1、数学学 院 苏灿荣 禹 春福 2013.12 第一章 概 率 论 的 基 本概 念 习题 1 1 随机 事件 1. 设 C B A , , 表示三个事件，试将 下列事件用 C B A , , 表示出来： （1 ） C A, 都发生，B 不发生； 【 , ABC AC B 】 （2 ）三个事件中至 少有一 个发生; 【 A B C 】 （3 ）三个事件中至 少有两 个. 【 , AB AC BC ABC ABC ABC ABC 】 2 设某人对一目标接连进行三次射击，设 i A 第i 次命中 1 2 3 i （ ， ， ） ； j B 射击恰好命中 j 次 0 1 2 3 j （ ， ， ， ）
2、 ； 0 1 2 3 k C k k 三 次 射 击 至 少 命 中 次 （ ， ， ， ） . （1 ）通过 3 2 1 , , A A A 表示 2 B ; 【 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 B AA A AA A AA A 】 （2 ）通过 1 2 3 , B B B 表示 2 C . 【 2 2 3 C B B 】 3. 设 , A B C 为三个事件，指出 下 列各等式成立 的条件. （1 ） A C B A ； 【 A BC 】 （2 ）A B C A ； 【 B C A 】 （3 ）A B AB ； 【 AB 】 （4 ）() A B A B 。 【 AB 】 习题 1
3、 2 概 率 1设 1 1 1 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) , 4 8 16 P A P B P C P AB P AC P BC P ABC 求下列事件的概率 ： （1）() P A B C ； （2） ) ( C B A P 解 （1） 3 3 1 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 8 16 16 P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC (2 ） 9 ( ) 1 ( ) 16 P ABC P A B C P A B C . 2 从 5 双不同尺码的鞋子 中任取 4 只，求至少
4、有 2 只配成一双的概率. 解 1 2 1 1 2 5 4 2 2 5 4 10 13 21 C C C C C p C ， 或 4 1 1 1 1 5 2 2 2 2 4 10 13 1 21 C C C C C p C 数学学 院 苏灿荣 禹 春福 2013.12 3从0,1 中随机地取两个数， 求下列事件的概率： （1 ） 两数之和小于 5 4 ；（ 2 ）两数 之积大于 1 4 ； （3 ）以上两个条件 均满足. 解 （1）设 A ： 两数 之和 小于 5 4 ， 则有 1 3 3 1 23 244 () 1 32 PA （2）设 B ：两 数之 积大 于 1 4 ，则有 1 1 4
5、1 (1 ) 31 4 ( ) ln 2 1 4 2 dx x PB （3） 1 1 4 51 () 3 1 1 3 3 15 1 44 ( ) ln 2 ln 2 1 4 2 2 4 4 32 2 x dx x P AB 4旅行社 100 人中有 43 人会讲英语，35 人会讲日 语，32 人会讲日语和英语 ，9 人会讲法语、英 语和 日语，且 每人至少会 讲英 、日、法三种语言中 的一 种，在其中任意挑选 一人 ，求此人会讲英语和 日语 ， 但不会讲法语的概率 解 设 A ： 会讲 英语 ，B ： 会讲日 语，C ：会 讲法 语 则有：() P ABC 32 9 ( ) ( ) 0.23
6、100 100 P AB P ABC 习题 1-3 条件 概率 1 根据对电路停电情况的 研究， 得到电路 停电原因 的一下经验数据 ：5% 是由 于变电器损坏；80% 是由 于电 路线损坏；1% 是由于两者 同时损坏. 试求下列各种 停电事件发生的概率。 （1 ）在已知变电器损坏 的条 件下， 电路线损坏； （2 ）变电器 损坏但电路线完好； （3 ） 在已知电路线 没损坏 的条 件下，变电器损坏. 解 A ：变电器损坏，,B ： 电路线损坏，则 ( ) 0.05, ( ) 0.8, ( ) 0.01 P A P B P AB （1 ） ( ) 0.01 ( ) 0.05, ( ) 0.8,
7、 ( ) 0.2 ( ) 0.05 P AB P B A P B P AB PA ； （2 ） ( ) ( ) ( ) 0.05 0.01 0.04 P AB P A P AB （3 ） ( ) ( ) ( ) 0.05 0.01 ( ) 0.2 1 ( ) 1 0.8 () P AB P A P AB P A B PB PB . 2一批灯泡共 100 只，次品率为 10% ，不放回的抽 取 3 次，每次取一只，问 第 3 次才取到合格品的概 率是 多少？ 解 记 i A ：第i 次取到 合格 品， ( 1, 2, 3) i 所求 概率 即 为： 1 2 3 1 2 1 3 1 2 10 9
