1、清华大学物理系博士生资格考试 O m v 2005 年春季清华大学物理系博士生资格考试 分析力学： 两质点 m1,m2，中间用无质量的弹簧相连，弹性系数 k，原长 d。在无摩擦的光滑平面上运动，转动或振动。求出广义动量，哈密顿量，哈密顿方程（写出积分形式即可） 电动力学： 求运动电荷产生的电磁辐射能量密度 力学： 1.一个杆质量 m，长度 l，截面积 S,杨氏模量 Y。在光滑水平面内绕一端转动，角速度 。在杆内部截面上切向应力均匀分布。求 r 处的内应力，求杆的总伸长量。 2.滑轮质量 M，半径 R，两侧两个水桶通过绳子相连，绳子绕过滑轮。两桶原质量为 m0，静止。左侧桶下 有个洞，水从中流出
2、，单位时间内流出的质量为 qm，流出的水相对桶的速度为 u。求左侧桶的加速度 a(t). 3.质量为 m0 的质点从静止开始在 F=kx*x 作用下运动，考虑相对论效应，求 v(t). 电磁学： 1.圆柱形电容器，内半径 a，外半径 b，长 l。上下两半为两种导电（注意是导电 !）介质，介电常数和电导率分别为 1， 1， 2 2。电容器中间通过的总电流为 I。求电容器的电势差，第一种介质内表面的自由电荷密度。 2.一大圆圈，半径 R，电流 I。在正上方有一小圆圈，平行于大圆圈，半径 r。两圆圈圆心在一条直线上。 t=0 时小圆圈圆心距大圆圈圆心 z，以 v 偏离大圆圈运动。小圆圆半径 r 很小
3、，可近似认为小圆圈内磁场均匀分布。求小圆圈圆心处的磁场，小圆圈上的感应电动势大小和方向。设小圆圈自感为 T，求小圆圈中的电流 i. 热学： 质量为 m，温度为 T1，压强为 P1 的液体，变为压强 P2，温度 T2 的高温高压气体。求熵变。给定液体比热 c，水蒸汽临界压强 Pb?汽化热？。记不清了 光学： 1.双缝间距 d=0.4mm，缝宽 a=0.08mm。后面透镜 f=50cm。一束单色平面光波长。垂直于缝入射，求透镜像平面上明条纹间距，求一级衍射包中间 的明条纹数量 2.光，通过线偏振器，转动线偏振器，发现光强没有变化。让光先通过 1/4 波长偏振片，然后再用线偏振器检偏，发现最大光强是
4、最小光强的 4 倍。求光的组成，原先光中偏振光的光强占总光强的百分比 2006 年春季清华大学物理系博士生资格考试 1 一质量为 m 的物体与长为 L、拴于轴 O 点的静止杆相碰撞，碰撞之后物体的速度为零。碰撞时间极短为 。 求（ 1）刚碰撞完时，杆的角速度？（ 2）碰撞过程中，轴 O对杆的水平力 F 为多少？（ 3）不计阻力，杆上升的最大角度？ 2 体系拉氏量 1 2 1 2( . , . , )L q q q q t，哈密顿量1 2 1 2( . , . , )H q q p p t， 求证：,0iiiiq q q q q pd L d Hd q d q 清华大学物理系博士生资格考试 q
5、a Q S 3 有一个金属板，面积为 S，带电量为 Q，距离金属板为a 处有一电量为 q 的点电荷。问：该点电电荷的受力？（计算时面积认为无穷大） 4 Z 方 向 有 磁 场 的 电 子 ， 其 拉 氏 量2 2 21122( ) ( )L m x y z e B y x x y 证明： L 具有平移对称性，并求其不变量。 5 线性介质中，无自由电荷和自由电流的情况下， （ 1） 求电场强度和磁感应强度满足的波动方程，并说明其以速度 v 传播。 （ 2） 证明电场强度和磁感应强 度的解具有如下形式， ( , ) ( )E r t E t r nv，( , ) ( )B r t B t r nv
6、其中 n 为波速方向。 （ 3） 证明，满足（ 2）的形式的解为平面波。 （ 4） 证明，平面波为横波。 （ 5） 证明，能流以速度 v 传播，证明电场能密度等于磁场能密度。 6 有一个空调可视为卡诺循环机，空调连续工作时的功率为 P。夏天空调将室内的热量运送到室外，使室温低于室外温度；冬天则将室外的热量运送到室内，使室温 高于室外温度。若室内外的温差为 T 时，每秒钟热量传输为 Q A T。 （ 1） 夏天，若空调连续工作则室温 2T 为多少？（设室外维持恒温 1T ） （ 2） 冬天，若要使室温维持在 1T ，则室外的温度最低为多少？ 7（题中的具体数值忘了，而且题估计也有出入）有一激光器
