1、虚拟样机与机械多体系统的基本理论与应用,南京航空航天大学 吴洪涛 2010.2.28,一、中国企业现状,经过二十多年发展，政府和企业的积极努力，目前，我国的制造企业大都采用了各种CAD 软件进行产品设计，基本上实现了“甩图板”，还有不少企业采用了三维CAD 软件完成更高级的设计工作，使产品的开发能力获得明显的增强。通过CAD，设计师可以利用强大的图形绘制和三维造型功能，生成数字化的图形数据，其图面的清晰、准确、易于修改确实使产品开发水平提高了一大步。 但关键的产品质量和性能问题，在CAD 中却无法涉及。现代产品正朝着高效、高速、高精度、低成本、节省资源、高性能等方面发展，传统的计算分析方法远远
2、无法满足要求。伴随着计算机技术的发展，出现了计算机辅助工程分析（ Computer Aided Engineering，CAE）这一新兴技术。,二、当前的问题和进步的动力,以产品强度安全为例，迄今为止，产品的力学强度分析与计算一直沿用材料力学、理论力学和弹性力学所提供的公式来进行，由于有许多的简化条件，因而计算精度很低；还有不少企业领导和产品开发人员认为自己的产品大都是在原有产品基础上的改型，其尺寸、应力等没 必要再做复杂的计算。在这种情况下，设 计人员常采用简单的加大安全系数的方法来保证产品的强度和质量，结果使结构尺寸加大，浪费材料，有时还会造成结构性能的降低。 从产品的整个投入上来看，采用
3、CAE 使得前期的设计投入的确有所增大，但往往能够很大程度上节省试制环节的投入，并能极大的减少产品投产的时间。因为“心中有数”，所以在T，Q，C，S方面皆带来了好处。,众所周知，新产品的开发是一个复杂的系统工程，其影响因素众多，参数选择具有复杂的制约关系，只有采取科学的方法和经验积累相结合，方才可能做到“又快又好”。,三、CAE概述,CAE 能在产品设计阶段分析产品的静、动态特性，模拟产品在未来工作环境的工作状态和运行行为，在设计阶段发现设计中的缺陷、并对其修改，并证实未来工程、产品性能的可行性和可靠性。一般情况下，CAE 主要完成工作包括：发现设计缺陷、减少重量、增加强度、优化零部件尺寸、优
4、化性能、选择恰当材料、检查安全要素等。 日益激烈的市场竞争已使工业产品的设计与生产厂家越来越清楚地意识到：能比别人更快地推出优秀的新产品，就能占领更多的市场。 CAE 技术可以帮助用户在产品设计定型或生产之前预测、仿真和提高产品的性能质量，降低设计成本，节约资金，缩短产品投放市场的时间，提高竞争能力。 目前，CAE 产品在整个PLM 市场中所占的比重达到了约25，并且还有明显的继续增大的趋势。 中国的 CAE 产品市场，国外产品一统天下，品牌集中度较高，主要集中在有限的MSC、ANSYS、COSMOS 等几个产品上。 中国 CAE 应用的普及任重而道远，CAE 外包是企业可以考虑的应用方式之一
5、。,四、CAE 在产品生命周期各阶段创造的 效益具体表现在：,1.概念设计阶段：概念设计阶段，需要根据市场需求、产品功能、及商业考虑等进行产品规划、方案设计，CAE 可以为设计人员用来完成基础设计的验证、不同方案的比较，满足功能、性能方面的要求，并为企业领导层进行产品决策提供参考，回答是否能够在预定时间、预定成本等约束条件下开发出满足要求的产品的问题。 2.详细设计阶段：在这个阶段，所有的设计将全部展开，从系统设计、装配部件、子装配、零件设计、直到图纸、材料、制造工艺等。CAE在这个阶段的作用，就是验证各种零部件是否满足预期的性能、制造上是否可行，而且从系统到单个零件都可以进行仿真。这些工作主
6、要由设计工程师和制造工艺师参与完成。 3.试验阶段：试验阶段是设计完成后的关键阶段。大多数企业都是先制造物理样机，投入试验，如果某些地方试验失败，则重新设计、重新制造、重新试验，如此反复，直到定型通过。显然，这样反复多次的“设计、试验、修改”过程，既耗费时间，又极为昂贵。为此就要采取所谓的虚拟样机技术。 4.制造阶段：这个阶段是产品实际制造的阶段。CAE 技术可以优化制造的工艺流程、减少废料、简化工艺步骤。通过找出、并消除那些可能导致产品缺陷的设计要素，CAE技术在提高产品“可生产性”的同时也可以大大减少售后服务成本。 5.市场/销售阶段：当产品上市销售时，CAE 可以在推广阶段向客户展示其产