8、90 9 ( ) ( ) ( | ) ( | ) 100 99 98 1078 P AA A P A P A A P A AA 数学学 院 苏灿荣 禹 春福 2013.12 3 玻璃杯成箱的出售， 每 箱 20 只， 假设各箱含 0 个，1 个，2 个次品的概率相 应的为 0.8, 0.1, 0.1 ， 一顾客 欲买一箱玻璃杯， 售货员 随意地抽取一箱， 顾客开 箱后随意地查看 4 只， 若无次品则买下这箱玻 璃杯 ， 否则 退回， 试求： （1 ） 顾客买 下该箱玻璃杯 的概率； （2 ） 若一 个顾客买下了 一箱 玻璃杯， 在顾客买下 的这 箱玻璃 杯中确实无次品的概 率。 解 （1 ）记
9、 A ：顾 客买 下 该箱 玻 璃杯 ， k B ：该 箱含 有k 只次 品， 0, 1, 2 k 则有 44 2 19 18 44 0 20 20 4 12 448 ( ) ( ) ( | ) 0.8 1 0.1 0.1 0.8 0.1 0.1 0.94 5 19 475 kk k CC P A P B P A B CC （2） 0 0 0 0 ( ) ( ) ( | ) 0.8 95 ( | ) 0.85 ( ) ( ) 0.94 112 P AB P B P A B P B A P A P A 习题 1 4 独 立性 1设 , AB 为两个事件，且 ( ) 0.8, ( ) 0.6, (
10、 ) 0.32 P A P B P A B ，问A 与B 是否相互独立，为 什么 ？ 解 因为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.8 0.32 0.48 ( ) ( ) ( ) P A B P A P AB P A P P AB AB P A P B , 所以 A 与B 独立 2某举重运动员在 一次试 举中能举起某一重量 的概 率为 p ，如果他最多只 能试 举 3 次，且前面的 试举情 况 对后面没有影响， 求 他能 举起这个重量的概率 。 解 记A ： 能举 起这 个重 量， k B ：他 第k 次能 举起 某 一重量 （ k=1, 2, 3 ） ，则 () k P B p （
11、=1, 2, 3 k ） 则有 2 1 1 2 1 2 3 1 1 2 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) (1 ) P A P B BB BB B P B P BB P BB B p p p p p 32 33 p p p 3 一实习生用一台机 器接 连独立地制造 3 个同种零 件， 第i 个零件是不合格 的 概率为 1 ( 1, 2, 3) 1 i pi i ， 求 ： （1）他制造 的 三 个零件 中 前 两个 为 合 格品 ， 而第 三 个 不 是 合 格 品的 概 率， （2） 三 个 零 件中 至 少 有一个 是合格品的概率。 解 记 k A ：第k 零件
12、为 合格 品 （ k=1, 2, 3 ） ，则 1 2 3 1 1 1 ( ) , ( ) , ( ) 2 3 4 P A P A P A ， （1） 所求 即为 ： 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) (1 ) 2 3 4 12 P AA A P A P A P A ； （2） 所求 即为 ： 1 2 3 1 2 3 1 1 1 23 ( ) 1 ( ) 1 2 3 4 24 P A A A P AA A 数学学 院 苏灿荣 禹 春福 2013.12 第二章 随 机 变 量 及 其 分布 习题 2 1 随机 变量 及 其分 布函数 1 已知随机变
13、量X 的分布函数 为 2 2 , 0, () 0, 0. x a be x Fx x 求系数 , ab 的值. 解 由 lim ( ) 1 x Fx 及 0 lim ( ) (0) x F x F （处 处右 连续 ） 得 1, 1 ab 2 下列函数中可以作为 某个 随机变量的分布函 数 的是 （ ） (A) 2 1 ( ) , 1 F x x x (B) 11 ( ) arctan , 2 F x x x (C) 1 (1 ), 0, () 2 0, 0. x ex Fx x (D) ( ) ( ) , x f x f t dt 其中 ( ) 1 f x dx 解 因为 ( ) lim (