7、频率为 ，其相干长度为 L。束腰直径为 D，（ 1）求激光器的频谱宽度，（ 2）若在 10km 的距离观察此激光器的束斑，其半径为多少？（ 3）若用一个望远镜系统将此激光器的束腰减小到原来的十分之一，则此望远镜系统如何设计，其放大率为多少？ 2007 年春季清华大学物理系博士生资格考试 1、 如图所示，刚杆一端 O 固定在光滑铰链上，水平松手使之下落，某一时刻与水平方向夹角 。已知刚杆质量 m，长度 l。 （ 1） 求此时刚杆的角速度和角加速度。 （ 2） 求距离 O 为 r 的截面 A 上的横向力（与杆垂直）和力偶矩。 2、 在哈密顿系统中作一个变量代换： P P(p,q) , Q = Q(
8、p,q) （具体的函数关系记不清了，其中含有几个参数）。问参数取什么值时变换是正则的，并写出变换的母函数。 3、 如图，质量为 m 的小球穿在一根抛物线铁丝（ y=bx2）上可以光滑的滑动，铁丝以恒O r A 清华大学物理系博士生资格考试 定角速度 绕对称轴旋转 ,对称轴沿竖直方向。取 x 为广义坐标，求出对应的广义动量。从哈密顿方程得到 x 的运动方程。 4、 如图，一段圆柱形金属导线中通有恒定电流。导线周围是 真空 （ 1） 说明在这段导线的两个端面上没有能量流入或流出； （ 2） 说明在导线的侧面有能量流入。 （ 3） 证明单位时间流入的能量等于单位时间导线产生的焦耳热。 （ 4） 在怎
9、么情况下，能量可以从侧面流出导线？ 5、 如图，在一个半径为 R 圆形区域内部有指向纸内的均匀磁场 B(t)。绝缘体导轨 AB 到圆心 O 的距离是 h。一个质量 m，正电荷 q 的粒子静止在 B 端。现在使 B 随时间均匀增加，dB/dt=K，则粒子沿导轨向 A 端运动。求粒子运动到中点 O 时的速率 v 和受到导轨的作用力 N。 6、 用两个薄凸透镜自制一台简易望远镜，镜筒长 32cm（指两镜片的距离），刚好能分辨 50mm x I O R h A B m,q O 清华大学物理系博士生资格考试 开外横向距离 1mm 的两条细线，已知光波长为 0.55m，人眼最小分辨角为 3 10 4rad
10、。 （ 1）求望远镜的物镜的口径。 （ 2）求物镜和目镜的焦距。 （ 3）若目镜直径为 2cm，求望远镜的入射视角。 7、如图，摩尔某理想气体经历一个准静态过程， 在 p V 图上反映为一条线段。 起点 A(3p0,V0)，终点 B(p0,3V0)。 （ 1）求该过程中气体对外做的功以及吸收的热量。 （ 2）求该过程中气体 温度的最大值和最小值。 （ 3）求气体的熵变。 2008 年春季清华大学物理系博士生资格考试 力学： 1（ 15 分）斜面上有个球，开始是纯滚，随着斜面的增大，开始变得又滑又滚，已知斜面角度，摩擦系数，球的转动惯量，质量等。求 (a)纯滚时的质心加速度 (b)角度增大到何时
11、时，开始又滑又滚 (c)又滑又滚时的角度为已知，求摩擦力做功（球运动的距离已知） 点评：这题比较简单，以前的考题里有类似的，基本是白送分。要点是掌握了纯滚条件 。 电磁学： 2（ 15 分）一 个通电螺线管，电流随时间的变化为线性关系，螺线管的单位长度匝数为 n，半径为 R，在螺线管中有一段长为 a，宽为 h 的方形区域。求 (a)螺线管里面电磁场的分布 (b)通过方形区域的能量 (c)螺线管里面的能量表达式 点评，这个题也是属于送分题，只要记住螺线管的磁感强度的表达式，这个题就可以直接作了。 分析力学： 3（ 10 分）给定一个变换，用两种方法求证是正则变换。 点评：纵观往年卷子，母函数经常