7、品在客户使用环境下的表现，同时CAE 的结果也可以用到广告中辅佐厂家对产品的介绍。由于CAE 带来了更好的设计、当然也带来了更好的产品，所以销售也必将增加。 6.支持服务阶段：售出的产品都需要技术支持、保养维护、检查、修理。CAE 技术可以指导现场的维修及备件更换，确保问题的解决，使产品保持原设计的功能。 7.报废阶段：产品的使用寿命到期之后，就必须报废或回收。CAE 在这个阶段的作用是，选择合适的工艺、材料、以及便宜、可行的回收方式。多数情况下，厂家都会制造大量备用的“接触件”，CAE 也可以保证这些备用件被合理回收利用。,五、CAE 背景知识,CAE 主要指用计算机对工程和产品的功能、性能
8、与安全可靠性进行计算和优化设计，对未来的工作状态和运行行为进行模拟真，以便及早发现设计缺陷，改进和优化设计方案，或证实未来工程/产品的可用性与可靠性。 CAE 主要是以有限元法、有限差分法、有限体积以及无网格法为数学基础发展起来的。传统的CAE 是指工程设计中的分析计算与分析仿真，具体包括工程数值分析、结构与过程优化设计、强度与寿命评估、运动动力学仿真。工程数值分析用来分析确定产品的性能；结构与过程优化设计用来保证产品功能、工艺过程的基础上，使产品、工艺过程的性能最优； 结构强度与寿命评估用来评估产品的精度设计是否可行，可靠性如何以及使用寿命为多少；运动动力学仿真用来对CAD建模完成的虚拟样机
9、进行运动学仿真和动力学仿真。 从过程化、实用化技术发展的角度看，传统的CAE 的核心技术为有限元技术与虚拟样机的运动动力学仿真技术。,一、虚拟样机技术：应用实例,三个典型的应用实例 起源及发展 技术组成 应用与前景 几种代表性的软件： 对中国制造业的启发,一、虚拟样机技术：波音公司1990,1990年10月29日，美国波音公司正式启动波音777飞机研制计划，采用一种全新的设计与制造方式，4年半之后，于1994年6月12日直接进行了第1架波音777的首次试飞。波音777飞机的研制采用了全数字化的无纸设计技术，整机外型、结构件和整机飞机系统100%采用三维数字化定义，100%应用数字化预装配，整个
10、设计制造过程无需模型和样机，一次成功，首次实现了整机数字化设计、数字化制造和数字化协调。对比以往的飞机研制，波音777成本降低了25%，出错返工率减少了75%，制造周期缩短了50%。波音777的研制成为现代产品开发新技术应用的里程碑，其采用的开发过程现在称之为虚拟产品开发（Virtual Product Development - VPD），应用的开发技术称之为虚拟样机技术（Virtual Prototyping - VP）。 虚拟产品开发和虚拟样机技术的出现是市场激烈竞争的拉动和技术迅速发展的推动共同作用的结果。随着世界经济的一体化发展，市场竞争日趋激烈，多品种小批量生产和大批量定制生产逐渐
11、成为主导的生产形式。在这种情况下，企业要求得生存与发展，就必须调整其产品开发和生产组织模式，解决T（最快的上市时间）、Q（最好的产品质量）、C（最低的产品成本）、S（良好的产品服务）和E（尽少的环境污染）难题。另一方面，世界已经进入全球化的知识经济时代，现代信息技术特别是计算机技术得到飞速发展与广泛应用，这为TQCSE难题的解决提供了机遇。在这样的背景条件下，虚拟产品开发和虚拟样机技术应运而生。,一、虚拟样机技术：应用实例,1997年7月4日，美国航空航天局(NASA)的喷气推进实验室(JPL)成功地实现了火星探测器探路号在火星上的软着陆，成为轰动一时的新闻。但人们并不知道，如果不是采用了一项
12、新技术，这个计划可能要失败。在探测器发射以前，JPL的工程师们运用这项技术预测到由于制动火箭与火星风的相互作用，探测器很可能在着陆时滚翻并最后六轮朝上。工程师们针对这个问题修改了技术方案，保证了火星登陆计划的成功。 福特汽车公司在一个新车型的开发中也采用了这项技术，其设计周期缩短了70天。全公司范围内，由于采用了这项技术，设计费用减少了4千万美元，制造费用节省了10亿美元。由于设计制造周期的缩短，新车上市早，额外赢利达到其成本的数倍。 世界上最大的工程机械制造商卡特皮勒公司的工程师们在经过几天培训后，采用这项技术进行装载机和挖掘机的工作装置优化设计及分析，在一天时间内，他们对工作装置进行了上万
