考点33-直线、平面垂直的判定及其性质.doc

1、圆学子梦想 铸金字品牌温 馨 提 示 ：此 题 库 为 Word 版 ， 请 按 住 Ctrl,滑 动 鼠 标 滚 轴 ， 调 节 合 适 的观 看 比 例 ， 关 闭 Word 文 档 返 回 原 板 块 。 考 点 33 直 线 、 平 面 垂 直 的 判 定 及 其 性 质一 、 选 择 题1.(2015浙 江 高 考 文 科 T7)如 图 ,斜 线 段 AB 与 平 面 所 成 的 角 为 60,B 为 斜 足 ,平 面 上的 动 点 P 满 足 PAB=30,则 点 P 的 轨 迹 是 ( )A.直 线 B.抛 物 线 C.椭 圆 D.双 曲 线 的 一 支【 解 题 指 南 】 依

2、 据 线 面 的 位 置 关 系 与 圆 锥 曲 线 的 定 义 判 断 .【 解 析 】 选 C.由 题 可 知 ,当 P 点 运 动 时 ,在 空 间 中 满 足 条 件 的 AP 绕 AB 旋 转 形 成 一 个 圆 锥 ,用 一个 与 圆 锥 高 成 60角 的 平 面 截 圆 锥 ,所 得 图 形 为 椭 圆 .二、解答题2 （2015四川高考文科T18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.（I）请将字母 ,FGH标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）（II）判断平面 BE与平面 AC的位置关系，并证明你的结论（III）证明： D平面 GD CB H FF E

3、 D CA B圆学子梦想 铸金字品牌【解题指南】(1)通过立体图形的展开与折叠解题（2）利用线线平行证明线面平行（3）构造等腰三角形，找出高垂直于底边这一层垂直关系；利用三角形中位线找出一组平行关系；利用平行垂直关系；利用线面垂直的判定【解析】（I）如图(1)由展开图可知， F在 B的上方， GC在 的 上 方 ， HD在 的 上 方 ，如图H G FED CA B（II）连接 ,HEG，如上图因为四边形 C和四边形 AH为 平行四边形 ，所以 /BECH， /GA又因为 ,BE平面 ，且 ,平面所以 /平面 ， /平面 BE又因为 ,HA平面 ，且 A所以平面 BEG/平面 C（III）连接

4、 ,DF，交点坐标如下图，取 ,DHC中点分别为 ,JK，连接,JMKNKJ NMH G FE D CA B圆学子梦想 铸金字品牌因为 ,JMKN分别为 ,DHFC中点所以 /F设正方体棱长为 2a，则 5EJGBKa所以三角形 ,JKN为等腰三角形，所以 M那么 ,DFEB又因为 G平面 ，且 EGB所以 平面 。ABCEFO3.(2015北 京 高 考 理 科 T17)(14 分 )如 图 ,在 四 棱 锥 A-EFCB 中 , AEF 为 等 边 三 角 形 ,平 面 AEF 平 面 EFCB,EF BC,BC=4,EF=2a, EBC= FCB=60,O 为 EF 的 中 点 .(1)

5、求 证 :AO BE.(2)求 二 面 角 F-AE-B 的 余 弦 值 .(3)若 BE 平 面 AOC,求 a 的 值 .【 解 题 指 南 】 (1)要 证 AO EB,只 需 证 明 AO 平 面 EBCF.(2)建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ,利 用 向 量 法 求 二 面 角 余 弦 值 .(3)将 BE 平 面 AOC 转 化 为 BE OC,再 利 用 数 量 积 为 0,解 出 a.【 解 析 】 (1)因 为 AEF 是 等 边 三 角 形 ,O 为 EF 的 中 点 ,所 以 AO EF.又 因 为 平 面 AEF 平 面 EFCB,交 线 EF,AO平 面 AEF

6、,所 以 AO 平 面 EBCF.因 为 BE平 面 EBCF,所 以 AO BE.圆学子梦想 铸金字品牌ABCxFOyzE(2)取 BC 的 中 点 D,连 接 OD.如 图 分 别 以 OE,OD,OA 为 x,y,z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ,则 ， ， 0,3)Aa(0)E(2,30)Ba(03),a，(,设 平 面 ABE 的 法 向 量 n1=(x,y,z),则，1302()30naxza令 得 ， 所 以 。z132ya1(3,)n平 面 AEF 的 法 向 量 。(0,)n所 以 。1212 5cos,|因 为 二 面 角 F-AE-B 为 钝 二 面 角 ，