14、 ) lim 1 xx F F x P X x P X P 否（A）（ C） ，而 （D ）中 未 有 0 ) ( x f 的条 件. 正确 选项 （B） 习题 2 2 离散 型随机 变量 及其分 布 1 已知袋中编号分别为 1 ，2 ，3 ，4 ，5 的五只球， 现从中任意抽取三只 ，以X 表示取出的三只球中 最小 编 号，求X 的分布律和分 布函 数，并画出分布函数 的图 形. 解 12 14 3 5 6 ( 1) 10 CC PX C , 12 13 3 5 3 ( 2) 10 CC PX C , 12 12 3 5 1 ( 3) 10 CC PX C 则X 的分布律为 故X 的分布函数
15、 为 0, 1, 0.6, 1 2, ( ) 0.9, 2 3, 1, 3. x x F x P X x x x图形 略. X 1 2 3 k p6 103 101 10数学学 院 苏灿荣 禹 春福 2013.12 2 已知实验室有同类设 备 4 台， 每 台设备一年里 需要维修的概率为 0.25 ， 求一年里 （1 ） 需要 维修的 设备台 数X 的分布律； （2 ）没有设 备需要维修的概率； （3 ） 至少有两台设备需要 维修 的概率. 解 （1 ） (4,0.25) XB ，其分布律为 4 4 13 ( ) , 0,1,2,3,4 44 kk k P X k C k ； （2 ） 04
16、0 4 1 3 81 ( 0) 0.316 4 4 256 P X C ； （3 ） 13 1 4 81 1 3 67 ( 2) 1 ( 2) 1 ( 0) ( 1) 1 0.262 256 4 4 256 P X P X P X P X C 3一批 产品共有 10 件，其中 7 件正品，3 件次品，每次随机地抽取一 件产 品 ，分别在下列情况 下， 求直到 取出正品为止所需抽 取的 次数X 的分布律。（ 1 ）采取 无 放回 抽样；（ 2 ）采取有 放回抽样. 解 （1 ） 无 放回 抽样时 设 k A ：第 次取 到 正 品， 1,2,3,4 k ，则 有 1 7 ( 1) ( ) 10
17、P X P A ； 1 2 1 2 1 3 7 7 ( 2) ( ) ( ) ( ) 10 9 30 P X P AA P A P A A ； 1 2 3 1 2 1 3 1 2 3 2 7 7 ( 3) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 9 8 120 P X P A A A P A P A A P A A A ； 1 2 3 4 1 2 1 3 1 2 4 1 2 3 3 2 1 1 ( 4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 10 9 8 120 P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ； (2) 有 放回 抽样时 Xk 表示 前
18、 1 k 次取 到的 均为 次品 ，而 第k 次取 到的 才是 正品. 故 11 1 2 1 2 1 3 3 3 7 ( ) ( ) ( 73 ( ) 10 10 ) ( ) ( ) 1, 2, 10 10 10 10 kk k k k P A A A A P A P A P A P A k P X k 习题 2 3 连续 型随机 变量 及其分 布 1. 设随机变量X 的概率密度为 3 , 0 1, () 0, . cx x fx 其 他求（1 ）常数 c . （2 ）X 的分布函数 () Fx ； (3) 1 1 2 PX 解 （1 ） 由 1 3 0 () 11 14 4 c c fx x
19、 dx dx c X 1 2 3 4 k p 7 107 307 1201 120数学学 院 苏灿荣 禹 春福 2013.12 （2 ） 34 0 00 00 ( ) 4 , 0 1 , 0 1, 11 11 x x x F x x dx x x x x x （3 ） 4 1 1 1 1 1 ( ) ( 1 ) ( ) 2 2 2 16 P X F F ， 或 1 2 1 1 3 2 0 1 1 ( 1 4 ) 6 2 1 P X f x d xx x d 2. 设连续型 随机变量X 的分布 函数 为 01 ( ) ln , 1 1 x F x x x e xe 求（1 ）X 的概率密度 ()
20、 fx. （2 ） 2, 0 3 P X P X 解 （1 ）X 的 概率密度 1 ,1 ( ) ( ) 0 xe f x F x x 其 他（2 ） 2 (2)=ln2; 0 3 (3) (0) 1 P X F P X F F 3 设某年级学生的数学 考试 成绩（百分制 ）服从 正态 分布 2 ( , ) XN ，平均成绩为 72 分. (1) 若 10 ，且规定 90 分以上 为 “ 优秀” ，则 “ 优秀” 考生占总学生数的百分之 几？ (2) 若 未知，但已知 96 分以上的占考生总数的 2.3% ，试求考生的 数学 成 绩在 60 分至 84 分之间的概率. 解 （1 ）设X 为考