13、个工位的运动及受力分析，很容易地实现了理想的设计。十几年前在国内南方一个工程机械厂里，当时的工具只有计算器，工程师每天能算三个工位已算很尽力了。,一、虚拟样机技术：起源及发展,虚拟样机技术是一项新生的工程技术。借助于这项技术，工程师们可以在计算机上建立机械多体系统的模型，伴之以三维可视化处理，模拟在现实环境下系统的运动和动力特性，并根据仿真结果精化和优化系统的设计与过程。 任何一项技术的产生及广泛应用都有其原因，其中最重要的是市场的需求和技术本身的成熟程度。虚拟样机技术的起源有其经济背景。 随着经济贸易的全球化，要想在竞争日趋激烈的市场上取胜，缩短开发周期，提高产品质量，降低成以及对市场的灵活
14、反应成为竞争者们所追求的目标。谁早推出产品，谁就占有市场。然而，传统的设计与制造方式无法满足这些要求。,一、虚拟样机技术：起源及发展,在传统的设计与制造过程中，首先是概念设计和方案论证，然后进行产品设计。 在设计完成后，为了验证设计，通常要制造样机进行实验，有时这些实验甚至是破坏性的。 当通过实验发现缺陷时，又要回头修改设计并再用样机验证。只有通过周而复始的设计-实验-设计过程，产品才能达到要求的性能。 这一过程是冗长的，尤其对于结构复杂的系统。设计周期无法缩短，更不用谈对市场的灵活反应了。样机的单机手工制造增加了成本。在大多数情况下，工程师为了保证产品按时投放市场而中断这一过程，使产品在上市
15、时便有先天不足的毛病。在竞争的市场的背景下，基于实际样机上的设计验证过程严重地制约了产品的质量的提高，成本的降低和对市场的占有。,一、虚拟样机技术：起源及发展,如果基于实际样机上的设计验证能象小孩子搭集木一样简单，这个问题便迎刃而解。但复杂的机械系统不可能用集木搭出来。那么让计算机来替我们作。机械系统的运动必须受制于物理规律，我们只要掌握了这些规律并定义了描述机械系统的方法，计算机不仅会象搭集木一样把机械系统组装起来，形成虚拟模型，而且会告诉我们它是怎样运动的。通过计算机的仿真结果，工程师和设计师们便可以评价机械系统的设计质量。 虚拟模型技术的应用贯串在整个设计过程当中。它可以用在概念设计和方
16、案论证中，设计师可以把自己的经验与想象结合在计算机里的虚拟模型里，让想象力和创造力充分发挥。当虚拟模型用来代替实际模型验证设计时，开发周期缩短，设计质量和效率得到了提高。,一、虚拟样机技术：技术组成,虚拟模型技术是许多技术的综合。它的核心部分是多体系统运动学与动力学建模理论及其技术实现。作为应用数学的一个分支的数值算法及时地提供了求解这种问题的有效的快速算法。近年来的计算机可视化技术及动画技术的发展为这项技术提供了友好的用户界面。CAD/FEA等技术的发展为虚拟模型技术的应用提供了技术支持环境。许多人会认为虚拟模型技术是单纯的运动学和动力学分析软件的别称，这是不够确切的。尽管虚拟模型技术的核心
17、是机械系统运动学，动力学和控制理论，但没有成熟的三维计算机图形技术和基于图形的用户界面技术，虚拟模型技术也不会成熟。所以虚拟模型技术不单纯是外加以层包装的机械系统运动学及动力学分析研究成果。,一、虚拟样机技术：技术组成,虚拟模型技术在技术与市场两个方面的成熟也与计算机辅助设计(CAD)技术的成熟及大规模推广应用分不开的。首先，CAD中的三维几何造型技术能够使设计师们的精力集中在创造性设计上，把绘图等烦燥的工作交给计算机去做。这样设计师就有额外的精力关注设计的正确和优化问题。其次，三维造型技术使虚拟模型技术中的机械系统描述问题变得简单。第三，由于CAD强大的三维几何编辑修改技术，是机械系统设计的
18、快速修改变为可能，在这基础上，在计算机上的设计实验 设计的反复过程才有时间上的意义。 虚拟模型技术的发展也直接受其构成技术的制约。一个明显的例子是它对于计算机硬件的依赖。这种依赖在处理复杂系统时尤其明显。例如火星探测器的动力学及控制系统模拟是在惠普700工作站上进行的，CPU时间用了750小时。另一个例子是在数值方法上的进步发展都会对基于虚拟模型的仿真的速度及精度有积极的影响。,一、虚拟样机技术：应用与前景,虚拟模型技术，作为一项产业技术，已有20年的历史了。20年前，复杂机械系统运动学和动力学的理论框架已就已搭起，相应的数学方法业已提出。数位学者走出了象牙塔，力图把研究成果商品，使其能为工业