12、考。这个题的变化形式比较简单，做的方法一是凑全微分，二是看新坐标对原坐标的波松括号为 1。这个题凑微分稍微有一点麻烦。 4。（ 10 分）一个锥形桶，顶角的一半为 alpha，里面有个小球绕中心转动，要求自己选定广义坐标，写出拉格朗日量，求运动方程，并判断是否为可积体系。 点评：这个类型的题也是老生常谈了，以前也经常考。这个题就是普物题，让用分析力学的方法做。可以找半径和绕过的角度作为广义坐标，然后写出 L，进行求解。由于这个体系是二自由度的，且可以找到两个守恒量（能量和角动量），因此是可积系统。 光学： A(3p0,V0) B(p0,3V0) V O p 清华大学物理系博士生资格考试 5（
13、10 分）。一个右圆偏振光，从折射率 n1 的介质中打到折射率 n2，问光的状态变成什么样了。其中告诉了你菲涅尔公式。 点评：这个题算 是比较中规中矩，但是如果没有复习到偏振的话就彻底完了。我在做的过程中考虑了两种折射率的大小关系，即有可能有半波损失，不过即使有也没关系，因为是对整体的半波损失，所以不影响结果。答案应该是反射光为左圆偏振，其强度由菲涅尔公式给出。 6（ 10 分）。给一个指数衰减的光波形式，求自相关函数（自相关函数的公式给出），并说明用这种光做迈克耳逊干涉仪，测量长度的量程是多少。 点评：这个题比较新，以前从来没出过。但是一点都不难，因为根据自相关函数的特点，就发现几乎不需要任
14、何计算。所谓迈克耳逊干涉仪的测量长度，其实就是相干长 度的一半，也就是和光波中指数的那个项有关。所以如果概念清楚， 2 分钟就做完了。但是这题的难点同上，就是没复习到迈克耳逊干涉的话，肯定就不会了。当然，如果做光谱的，肯定会。 热学： 7（ 10 分）把迈克斯韦速率分布换成动能分布的形式。速率分布的归一化系数已经给了。 点评：这个题和以往都不一样，以前做是考热力学，这次考的竟然是分布问题！肯定很多同学都没复习到。这个题，我相信只要知道速率分布函数的形式，肯定 5 分钟就做出来了。 电动力学（ 20 分）： 8 给定迈克斯韦方程组和洛仑兹力的形式，推导能流密度和能量密度的表达式， 并说明物理意义
15、。 点评：这个题是压轴题，也是这次考试中最难的一个。其实就是郭硕红书上第一章的内容，王 q 的讲义也有。但是我觉得，如果没有对电动很熟的掌握，或是正好复习到这点，这个题很难当场做出来，因为涉及到了一些倒三角的运算和迈克斯韦方程的变形 。 总结：这次普物相对来说计算量少（电动除外），但是知识覆盖面太大了，比以往的都要大。这好像也是趋势，现在的资格考试不能像以前那样放弃什么东西了，因为分数都非常平均。所以希望大家全面复习，不要 “ 压宝 ” 。另外，全面复习的另一个好处是让你对学科有个整体的认识，这其实对科研也 有好处。 2008 年秋季清华大学物理系博士生资格考试 一、一卫星在一行星的某一圆形轨
16、道上，能量 E_0，半径 r_0。在某一时刻受到一沿径向的小冲量的作用。定量描述卫星之后的运动： a)画出等效势能的图形，角动量 L； b)卫星做圆周运动的周期 T_ ； c)卫星在受到冲量作用后，径向 r 是 t 的函数，写出 r(t)。 二、一质点质量 m 在质量为 M 倾斜角为 的斜面上滑下，记 m 相对斜面的运动距离为 L，斜面的位移为 X，忽略所有的摩擦。选择广义坐标，写出系统的拉氏量，拉氏方程。求 m 相对 M 的加速度。 三、一半径为 b 的圆形平行板电容器，漏电电流为 I，求电容器内部任意一点的磁场强度。 四、描述电介质可用两种方式：用极化电荷密度 和 ；用极化强度 P。 1)
17、从物理上讲这两种描述为什么是等价的。 2）写是两种描述下空间任意一点的电势表达式，并由 1）中的等价关系推出 P ， nP ，并说说其物理意义。 五、一右旋圆偏振光垂直从折射率为 n1 的介质入射到折射率为 n2 的介质，求反射光的偏振状态。题目给出了垂直入射时的菲涅尔公式。 六、一电磁波， Ex=Ez=0， Ey=4cos(12 10E(14)t -5 10E6x) ，写出振幅，频率，波长 ， 相 速 度 ， 折 射 率 。 写 出 磁 场 表 达 式 。 若 有 另 一 列 电 磁 波 Ex=Ez=0 ，Ey=4cos(10 10E(14)t -4 10E6x) ，写出合成波的表达式和群速