21、生的 数学 成绩， 由题 意 2 (72,10 ) XN ，所以 9 72 90 1 ( ) 1 (1.8) 0.0359 3.6 10 PX % ， 即“ 优秀 ” 考 生占 总学 生数的 百分 之 3.6. （2 ） 依题 意有 2 ( , ) XN ，且 72. 但 2 未知. 故 96 72 24 96 1 96 1 ( ) 1 ( ) 0.023 P X P X ， 24 ( ) 1 0.023 0.977. 查表得 24 2.0 12. 即 2 (72,12 ). XN 则 72 60 84 1 2 (1) 1 0.6826 1 . 2 X P X P 数学学 院 苏灿荣 禹 春福
22、 2013.12 4 设随机变量X 的概率密度为 2 , 0 1 () 0, xx fx 其 他, ， 以Y 表示对X 的三次独立重复 观察中事件 1 2 X 出现的次数， 求 2 PY . 解 由于 1 2 0 11 2 24 p P X xdx ，故 1 (3, ). 4 YB 于是 22 3 1 3 9 2 ( ) ( ) . 4 4 64 P Y C 习题 2 4（随机 变量函 数的 分布） 1. 设 离散型 随机变量X 的分布律为： X 2 1 0 1 3 k p 1 51 61 51 15a 试求： （1 ） 确定常数a ； （2 ） 2 2 YX 的分布律。 解 （1） 由 11
23、 1 30 i i pa ； （2 ） 其中 1 1 7 ( 3) ( 1) ( 1) 6 15 30 P Y P X P X 2设随机变量 (0,1) XN ，求 X Ye 的概率 密度函数. 解 2 ln 2 ln , 0 ,0 ( ) 0, 0 0, 0 1 2 X Y x y P X y y y F y P Y y P e y y y e 所以 2 ln 2 1 ,0 ( ) ( ) 2 00 y YY y f y F y y y e Y 2 3 6 11 k p 1 57 301 511 30数学学 院 苏灿荣 禹 春福 2013.12 第三章 多 维随 机 变 量 及 其 分布 习
24、题 3 1 二维 随机 变量及 其分 布 1设一 袋中有四个 球，它 们依次标有数字1, 2, 2, 3. 从此袋 中任取一球后不放回 袋中 ，再从袋中任取一球， 以分别X 、Y 记第一、 二次取 得的球上标有的数字 ， 求： （1 ）( , ) XY 的联合分布律， （2 ） 4 P X Y 的 值。 解 （1 ） 其中 2 1 1 ( 2, 1) 4 3 6 P X Y 1 1 1 ( 1, 3) 4 3 12 P X Y ， 1 ( 1, 1) 0 0 4 P X Y （2 ） 2 4 1 4 1 1, 1 1, 2 2, 1 3 P X Y P X Y P X y P X y P X
25、y 2 设 二 维 随 机 变 量 ( , ) XY 在区域 ( , ) | 0 2, 1 2) D x y x y 上 服 从 均 匀 分 布 ， 试 求 （1 ） P X Y ， （2 ） 1 P X Y . 解 X 的概 率密 度为 ： 1 ( , ) ( , ) 6 0 x y D f x y 其 它 ， 则 （1 ） 2 00 11 ( , ) 63 y xy P X Y f x y dxdy dy dx ； (2 ） 22 01 12 1 63 x P X Y dx dy X Y 1 2 3 1 2 3 0 1 61 121 61 61 61 121 60 数学学 院 苏灿荣 禹
26、春福 2013.12 3设二维随机变量 的联合 概率密度函数为： 2( ) 0 , 0 ( , ) 0 其 它 xy Ce x y f x y 求： （1 ）常数C 的值； （2 ） ( , ) P X Y D 的值，其中 ( , ) | 0, 0, 1 D x y x y x y ； (3）随机变量XY 与 至少有一个 小于 2 的概率。 解 （1 ）因 为 2( ) 00 ( , ) 1 1 1 4 xy C f x y dxdy C dx e dy ，所以 4 C ； （2 ） 11 2( ) 2 00 ( , ) ( , ) 4 1 3 x xy D P X Y D f x y dxd