19、界接受。但他们没有想到他们的理论成果不仅被接受，而且变成了一项相对独立的产业技术，改变了传统的设计思想，对制造业产生了深远的影响。 虚拟模型技术应当属于计算机辅助工程(CAE)的一个分支。隶属于CAE的其它分支有有限元技术等。虚拟模型技术区别于其它分支之外在于它是从系统的层面来分析系统，而与有限元有关的技术分支所进行的是部件的分析。正由于此，虚拟模型技术对设计方法和过程的影响要比有限元技术所带来的影响要大。虚拟模型技术不仅帮助企业缩短周期，降低成本和提高质量，而且改变了产品设计的过程顺序。,一、虚拟样机技术：应用与前景,过去的设计方式是由下到上：从部件设计到整机设计。这种方式的弊端是设计师往往
20、把注意力集中在细节而忽略了整体性能，正象老话讲的“拣了芝麻丢了西瓜”。这种事情在我国常发生，尤其在对国外引进样机的消化上，在整机性能还没吃透的情况下就开始照抄零件。借助于虚拟模型技术，传统设计过程被逆转了。设计过程先从整机开始，按照“由上至下”的顺序进行。这样可以避免代价昂贵的在系统设计方面的失误。例如，当设计挖掘机时，可以根据用户要求，利用虚拟模型技术确定工作装置的参数，优化设计在早期设计阶段完成。对于早期阶段的虚拟模型的仿真结果可以作为零件设计的参考。例如，动力学或静力学分析的结果可以用来指导零件的强度设计。,一、虚拟样机技术：应用与前景,虚拟模型技术已经广泛地应用在各个领域里：汽车制造业
21、、工程机械、航天航空业、国防工业及通用机械制造业。所涉及到的产品从庞大的卡车到照相机的快门，天上的火箭到轮船的锚机。在各个领域里，针对各种产品，虚拟模型技术都为用户节省了开支，时间并提供了满意的设计方案。 其他成功应用： 约翰迪尔(John Deere)公司：解决工程机械在高速行驶时的蛇行现象及在重载下的自激振动 保龄球的形状几何形状及指孔分布的动力学仿真 一家卡车制造公司在研制新型柴油机时，发现点火控制系统的链条在转速达到每分钟6000转运动失稳并发生振动。采用虚拟样机技术，发现了不稳定因素，改进了控制系统，使系统的稳定范围达到每分钟10,000转以上。 福特公司专门雇佣一家谘询公司用虚拟模
22、型技术为它进行车辆事故仿真，在法庭上用其仿真结果为自己辩护。 。以后同学们可以继续提供,一、虚拟样机技术：应用与前景,虚拟模型技术是一门新兴的技术，它有着广阔的发展前景及市场。只要想一下，通用汽车公司每年用于实际模型的建造及实验的费用有十忆美元，福特汽车公司开发一辆中型轿车的费用与波音公司开发747客机的费用相当，对虚拟模型技术的未来不能不乐观。 几种代表性的软件： 国外虚拟模型技术的商品化过程早已完成。目前有二十多家公司在这个日益增长的市场上竞争。比较有影响的产品包括机械动力学公司(Mechanical Dynamics Inc.)的ADAMS，CADSI的DADS，以及德国航天局的SIMP
23、ACK，韩国Function Bay 公司的RecurDyn。等等,一、虚拟样机技术：对中国的作用,每一项新技术的出现都为传统的工业的进步提供了一个契机，同时也为落后者提供了追赶的捷径。虽然我国的制造业水平较发达国家的水平相比尚有差距，但虚拟模型技术及其他仿真技术的应用将会加速追赶的速度。比如，国外产品的高设计质量部分源于多年的设计经验，借助于在虚拟模型上的模拟，国内的设计师和分析师们会很快取得这些经验，即时用到新产品的设计及老产品的升级换代。在信息化改造传统企业要求的今天，相信虚拟模拟技术完全可以在中国的工业界生根开花、结果。 国内已经完全有能力开发成熟的虚拟样机技术。虚拟样机技术的构成技术
24、在国内已经成熟。只要找对市场的切入点，政策对头，组织得当并加强与国外的交流，完全可以开发出具有特色的基于中国工业现状的虚拟模型技术。 当然，象所有的技术一样，虚拟模型技术毕竟只是一种工具，能为使用者提供用以决策的信息，但其本身不会提供问题的方案和答案。这项技术应用的效益，决定于它的使用者。在人与技术的关系上，人永远是主动的：人是技术的创造者和使用者。,一、虚拟样机技术：中国制造业,结合我国的特殊情况，这项技术应该优先应用于下列领域： 重点机械投资项目：这种项目投资额大，任何系统设计方面的失误都会带来巨大 的经济损失。运用虚拟模型技术不仅可以避免损失，而且会找到满意的经过优化方案。与庞大的投资相
25、比，建立虚拟模型及模拟的费用微乎其微。 样机引进项目：自开放以来，我国从发达国家引进了各种机械设备的样机予以仿制，以期提高国内产品的水平。但效果总是差强人意。一个很重要的原因是仿制停留在零件照抄的低水平上，对于样机缺乏系统水平上的理解。设计人员对样机只知其然而不知所以然。如果采用虚拟模型技术，技术人员便可以对引进样机进行深入的研究。他们可以追踪样机的设计思想，可以进行子系统的模拟来指导其设计。更重要的是可以发现样机的缺陷以便索赔或改建。 国民经济的骨干行业：象汽车工业，工程机械工业及军事工业等。这些行业对国民经济的影响巨大，虚拟模型技术在这些行业的应用会带来可观的经济效益。在国外，虚拟模型技术