7、所 以 余 弦 值 为 。5（ 3） 由 （ 1） 知 。 因 为 ， 所 以 。OFC平 面 BEFC平 面 AOEB要 使 平 面 AOC， 只 需 。B因 为 ， ，E(2,3,0)a (2,3,0)a所 以 ， 即 ，4(2a218解 得 （ 舍 ） 或 。34. (2015北 京 高 考 文 科 T18)(14 分 )如 图 ,在 三 棱 锥 V-ABC 中 ,平 面 VAB 平 面ABC, VAB 为 等 边 三 角 形 ,AC BC 且 AC=BC= ,O,M 分 别 为 AB,VA 的 中 点 .2圆学子梦想 铸金字品牌(1)求 证 :VB 平 面 MOC.(2)求 证 :平

8、面 MOC 平 面 VAB.(3)求 三 棱 锥 V-ABC 的 体 积 .A BCOMV【 解 题 指 南 】 (1)只 需 证 明 MO VB.(2)只 需 证 明 OC 平 面 VAB.(3)变 换 顶 点 ,把 C 看 作顶 点 ,CO 看 作 是 高 .【 解 析 】 (1)因 为 O,M 分 别 为 AB,VA 的 中 点 ,所 以 OM VB.又 因 为 OM平 面 MOC,VB平 面 MOC,所 以 VB 平 面 MOC.(2)因 为 AC=BC,O 为 AB 中 点 ,所 以 OC AB.因 为 平 面 VAB 平 面 ABC,交 线 AB,OC平 面 ABC,所 以 OC

9、平 面 VAB.因 为 OC平 面 MOC,所 以 平 面 MOC 平 面 VAB.(3)由 (2)知 OC 为 三 棱 锥 C-VAB 的 高 ,因 为 AC BC 且 AC=BC= ,所 以 OC=1,AB=2.2因 为 VAB 为 等 边 三 角 形 ,所 以 S VAB= 2 = .3。133C5.(2015广 东 高 考 理 科 T18)如 图 ,三 角 形 PDC 所 在 的 平 面 与 长 方 形 ABCD 所 在 的 平 面垂 直 ,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点 E 是 CD 边 的 中 点 ,点 F,G 分 别 在 线 段 AB,BC 上 ,且AF=2FB,CG=2

10、GB.(1)证 明 :PE FG.(2)求 二 面 角 P-AD-C 的 正 切 值 .圆学子梦想 铸金字品牌(3)求 直 线 PA 与 直 线 FG 所 成 角 的 余 弦 值 .【 解 题 指 南 】 (1)可 先 证 线 面 垂 直 ,PE 平 面 ABCD,进 而 得 到 线 线 垂 直 .(2)可 以 找 出 二 面角 的 平 面 角 ,然 后 再 求 解 .(3)利 用 等 角 定 理 将 两 条 异 面 直 线 所 成 角 问 题 转 化 到 一 个 三 角形 中 去 解 决 .【 解 析 】 （ 1） 证 明 ： 因 为 D且 点 为 的 中 点 ，所 以 PEDC， 又 平

11、面 P平 面 ABC， 且 平 面 PDC平 面 ABCD， PE平 面，所 以 平 面 AB， 又 FG平 面 ，所 以 FG；（ 2） 因 为 ABCD是 矩 形 ，所 以 ， 又 平 面 P平 面 ABCD， 且 平 面 PC平 面 ABDC， A平 面，所 以 平 面 ， 又 、 平 面 ，所 以 ADC， ，所 以 P即 为 二 面 角 PADC的 平 面 角 ，在 RtE中 ， 4， 132EB， 27PED，所 以 7tan3DC即 二 面 角 的 正 切 值 为 3；（ 3） 如 下 图 所 示 ， 连 接 A，因 为 2AFB， 2G即 2FCGB，所 以 /C，所 以 P为

12、 直 线 A与 直 线 所 成 角 或 其 补 角 ，在 A中 ， 25D， 235ACD，PA BCD EFG圆学子梦想 铸金字品牌由 余 弦 定 理 可 得 22253495cosPAC，所 以 直 线 PA与 直 线 FG所 成 角 的 余 弦 值 为 9256. (2015广 东 高 考 文 科 T18)如 图 ,三 角 形 PDC 所 在 的 平 面 与 长 方 形 ABCD 所 在 的 平面 垂 直 ,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证 明 :BC 平 面 PDA.(2)证 明 :BC PD.(3)求 点 C 到 平 面 PDA 的 距 离 .【 解 题 指 南 】 (1

13、)由 四 边 形 CD 是 长 方 形 可 证 C D,进 而 可 证 C 平 面 D .(2)先 证 C CD,再 证 C 平 面 DC,进 而 可 证 C D.(3)取 CD 的 中 点 ,连 接 和 ,先 证 平 面 CD,再 设 点 C 到 平 面 D 的 距 离 为 h,利 用 V三 棱 锥 C- D =V 三 棱 锥 - CD 可 得 h 的 值 ,即 得 点 C 到 平 面 D 的 距 离 .【 解 析 】 (1)因 为 四 边 形 CD 是 长 方 形 ,所 以 C D,因 为 C平 面 D , D平 面 D ,所 以 C 平 面 D .(2)因 为 四 边 形 CD 是 长