27、y dx e dy e （3 ） 2( ) 8 22 ( 2 2) 1 2, 2 1 4 1 xy P X Y P X Y dx e dy e 习题 3 2 边缘 分布 1一 射手进行射击 ， 每次击中 目标的概率为 0.7 ， 射击进行 到击中目标两 次为止。设X 表 示第一次击 中目 标所进行的射击次数 ， 以Y 表示总共射击次数。 试求： （1 ）( , ) XY 的联合分布律； （2 ）( , ) XY 关于X 与Y 的边缘分布律. 解 （1 ） , X m Y n 的含义 ：第n 次射 击时恰 好第 二次 击中 目标 ，前 1 n 射击中 仅有 一次 击中 目标， 故 22 0.7
28、0.3 2,3, , 1,2, 1 , 0 n n m n P X m Y n 其 它 ， （2 ） Xm 的含 义 ： 第m 次射击 时 恰好第 一次 击中 目标 ，前 1 m 射击均未 击 中目 标， 故 1 0.7 0.3 , 1, 2, m P X m m Yn 的含义 ：第n 次射 击时 恰好 第二次 击中 目标 ，前 1 n 射击 中有一 次 击 中目 标， 2 n 次射 击未中. 故 22 ( 1)0.7 0.3 , 2, 3, n P Y n n n 数学学 院 苏灿荣 禹 春福 2013.12 2. 设二维连续型随机变量 的联合概率密度函数 为： 2 ( ), 0 1, 0
29、2, ( , ) 0, A x xy x y f x y 其 它.试求： （1 ）常数A 的值； （2 ） ( , ) XY 的联合分布函数； （3 ） ( , ) XY 关于X 与Y 的边缘概率密 度函数和边缘分布函 数。 解 （1） 因为 12 2 00 53 ( ) 1 1 35 A dx x xy dy A A ； （2） 3 2 2 2 00 2 2 23 00 2 1 2 00 0 0 0 33 ( ) ( ) 0 1, 0 2 5 5 3 4 3 2 3 ( , ) ( ) 0 1, 2 5 5 5 33 ( ) 1, 0 2 5 5 20 1 1, 2 xy x y xy x
30、x y dx x xy dy y x y x F x y dx x xy dy x x y yy dx x xy dy x y xy 或（3 ） 2 3 00 23 ( ) 0 1 55 11 X x x F x x x x ， 2 66 01 ()55 0 X x xx fx 其 它 ， 2 00 3 ( ) 0 2 5 20 12 Y y yy F y y y 13 02 () 5 10 0 Y y x fy 其 它 习题 3 3 随机 变量的 独立 性 1. 设二维随机变量 ( , ) XY 的联合 密度函数 为 2 1 1 , 1 ( , ) 0, x y e xy f x y 其 它
31、 , 判断X 与Y 是否相互独立 。 解 因为 2 2 1 1 1 1 () 0 X e x f x dy x xy 其 他 ， 2 1 1 1 1 () 0 Y ye y f y dx xy 其 它 ， ， ， 所以 ( , ) ( ) ( ) XY f x y f x f y ，因 而X 与Y 是独立 数学学 院 苏灿荣 禹 春福 2013.12 3. 设 随 机 随 机 变 量Y 的 密 度 函 数 ,0 () 0, 0 y Y ey fy y ， 定 义 随 机 变 量 12 , XX 为 2, 3, k Yk X Yk ( 1, 2) k , 求 1 X 和 2 X 的联合分布，并判
32、 断 1 X 与 2 X 是否相互独立. 解 （1） 1 X 2 X 2 3 2 () PX 2 3 1 1 e 12 ee 0 2 e 2 1 e 2 e 1 () PX 1 1 e 1 e 其中 1 1 12 0 2, 2 1 1 y P X X P Y e dy e ， 12 2, 3 ( 1 2) 0 P X X P Y Y ， 2 12 12 1 3, 2 ( 1 2) y P X X P Y Y e dy e e ， 2 12 2 3, 3 ( 2) y P X X P Y e dy e ； （2 ） 因为 1 2 1 2 2, 3 2 3 P X X P X P X ，所 以 1
33、 X 与 2 X 是不独立 的 3设X 与Y 是相互独立的随机 变量，X 在(0,1) 服从均匀分布，Y 的概率密度函数为 /2 1 0 () 2 00 y Y ey fy y （1 ）求X 与Y 的联合概率密度 ； （2 ）设含有a 的二次方程为 22 20 a Xa Y ，试求该方程 有实根 的概 率. 解 （1 ）因为X 与Y 是相互 独 立的随 机变 量， 所以 其联 合概率 密度 函数 为 2 1 0 1, 0 ( , ) ( ) ( ) 2 0 y XY e x y f x y f x f y 其 它 ； （2）设 A ：该 二次 方程 有 实根 则有 1 11 2 2 2 2 2