26、在这些行业力应用的最广泛和最成熟，国内的技术人员也有经验借鉴。,二、多体系统基本理论概述,什么是多体系统？ 多体系统的抽象模型 多体系统的基本概念 多体系统动力学以及相关学科 多体系统动力学的研究方法,什么是多体系统？,什么是多体系统？,以一定的联接方式互相关联起来的多个物体构成的系统称为多体系统。体与体间一般有相对运动（刚体运动）,如果多体系统中所有的体均为刚体，则称该系统为多刚体系统；反之则称为柔性多体系统。,多体系统的抽象模型,多体系统可以抽象为以下四个要素的组合：,1.体(Body)：多体系统中的构件,机座和滑块是否一定定义为体？,2.铰(Hinge、Joint)：体间的运动约束，无质
27、量,连杆AB是否可以作为约束？,3.外力(External force)：系统外的物体所施加的力或力矩,机座或滑块不作为体时的外力？,4.力元(Force element)：体间的相互作用力,体间的作用关系既可以通过运动约束来限制，也可以通过力来限制,约束与力的等价,拓扑构型：多体系统中各物体的联系方式称为系统的拓扑构型，简称拓扑。根据系统拓扑中是否存在回路，可将多体系统分为树系统与非树系统。 约束：对系统中某构件的运动或构件之间的相对运动所施加的限制称为约束。 数学模型：分为静力学数学模型、运动学数学模型和动力学数学模型。 机构：装配在一起并允许作相对运动的若干个刚体的组合。 运动学：研究组
28、成机构的相互联接的构件系统的位置、速度和加速度，其与产生运动的力无关。运动学数学模型是非线性和线性的代数方程。 动力学：研究外力（偶）作用下机构的动力学响应，包括构件系统的加速度、速度和位置，以及运动过程中的约束反力。 逆向动力学：逆向动力学分析是运动学分析与动力学分析的混合，是寻求运动学上确定系统的反力问题，与动力学正问题相对应，逆向动力学问题是已知系统构型和运动求反力，也称为动力学逆问题。 连体坐标系：固定在刚体上并随其运动的坐标系，用以确定刚体的运动。 广义坐标：唯一地确定机构所有构件位置和方位即机构构形的任意一组变量。 约束方程：对系统中某构件的运动或构件之间的相对运动所施加的约束用广
29、义坐标表示的代数方程形式，称为约束方程。,多体系统的基本概念,多体系统动力学以及相关学科,多体系统动力学是一般力学学科的一个重要分支。,描述相对运动：刚体动力学,约束系统：分析力学,描述弹性振动：有限元理论和连续介质力学,动力学方程的求解：计算力学,运动的控制：控制理论,多体系统运动学、动力学的研究方法,刚体转动的描述：,欧拉角,四元数,所使用的力学原理：,牛顿力学,分析力学,约束的处理：,广义坐标,Kane方程,广义坐标+乘子,较有影响的方法：,运动关系的描述：,相对运动,绝对运动,R-W方法：广义坐标+相对运动+分析力学,Kane-Huston方法：广义坐标+相对运动+Kane方程,乘子方
30、法：广义坐标+乘子+分析力学,多体系统动力学的研究方法,相对运动分析方法（航天领域）：,以体间的相对运动为广义坐标,所建立的方程为微分方程组,绝对运动分析方法（机械领域）：,以体相对于惯性系的运动为广义坐标,所建立的方程为微分/代数混合方程组,计算多体系统动力学建模与求解一般过程,三、多体系统的数学基础,1. 矩阵：由于运动学与动力学方程的矩阵表达式远比其他形式的表达式简洁，加上矩阵运算的规范性以及适用于计算机编程的特点，因此在多体系统中的计算大多数表达式多用矩阵形式。 2.矢量：矢量a是一个具有方向与大小的量。它的大小称为模，记为a。模为l的矢量称为称为矢量。模为0的矢量称为零矢量记为0。矢
31、量在几何上可用一个带箭头的线段来描述，线段的长度表示它的模，箭头在某一空间的指向为它的方向。 3.旋量：略 4.张量：略,3.1、矢量,用三个正交的单位矢量e1，e2，e3构成一个参考空间，称为矢量基(简称基)或坐标系。三个正交的单位矢量称为这个基的基矢量。 可以用来表示一个刚体的姿态，根据三个基矢量的正交性存在如下的关系式：,其中， 称为克罗内克符号，即,而 称为李奇符号，如果三个基矢量el，e2，e3的正向依次按右手法则排列，有,3.2、并矢,按顺序并列的两个矢量（非点积亦非叉积）称为并矢。并矢是二阶张量。二阶张量的一般形式为：将式中的每个矢量均为用其在基中的坐标列阵表出，得到张量的坐标矩