14、方 形 ,所 以 C CD,因 为 平 面 DC 平 面 CD,平 面 DC 平 面 CD=CD, C平 面 CD,PA BCD EFG圆学子梦想 铸金字品牌所 以 C 平 面 DC,因 为 D平 面 DC,所 以 C D.(3)取 CD 的 中 点 ,连 接 和 ,因 为 D= C,所 以 CD,在 Rt D 中 , ,22437因 为 平 面 DC 平 面 CD,平 面 DC 平 面 CD=CD, 平 面 DC,所 以 平 面 CD,由 (2)知 : C 平 面 DC,由 (1)知 : C D,所 以 D 平 面 DC,因 为 D平 面 DC,所 以 D D,设 点 C 到 平 面 D 的

15、 距 离 为 h,因 为 V 三 棱 锥 C- D =V 三 棱 锥 - CD,所 以 S D h= S CD ,13 13即 ,C6732124hA所 以 点 C 到 平 面 D 的 距 离 是 .7. （ 2015安 徽 高 考 文 科 T19） 如 图 ， 三 棱 锥 P-ABC 中 ， PA 平 面 ABC，.1,6PABACo(1)求 三 棱 锥 P-ABC 的 体 积 ；(2)证 明 ： 在 线 段 PC 上 存 在 点 M， 使 得 AC BM， 并 求 的 值 。P圆学子梦想 铸金字品牌【 解 题 指 南 】 根 据 三 棱 锥 的 体 积 公 式 和 线 面 垂 直 关 系

16、及 平 行 线 段 成 比 例 进 行 解 答 。【 解 析 】 （ 1） 由 题 意 可 得 ，013.sin622ABCS:由 PA 平 面 ABC ， 可 知 PA 是 三 棱 锥 P-ABC 的 高 ， 又 PA=1， 所 以 所 求 三 棱 锥 的 体 积 为.3.36VS:(2)在 平 面 ABC 内 ， 过 点 B 作 BN AC,， 垂 足 为 N， 在 平 面 PAC 内 ， 过 嗲 按 N 作 MN/PA 交 PC于 点 M， 连 接 BM， 由 PA 平 面 ABC 知 PA AC,所 以 ， MN AC,由 于 ,所 以 AC 平B面 MBN， 又 平 面 MBN， 所

17、 以 AC BM,在 直 角 三 角 形 BAN 中 ， AN= ,所 以 NC=AC-AN= ， 由 MN/PA，1.cos232得 = ,PC138. (2015浙 江 高 考 理 科 T17)如 图 ,在 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 , BAC=90,AB=AC=2,A1A=4,A1在 底 面 ABC 的 射 影 为 BC 的 中 点 ,D 为 B1C1的 中 点 .圆学子梦想 铸金字品牌(1)证 明 :A1D 平 面 A1BC.(2)求 二 面 角 A1-BD-B1的 平 面 角 的 余 弦 值 .【 解 析 】 (1)取 BC 的 中 点 E,连 接 A1E,AE,DE,由

18、题 意 得 A1E 平 面 ABC,所 以 A1E AE,因 为 AB=AC,所 以 AE BC,故 AE 平 面 A1BC,由 D,E 分 别 是 B1C1,BC 的 中 点 ,得 DE B1B 且 DE=B1B,所 以 DE A1A,所 以 四 边 形 A1AED 是 平 行 四 边 形 ,故 A1D AE,又 因 为 AE 平 面 A1BC,所 以 A1D 平 面 A1BC.(2)作 A1F BD,且 A1F BD=F,连 接 B1F.由 AE=BE= , A1EA= A1EB=90,2得 A1B=A1A=4,由 A1D=B1D,A1B=B1B,得 A1DB B1DB,由 A1F BD,得 B1F BD,因 此 A1FB1为 二 面 角 A1-BD-B1的 平 面 角 ,由 A1D= ,A1B=4, DA1B=90,得 BD=3 ,2 2A1F=B1F= ,由 余 弦 定 理 得 .43 1cos89.(2015浙 江 高 考 文 科 T18)如 图 ,在 三 棱 锥 ABC-A1B1C1中 , BAC=90,AB=AC=2,AA1=4,A1在 底 面 ABC 的 射 影 为 BC 的 中 点 ,D 为 B1C1的 中 点 .(1)证 明 :A1D 平 面 A1BC.