18、度。 七、 1mol 的理想气体在气缸中，上面有一固定活塞质量 m 塞住，温度 T_0，压强 P_0。在某清华大学物理系博士生资格考试 一时刻把活塞不固定，活塞上下做振动并最终停在某一位置。假设这一过程是绝热过程，忽略活塞所受外界的压力，理想气体的定容热容为 C_(v， m)。 1）这一过程气体的温度是上升？下降？不变？求之后的温度 T。 2）这一过程熵是增大还是减小，求熵变。 理论 ：一个竖直旋转圆环内一小球，求拉氏量，拉氏方程，哈氏量，讨论 T V 是否守恒 电动：证明真空中电磁波为横波 2009 年春季清华大学物理系博士生资格考试 一、力学（ 15 分）一个质量 M 的均匀立方车架下，装
19、有 4 个质量都为 m，半径 r 的圆轮，放在倾角 的斜面上，已知每个小轮都作无滑运动，并且已知车架对转动轴的摩擦力矩 f ，求：（ 1）车架的加速度和斜面对小轮的摩擦力。（ 2）若车架由静止释放，运动距离为 s 时，求车架的速 度和转轴处摩擦力所做的功 fW 。 二、分析力学（ 15 分）质量为 1 的粒子，在势能 2( ) tan ( )V q U q a的场中运动，设其能量为 E，求作用量 I 和频率 。（给了一个积分公式） 三、电动力学（ 25 分）（ 1）写出真空静电场的 Maxwell 方程组；（ 2）随着测量仪器的日益精进，有人发现点电荷的电场不是正比于 2r ，而是正比于 2.
20、000001r ，试问（ 1）中的方程哪些会变，哪些不会变；（ 3）若发现点电荷的电场大小除了与 2r 成正比外，还有一个 1 ( )g的因子， g 是关于 的一个很小的函数，问（ 1）中的方程哪些会变，哪些不会变？ （给出球坐标中矢量 rrf f e f e f e 的 f 和 f 形式） 四、电磁学（ 15 分） .无限长半径为 a 的圆直导线，通以均匀的、体密度为 j 的电流，已知导线电导率为 ，相对磁导率为 r 。（ 1）分析磁场的分布；（ 2）求出 B、H；（ 3）求出圆棒磁化电流内表面密度 i 和磁化电流体密度 j ；（ 4）求出单位长度内圆棒外表面流入内部的能量？ 五、光学（ 1
21、5 分） .用迈克耳逊干涉仪测量钠黄双线，已知钠黄双线的平均波长为 5893A 。（ 1）若把干涉仪的动镜从等光程处向一个方向移动，问条纹如何变化？（条纹是从中心冒出还是消失）（ 2）继续移动动镜，干涉条纹变疏还是变密？（ 3）若动镜移动距离 0.0289395cm，看到条纹由模糊变至清晰又变至模糊，求钠黄双线的波长？ 六、热学（ 15 分） .-10， 10g 的冰块放进 15的湖水中，求平衡后冰块与湖水系统的熵变？（已知冰的比热 C冰 ，水的比热 C水 ，冰的熔解热 L冰 ） 清华大学物理系博士生资格考试 2009 年秋季清华大学物理系博士生资格考试 1.如图 1，绕竖直轴进动，忽略章动
22、,求 beta（ 1).（进动角速度，轻绳长，轻杆长，以轻杆为轴的转动惯量已知） 2.给出磁场中的 Lagrange 量，在仅存在 z 方向均匀静磁场的情况下，求电子的 L， H，守恒量，运动方程。 3.如图。 dB/dt = K 为定值，求 （ 1）电场分布（ 2）线圈半径 b，电阻R，求电 流和（ 2）中的 Uab （ sita=pi/4） （ 3）（ 3）中的电压表读书（电压表内阻 R0） 4.（ 1）磁场在真空中的 maxwell 两个方程；（ 2） B 和 A 的关系；（ 3）如磁单极子存在，如何改写 1 中的方程，各代表什么物理意义；（ 4） 2中的关系将变为如何，为啥；（ 5）磁
23、单极子组成的次偶极子和电流线圈 分别产生的磁场等价否，为什么 5.给出超导相和正常相的 G，求相变潜热啊等东西，忘了 6.如图， n1n4 已知，曲率半径等已知，已知左面的第 j 级和第 j+5级两条纹的半径，求 波长，右面的条纹半径（似乎是问这个，反正差不 多） 7.光栅，求光栅常数的（题目忘了，似乎直接带公式就能出结果，等人补充吧） 8.部分椭圆偏振光，过 x 向偏振片有最大光强 1.5I，过 y 向偏振片有最小光强 I，过 x 向 1/4 波片后，在与 x 轴成 30 度处有最大光强，求：过 1/4 波片前，当偏振片与 x 轴成 sita 时，光强和 sita 的关系；过 1/4 拨片后