32、阵表达式,式中33矩阵称为张量D在基e中的九个坐标，矩阵D的九个坐标称为D在基e中的坐标矩阵。,3.4、四元数,爱尔兰的数学家哈密顿首先发现，要想在实数基础上建立三维复数，使它具有实数和复数的各种运算性质，这是不可能的。他进而研究“四维复数”，后来称为所谓的四元数（Quaternions）。复数仅有两个单位1与i，而四元数有四个单位1, i, j, k，一般的四元数的形式是：a+bi+cj+dk,这里， i, j, k是空间笛卡儿直角坐标系中三个坐标轴上的单位向量，类似于复数的虚数单位；a, b, c, d是实数，称为四元素的系数。,如果将 视为基矢量，则式子后面的三项组成矢量 ，我们可将四元
33、数定义为一个标量 和一个矢量 的集合，借用加法符号写作：两个四元数相等被规定为对应系数分别相等。,3.5、方向余弦,方向余弦矩阵定义为：其中f、g和h分别为连体坐标系 坐标轴 、 和 的单位矢量。方向余弦矩阵A为正交矩阵，因此，A中9个变量受6个独立方程的约束，方向余弦矩阵中只存在说明3个转动自由度的独立变量。,3.6、欧拉角,相对于参考系自由运动的刚体有六个自由度，其中三个自由度移动，三个是转动自由度。因此欧拉提出用三个相互独立的角度来表示刚体的转动（方位）。这比用方向余弦矩阵中的九个元素表示要简洁得多。,OXYZ：固定坐标系，定系 oxiyizi：与刚体固连的结体系，动系，下标表示第i次转
34、动,欧拉角为,进动角(precession angle),章动角(Nutation angle),自转角(Spin angle),-坐标轴O与节线ON的夹角称为进动角，-坐标轴O与坐标轴Oz的夹角称为章动角，-节线ON与坐标轴Ox的夹角称为自转角。上述三个角即称为欧拉角，用它们描述天体的方位运动十分方便，三个角的名称也是由天体力学中借助用过来的。在一定的条件下，刚体的任一方位均可用一组欧拉角唯一地表示。,3.6、欧拉角几何含义,欧拉角的转动次序：,1.结体系与参考系重合,2.绕Z轴转动,3.绕x1轴转动,4.绕z2轴转动,根据欧拉角所确定的坐标系是唯一的,欧拉角的方向余弦矩阵,用欧拉角表示的方
35、向余弦矩阵为：,刚体定点运动的欧拉角描述,N(节线),找xy平面与XY平面 的交线，称为节线,角容易确定,如何确定、?,从方向余弦矩阵到欧拉角的变换为：当章动角 时，上式失效，进动角和自转角不能确定，称为欧拉角奇异点。,欧拉角表示的欧拉参数为：,从欧拉参数到欧拉角的变换为：,向动系Ox3y3z3分解,反解可能有奇点,欧拉角的角速度表示,广义欧拉角,欧拉角的本质是：刚体的任意方位可以通过绕坐标轴的三次转动实现。,根据这种理解，很容易推广：绕轴次序的不同可得到不同的欧拉角，称为广义欧拉角。共有24种情况，其中绕体轴12个，绕定轴12个。,绕体轴“313”为欧拉角，多用于刚体定点运动。 绕体轴“12
36、3”为卡尔丹角，多用于陀螺仪转子。 绕体轴“312”为姿态角，多用于飞行器。,4、 多体系统的拓扑结构,问题：如何描述多体系统中刚体的运动？ 答案：需要考虑刚体相对其低序体的运动 新问题：相对运动与惯性力无法取得联系，绝对运动与惯性力有关，因此需要把每个刚体的相对运动转化为对惯性系的绝对运动,内容1：R-W方法内容2：多体系统的拓扑结构,美国圣地亚哥大学的Roberson 和德国卡尔斯路大学的Wittenburg 进行了合作。,他们首先在多刚体系统动力学的研究中引入了数学中图论(Graph Theory)的有关概念，把千姿百态的具体系统结构，用数学语言进行了成功的描述，给出的多刚体系统动力学一
37、般公式的矩阵形式。,R-W方法,R-W方法,写成矩阵形式：,如何写出矩阵T？,多体系统的拓扑构型,多体系统中各体的联系方式称为系统的拓扑构型（拓扑）,需要一个已知运动的物体作为基础(B0)。,铰一般可以用一个或两个点表示其位置。,铰定义为有方向的线段：,描述体间的相对运动,例：旋转副：一点。,滑移副：两点。,定义体间作用力的方向,如果由物体Bi，沿一系列物体和铰到达物体Bj，其中没有一个铰被重复通过，则这组铰(或物体)构成物体Bi至Bj的路。,通 路,有根系统和无根系统,工程中大多数对象的多体系统力学模型与系统外运动规律为已知的物体有铰联系，称该系统为有根系统。,与系统外运动规律为已知的物体无
