示为)(yyyC+= 。 3 结果与讨论 3.1 实验数据 本实验中用仪器误差 0.004mm 的千分卡在钢丝上、中、下三部位的垂直方向上各测量一次钢丝直径，用最小刻度 1mm 的卷尺测量钢丝长度和平面镜与标尺的间距各 5 次，用最小分度 0.02mm 的游标卡尺测量光杠杆长，用最小分度 1mm的直尺在望远镜
7、中读数。所测数据列表如下。为了保持多次测量的优越性，本实验中对 n 的数据处理采用隔项逐差法。 钢丝杨氏模量的计算式为nbdFlLY=28，由测量数据计算出近真值后代入上式求出 Y 的近真值，再由不确定度计算方法对其近真值进行修正，最后给出测量结果表达式。 表 1 用千分卡测量钢丝直径 (仪器误差取0.004mm) 测量部位 上 中 下 测量方向 纵向 横向 纵向 横向 纵向 横向 平均 d(mm) 0.733 0.720 0.738 0.739 0.721 0.718 0.728 表 2 钢丝长 l， 平面镜与标尺间距 L， 光杠杆长 b 序号 1 2 3 4 5 平均 l(mm) 615.
8、5 616.3 616.2 614.5 614.7 615.4 L(mm) 1 146.8 1 147.1 1 148.2 1 145.6 1 144.6 1 146.5 b(mm) 67.76 67.56 67.36 67.80 67.86 67.67 表 3 测量钢丝的微小伸长量 标尺读数(mm) 砝码质量 （Kg） 加砝码时 减砝码时 平均 (ni+ni“)/2 隔项逐差值ni(mm) 2.00 n0 35.4 n0“ 36.0 n035.7 3.00 n1 38.0 n1“ 38.9 n138.5 n4- n0=11.24.00 n2 n2“ 41.7 n241.4 5.00 n3 4
9、1.1 44.8 n3“ 44.3 n344.6 n5- n1=11.06.00 n4 46.7 n4“ 47.1 n446.9 7.00 n5 49.2 n5“ 49.8 n549.5 n6- n2=10.48.00 n6 51.3 n6“ 52.2 n651.8 9.00 n7 54.2 n7“ 55.1 n7 54.7 n7- n3=10.1第 28 卷 第 4 期 广西物理 GUANAGXI WULI Vol.28 No.4 2007 58 3.2 不确定度分析 不确定度的评定涉及到实验方案的可行性、仪器的选用、数据的判断以及实验后的误差分析、数据处理等12，因此，对于不同的测量量要根
10、据具体的情况分析其不确定度。 3.2.1 直接测量量的不确定度评定 本实验中的直接测量量为钢丝直径 d、钢丝长 l，平面镜与标尺间距 L、光杠杆长 b 和标尺读数 n。以上各量均为多次重复测量量， 其 A类不确定度由贝塞尔公式)1()()(12=nnxxtxniipA 分别计算得出 （ tp1） 。而其 B 类不确定度的计算则比较复杂，必须根据各自的特点进行分析。 其中， 钢丝直径 d 由仪器误差引起的 B 类不确定度 （设为均匀分布）0.004( ) 0.003mm3BdC= =仪，所以钢丝直径 d 的合成不确定度22( ) ( ) ( ) 0.005mmCABddd=+= 。钢丝长 l 由
11、仪器误差引起的 B 类不确定度(设为均匀分布)11() 0.6mm3BlC=仪；钢丝长随温度变化引起的 B 类不确定度TBTll =)(2，由固体的线胀系数Tll =1 知 lTl=，而钢的 =11.510-6deg-1，设温度不确定度T=0.1，所以32( ) 0.88 10 mmBTll= ，故 l 的合成不确定度为 C(l)=0.7mm。可以看出，由钢丝长度随温度变化引起的不确定度可以忽略不计。 平面镜与标尺间距 L和标尺读数 n的测量条件均与 l相同， 故其B类不确定度与 l相同 B(L)= B(n)= B(l)0.6mm。光杠杆长 b 的测定是将光杠杆放在平铺的白纸上轻压，然后用直尺