24、的那个最大光强多大；不偏振部分的比例（还有别的问没？忘了） 2010 年春季清华大学物理系博士生资格考试 力学 (15) 1. 卫星变轨 . 以 r0, v0 圆周运动的卫星在 M 点改变速度方向 , 大小不变 , 切换到椭圆轨道 . 近地点距离为 r0/c. (1)用 r0 表示 v0 (2)求近地点速度 (3)求 M 点处速度与矢径的夹角 (只与 c 有关 ). 分析力学 , 二选一 (15) 2a. 证明 Noether 定理 : Lagrangian 对以参数 s_j 刻划的变换有不变性 , 求相应的守恒量I_j. 参见 Hand & Finch 5.2 节 . 2b. 长 (a+b)
25、的轻杆两端有两个质量 m 的小球 , 绕 z 轴以 旋转 . (见 2b 附图 ) (1) 求动能及固连坐标系中的角动量 (2)求对轴的力矩 (3)若消除轴上力矩 , 变成绕O 点的定点转动 , 求自转和进 动角速度 . 电磁学 , 二选一 (15) 3a. 均匀极化为 P 的电介质球 . 求 (1)极化电荷分布 (2)球内极化电场 . 3b. Helmholtz 线圈 . 没细看 , 大概是求轴上的 B, 两线圈相距多少时 B 对 z 的二阶导为 0及其物理意义 . 可参赵凯华新概念物理第一版 2.2 节例 4. 电动力学 (25) 4. 原点处有一个磁单极子 g, R 处有一个运动的点电荷
26、 q. 对空间任一点 r, H= gr/4清华大学物理系博士生资格考试 |r|3, E=qr/4 |r|3, 场的动量密度是 DXB. (1)求证全空间场的角动量 L=-gqR/4|R| (2)求证电荷运动造成的机械角动量增加与场角动量的减少抵消 , 故角动量守恒 . (公式不一定正确 ) 热学 (15), 似乎是二选一 , 第二题忘了 . 5. 两个一样的热容为 C 的物体 , 温度分为 Tx,Ty. 热接触后达到共同温度 Tf. (1)求 Tf (2)求熵变 , 判断符号 (3)若分别用两个 Carnot 机把这两个物体与温度 Tr的热库相连 , 从而使之达到 Tf, 求 Carnot 机
27、对外做的总功 , 判断符号 . 光学 , 二选二 (15) 6. 双缝干涉 . 在自然光源后的单缝后放上偏振片 P, 两个双缝后分放上透振方向与 P 相 同的偏振片 P1, 与 P 夹角 a 的偏振片 P2. (1)分别求光通过 P,P1,P2 后的强度 (2)求干涉条纹衬比度 (3)若旋转 P90 度则如何 ? (4)若拿掉 P 则如何 ? 7. 求透射和反射牛顿环的各级半径 清华大学物理系博士生资格考试 h R z x y R 2010 年春季清华大学物理系博士生资格考试 1、 圆锥以 初速度转，小球从锥顶沿圆锥母线轨道下滑，初速度为 0，（ 1）球小球落下时，圆锥的角速度。（ 2）求小球
28、离开圆锥时，相对实验室的速率。 2、 圆柱面的面点荷密度为 ，求圆柱内外的场强。 3、 , r 是常数， （ 1）求哈密顿方程并求解（ 2）证明当 t 0 时， 4、已知真空中的麦克斯韦方程组，和磁势 和电势 的定义式 （ 1）哪两个式子可以导出 和 ？并用 和 表示另外两式 （ 2）若 且 求证电导率不为 0 （ 3）求 （ 4） 求解（ 3）问所得方程，并证明 t 时， （ 5）证明 5、 , （ 1）求熵和内能 （ 2）求 U=U/N （ 3）摩尔热容 C 6、有两个偏振片，主轴方向都不知，两个 1/4 波片，一个知道快轴方向，另一个快轴和慢轴都不知，设计一套试验方法判断两个偏振片的主轴方向，和两个 1/4 波片的轴和慢轴。还给了几种激光的波长记清了，等牛牛们来补充吧