38、任何铰联系的系统称为无根系统。,如果将描述无根系统运动的参考系记为B0，通过一个虚铰与系统中某体相关联，则无根系统与有根系统在拓扑结构上取得一致。,树系统和非树系统,任意两个物体之间路为唯一的多体系统称为树系统，反之称为带回路的系统，或者非树系统。,树系统,树系统,非树系统,树系统的内接和外接,在体Bi的内(外)侧且与Bi相邻的体称为Bi的内(外)接体。,沿着路的方向称为外接，反之为内接。,与体Bi相连且在Bi内侧的铰称为Bi的内接铰。,限定只有一个铰与B0连接,树系统的规则标号方法,树系统的规则标号方法,铰的方向一律背离零刚体B0,体的序号大于其内接体的序号,体的序号与其内接铰序号相同,St
39、anford机械手,关联数组,定义两个NH(Number of Hinge)阶一维整数数组：,i+对应于铰的内接体,i-对应于铰的外接体,对于规则编号的系统仅需要i+即可,关联数组是描述系统拓扑的最简单形式，常用于程序的输入。,关联矩阵,第i行反映了Bi与各铰的联结关系 第j列反映了Hj与各刚体的联结关系,定义(NB+1)NH阶二维数组：,NB=Number of Body,关联矩阵,对于规则标号法:S0的第一个元素为1，其它为0；S为上三角阵，且对角元素为-1。,关联矩阵描述了系统的拓扑构型。,第i列反映了Bi返回B0时要经过的铰。,通路矩阵,利用 Tji，可以把上式写成一个统一的公式,通路
40、矩阵可以很方便用于描述系统内部相对运动的关系。如图，设 B0 运动已知，每个刚体相对其前置刚体（内接刚体）的转动角速度为i，而每个刚体的绝对角速度为i，则有,或写成矩阵形式为：,该式是一个一般的公式，适用于任何系统。,通路矩阵,在符号规则下：,关联矩阵和通路矩阵的特点,S、T均为上三角阵,S、T对角元均为-1,S*的每列只有2个非零的元素,T的第一行均为-1,5、 多体系统动力学建模方法,多体动力学建模方法分为两大类：1 矢量力学2 分析力学牛顿-欧拉为矢量力学的代表；拉格朗日为分析力学的代表； Kane方法兼有矢量力学和分析力学 的特点。,考察由n个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔
41、原理，有,令系统有任意一组虚位移,系统的总虚功为,（1）、动力学普遍方程,系统的总虚功为,利用理想约束条件,得到, 动力学普遍方程,任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的 主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和 等于零。,动力学普遍方程的直角坐标形式,动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。,动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统。,动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。,动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有无势力的系统。,动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问 题，即：已知主动
42、力求系统的运动规律。, 应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。, 由于 动力学普遍方程 中不包含约束力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。, 应用 动力学普遍方程 ，需要正确分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。,动力学普遍方程的应用,（2）、拉格朗日(Lagrange)方程,主 动 力,虚 位 移,广义坐标,第i个质 点的位矢,由动力学普遍方程，得,Qk广义力,由动力学普遍方程 推导拉格朗日方程,对任意一个广义坐标 qj 求偏导数,如果将位矢对任意一个广义坐标 qj 求偏导数，再对时间求 导数，则得到,第二个拉格朗日关