12、将前两足压痕点连起来，再从后足压痕点作一条垂线段到两前足尖连线，这条垂线段的长即为 b。而 b 的测量采用的是最小分度 0.02mm 的游标卡尺，故其 B 类不确定度(设为均匀分布)0.02( ) 0.012mm3BbC= =仪。各直接测量量的 A 类不确定度、B 类不确定度、合成不确定度和相对不确定度计算结果见表 4。 表 4 测量量的几类不确定度 不确定度 A 类不确定度 B 类不确定度 合成不确定度 相对不确定度 Ed (mm) 0.004 0.003 0.005 0.69% l (mm) 0.4 0.6 0.7 0.12% L(mm) 0.7 0.6 0.9 0.079% B(mm)
13、0.09 0.012 0.09 0.014% n(mm) 0.9 0.6 1.0 9.3% 3.2.2 杨氏模量 Y 的不确定度分析 先由杨氏模量 Y 的计算公式及表 1、表 2 和表 3 数据，可得11 -2281.84 10 (N m )FlLYdb n=。由于杨氏模量 Y 由乘除计算得到，所以先求其相对不确定度比较简单，由相对不确定度的传递公式可得 Y 的相对不确定度表达式为 )()()(4)()()()(2222221nEbEdELElExfYEnii+=，将表 4 数据代入上式，得 %4.9)( =YE ，由此 Y 的合成不确定度 )(102.0)()(211 = mNYYEYC 。
14、利用 )(YC 对 Y进行修正后，得到杨氏模量的结果表达式为 用拉伸法测钢丝杨氏模量实验中的不确定度分析 59=%4.9)(10)2.08.1(211YEmNY表 4 不确定度的计算结果表明， 不同测量量由于采用不同的测量方法和测量工具， 其不确定度相差较大。平面镜与标尺间距 L 的相对不确定度最小 (E(L)=0.079%)，表明其测量精度最高。标尺读数 n 的不确定度最大（ E(n)=9.3%） ，在杨氏模量的最终不确定度中占的比例为 98.9，可见提高 n 的测量精度对于整个测量不确定度的降低具有重要作用。而 n 的相对不确定度中，A 类不确定度占的权重为 60，B 类不确定度所占的权重
15、为 40。分析其原因，可能是由于加减砝码后没有给予钢丝足够的拉伸 (或压缩 )时间，在钢丝长度未稳定前即进行了读数，或是由于钢丝晃动较大，也对读数造成一定影响。另外，本实验中标尺读数总的变化区间约为 20mm，而采用的标尺最小刻度为 1mm，测量精度也较低，所以建议更换精度更高的直尺进行测量。 4 结论 (1)多次等精度测量的 A类不确定度由贝塞尔公式计算，而 B 类不确定必须根据测量采用的方法、仪器、环境等具体情况进行评定。 (2)杨氏模量的计算主要由乘除得到，所以在求其不确定度时先求相对不确定度比较简单，计算结果必须根据合成不确定度来调整其小数位数。 (3)杨氏模量的不确定度中， 标尺读数
16、 n 造成的影响较大， 所以测量中宜采用精度更高的标尺进行读数；同时要给予钢丝足够的弛豫时间，待其稳定后再行测量，可以降低其不确定度。 参 考 文 献 1袁剑辉，程玉民. 单壁碳纳米管杨氏模量的掺杂效应J. 物理学报，2007，56(8):4810-4816. 2程显中，苏锡国. 利用光纤传感器测量金属丝的杨氏模量J. 大学物理实验，2007，20(2):23-25. 3余观夏，王军，阮锡根. 基于声卡和LabVIEW测量金属的动态杨氏模量J. 物理实验，2007，27(8):6-9. 4Kulkarni A J，Zhou M. Surface-effects-dominated therma
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