34、 2 2 0 0 0 1 ( ) ( 0) 4 4 0 (1 ) 2 1 2 yx x P A P P X Y P Y X dx e dy e dx e . 数学学 院 苏灿荣 禹 春福 2013.12 习题 3 4 条 件分布 1. 设二维随机变量的联合 概 率密度函数为 1 sin( ), 0 , 0 ( , ) 2 2 2 0, x y x y f x y 其 它试求 | ( | ) XY f x y 和 | ( | ) (0 , 0 ) 22 YX f y x x y . 解 2 0 1 (cos sin ) 0 1 ( ) ( , ) sin( ) 22 2 0 X x x x f
35、x f x y dy x y dy 其 它2 0 1 (cos sin ) 0 1 ( ) ( , ) sin( ) 22 2 0 Y y y y f y f x y dx x y dx 其 它则 | sin( ) 0 , 0 cos sin 2 2 ( | ) 0 XY xy xy yy f x y 其 它 , | sin( ) 0 , 0 ( | ) cos sin 2 2 0 YX xy xy f y x xx 其 它2在 10 件产品中有 2 件 一级品，7 件二级品和 1 件次品，从 10 件产品 中无放回抽取 3 件 ，用X 表示其中 的一级品，用Y 示其中 的二级品数，求（1 ）
36、 0 X 在的条 件下Y 的条件分布； （2）在 2 Y 的条件下X 的 条件分布。 解 X Y () PY 0 0 1 1201 120 0 14 1207 12021 120 21 12042 1200 63 1203 35 1200 0 35 120() PX 56 12056 1208 1201 其中 1 1 1 2 7 1 3 10 14 1, 1 120 C C C P X Y C ， 12 27 3 10 42 1, 2 120 CC P X Y C 数学学 院 苏灿荣 禹 春福 2013.12 （1 ） 0 X 在的 条件 下Y 的条件 分 布 21 12 3 2 | 0 56
37、 12 0, 0 8 P Y X 或 21 71 3 8 3 2 | 0 , 8 CC P Y X C 2 | 0 YX 的含义 ： 已 知取 出的 三件 中无一 级品 ，即 在剩 余 的 8 件中 取三 件， 其中 有两 件二级 品 和一件 次品. 35 120 56 120 5 3| 0 8 P Y X ，或 3 7 3 8 5 3| 0 8 C P Y X C ； 3| 0 YX 的含义 ： 已 知取 出的 三件 中无一 级品 ，即 在剩 余 的 8 件中 取三 件， 其中 有三 件二级 品. （2 ） 12 0 | 2 , 21 42 120 120 63 63 1| 2 3 12 1
38、2 3 00 P X Y P X Y 或 11 12 11 33 12 0 | 2 , 1| 2 33 CC P X Y P X Y CC . 习题 3 5 二 维随机变 量函 数的分 布 1. 设随机变量XY 与 相互独立， 且它们的分布率分别 为 X 12 p 13 44求（1 ） 2 U X Y 的分布律； （2 ） 22 V X Y 的分布律。 解 （1） 其中 3 2 3 ( 3) ( 2, 1) ( 2) ( 1) 4 5 10 P U P X Y P X P Y ； （2 ） 其中 1 3 3 2 9 ( 5) ( 1, 2) ( 2, 1) 4 5 4 5 20 P V P X
39、 Y P X Y . Y 12 p 23 55U 3 2 1 0 k p 3 109 201 103 20V 2 5 8 k p 1 109 209 20数学学 院 苏灿荣 禹 春福 2013.12 2设 , XY 是相互独立的随机变 量， 它们分别服从参 数为 12 , 泊松分布， 证明Z X Y 服从参数 为 12 的泊松分布。 证 对任意的非负整 数k ，有 00 , kk ii P Z k P X Y k P X i Y k i P X i P Y k i 12 12 0 ! ( )! i k i k i ee i k i 1 2 1 2 ( ) ( ) 1 2 1 2 00 ! !
40、!( )! ! kk i k i i i k i k ii e k e C k i k i k 12 12 () 12() 12 () () ! k k e e kk ， 即 12 12() () ! k P X Y k e k ， 0,1,2, k ，所以 12 ( ) X Y P 3设随机变量 ( , ) XY 的联合密度 函数为 3 0 1, 0 ( , ) 0 x x y x f x y 其 它 , 试求Z X Y 的概率密度函数. 解 ( ) ( , ) Z x y z F z P Z z P X Y z f x y dxdy , 13 0 0 0 0 0 = 1 1 1 1 3 1 3 0 1 01 22
