1、华中师范大学 2006 2007 学年第一学期期末考试试卷（A 卷） （解答）课程名称 实变函数 课程编号 83410014 任课教师 李工宝、何穗、刘敏思 题型 判断题 叙述题 计算题 解答题 总分分值 15 15 10 60 100得分得分 评阅人 一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错” 。 共 5 小题，每题 3 分，共 53=15 分）1、可数个可数集的并集是可数集。 （ 对 ）2、可测集 上的非负可测函数必 Lebesgue 可积。 （ 错 ）E3、 上全体 Lebesgue 可测集所组成的集类 具有连续势。 （ 错 ）Rn4、非空开集的 Lebesgue 测度必大于
2、零。 （ 对 ）5、若 （ ， ， ）和 都为可测集 上的可测函数，且 ，()nfx12 ()fxElim()nfxf于 ，则 ， 。 .aeE()fxE（ 错 ）得分 评阅人二、叙述题 (共 5 小题 , 每题 3 分，共 53 =15 分)1、单调收敛定理（即 Levi 定理）答：设 是 Lebesgue 可测集， ， ， 为 上的非负可测函数，若 是单调递E()nfx12) E()nfx增的，记 ，则 。()lim()nfxfli(Edfx院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号： -密 -封 -线 -第 1 页(共 3 页)2、 中开集的结构定理Rn答： 中的任一非空开集总可表示成
3、 中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。n Rn（或 中的任一开集或为空集或可表示成 中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。 ）3、 中的集合 是 Lebesgue 可测集的卡氏定义（即 C.Caratheodory 定义）RnE答：设 ，如果对任意 ，总有nnTR*()()cmEmT则称 为 中的 Lebesgue 可测集，或称 是 Lebesgue 可测的。ERn4、F.Riesz 定理（黎斯定理）答：设 为 Lebesgue 可测集， ， ， 和 都是 上的几乎处处有限的可测函数，E()nfx12) (fxE如果 ，则存在 的一个子列 ，使得 于 。()nfxfnf )knflim(
4、)knfxf.aeE5、有界闭区间 上绝对连续函数的定义,ab答：设 是定义在有界闭区间 上实函数，如果 ，存在 ，使得对 内任意()fx,ab0,ab有限个互不相交的开区间 ， ， ， ，只要它们的总长 ，总有(,)i12 n1()niii。1()niiiff则称 是有界闭区间 上绝对连续函数。()fx,ab得分 评阅人三、计算题（共 1 题，共 110 = 10 分）设 为 中的零测集， ，求 。0D,30sin,()xDfe0,()dfx解：由题设 ， 于 ，而 在 上连续，()sinfx.a0,si,于是由积分的惟一性和 L 积分与 R 积分的关系得。00,0,0()dsind()si
5、n(cos)2fxxdx得分 评阅人四、解答题（共 6 小题，每题 10 分，共 610 = 60 分）1、设 为 中的 集，证明：必存在 中的一列单调递增的闭集 ，使得 。FRnRn 1kF1kF证明：因为 为 中的 集，所以一列 闭集 ，使得nFA1kFk取 ，由闭集的性质 知 是闭集，且 单调递增A1kik。A111()ikkkFF-密 -封 -线 -第 2 页(共 3 页)2、证明： 中互不相交的开区间所构成的集族必为至多可数集。Rn证明：记 为 中互不相交的开区间所构成的集族， 对任意 ，由有理点的稠密性， 中必En IEI存在有理点，取其中的一个有理点记为 ，并 记 ，于是 必为至
6、多可数集。IrnIBrQB作 到 的映射 如下：B:()IEIr由于 中任意两个不同的 和 不相交，所以 ，于是 是 到 的单射（实际上还是一一映E1I212IEB射），所以 ，故 也是至多可数集。nBQE3、设 是 上的实值函数，且 在 上的任一有限区间上都可测，则()fx,)()fx,)在 上也可测。()f,证明：因为 ，而 是 上的可 测函数，1(,),n()fx,n所以 由可测函数的性质得 在 上也可测。4、用 Fubini 定理证明：若 为 上的非负可测函数，则(,)fxy2R=(,+)(,)。00d,ddyfx证明：记 ，令 ，(,)(,)xDyxy (,),(,)0fxyDF由题
7、设易知 也是 上的非负可测函数，于是，由非负可测函数的 Fubini 定理,F2R20d(,)d(,)d(,)dx RfyxFyxy。0, (,)yfx5、设 是 中的可测集，若（1） ，其中 为可测集， ；ERn 1kEkE12E（2） ， 都是 上的可测函数，且 于 ；()fxf(2) lim()nfxf.ae（3）存在 上的 Lebesgue 可积函数 ，使得 ， 。()FxF)证明： 在 上也 Lebesgue 可积，且 。()fxEli()()nEEfxdfx证明：记 ，由题设知 于 （事实上 ，存在 ，A()()nnnEffx Alim()nff.aexE0n当 时，总有 ，从而
8、，于是 。）0x1n()nnEnxxf又 ， 在 上 Lebesgue 可积()()()nnnEffxfF所以 由 Lebesgue 控制收敛定理，并注意到 可得A()()nnnnEEEExdfxdfx。lim()li()()n nEfff-密 -封 -线 -第 3 页(共 3 页)6、设 是 Lebesgue 可测集， ， 都是 上的 Lebesgue 可积函数，若E()nfx12) (fxE，且 ，lim()nfElim)d()nfx证明：（1） 在 上非负可测；()(nFxfxffx（2）用 Fatou 引理证明： 。li)0E证明：（1）由可测函数的运算性质得 是 上可测函数，()()()nnnFxffxffxE又 ，从而 ，()nfxff0nF所以 在 上非负可测。()()nnFxffxE（2）由题设 ，再由 Fatou 引理得lim2nxf()li()lim()()nnnnEEEfddfffxfd，fxxd即 ，li()0nEf从而 0()li()0nExfdfxf故 。lim()nEf