43、系式,此即拉格朗日方程，或称为第二类拉格朗日方程。,如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主动力,引入拉格朗日函数,LTV,得到主动力为有势力的拉格朗日方程,对于只具有完整约束、自由度为 N 的系统，可以得到 由 N 个拉格朗日方程组成的方程组。,应用拉格朗日方程，一般应遵循以下步骤：, 首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势， 决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。, 其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。, 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广 义力。, 将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。,拉格朗日方程的应用,拉格朗日方程在机器人中的应用,拉格
44、朗日函数为：qi 为广义坐标，在机器人动力学中为关节变量； T、U 分别代表机器人手臂的动能和势能。 机器人的拉格朗日方程为：Qi 为对应广义坐标的广义力,机器人手臂 i 的动能计算：Vci： 机器人手臂i的质量中心在基础坐标系中的平移速度向量；：角速度向量； mi: 手臂i的质量； Ii： 手臂i相对质量中心的惯性张量；,刚体的动能与位能（旋转式运动） 假设连杆质量用等效连杆末端的点质量表示 连杆1：连杆2：,刚体的动能与位能（旋转式运动）拉格朗日法求解动力学方程 ：构造拉格朗日函数L=K-P,求取,拉格朗日法求解动力学方程 （续）,力矩 惯量 向心加速度系数 哥氏加速度系数 重力,拉格朗日
45、法求解动力学方程 （续） 有效惯量：耦合惯量： 向心加速度系数：向心加速度系数：重力项：,（3）、牛顿-欧拉（Newton-Euler）方程,以牛顿欧拉方程为代表的矢量学方法是建立在以牛顿方程和欧拉方程为基础的经典刚体动力学基础上。 它用欧拉牛顿方程分别建立各个单个刚体动力学方程的方法来建立系统的动力学方程。 为此取每个刚体Bi为研究对象进行受力分析。系统中所有铰链、弹簧、阻尼器和驱动器的质量可忽略不计，必要时附加在所联系的刚体上，不单独考虑。作用于刚体的力有重力、铰链约束力，有时还要考虑摩擦力。,将所有作用于刚体 上的主动力和约束反力分别向质心 简化，得到主动力主矢 和主矩 ，以及约束反力
46、和主矩 。于是可以对每个刚体写出牛顿欧拉方程动力学方程为：,牛顿欧拉方程在机器人中的应用,根据力、力矩平衡原理有：,上式：牛顿方程 下式：欧拉方程,Ii为杆i绕其质心的惯性张量：,由式表示的牛顿欧拉方程没有明显地表示出关节位移与关节力间的关系，可以通过递推关系建立杆件的递归方程。,解出左图所示机械臂的牛顿欧拉运动方程，和用关节变量 ， 和关节力矩 ， 表示的封闭动态方程。,解：杆件1的牛顿欧拉方程可以表示为：,杆件2的牛顿欧拉方程可以表示为：,关节力矩和耦合力矩相等，有：,将式代入上述式式消去1f2，可得,同样，消去0f1，得到,在基坐标系中，杆1的重心为：,在基坐标系中，杆2的重心为：,杆1
47、质心线速度、角速度为：,杆2质心线速度、角速度为：,从而,对上式进行时间微分，并将相关参数代入上述式,式中：,（4）、凯恩（Kane）方程,Roberson-Witenburg的图论方法提出了解决多刚体动力学统一公式，而凯恩方法则提供了分析复杂机械系统动力学性能的统一方法。凯恩方法是美国学者Kane创立，并由他的学生Huston等人发展的。最先用于分析复杂航天器，以后发展为使用范围更广泛的普遍性方法。这种方法源出于Gibbs和Appell的伪坐标概念。,凯恩方法的特点是利用广义速率代替广义坐标描述多刚体系统的运动，并将矢量形式的力与达朗伯惯性力直接向特定的基矢量方向投影以消除理想约束力，因而兼
48、有矢量力学和分析力学的特点。该方法没有给出一个适合于任何多刚体系统的普遍形式的动力学方程，广义速度的选择也需要一定的经验和技巧，这是该方法的缺点，但这种方法不用推导动力学函数，不需要求导计算，只需进行矢量点积、叉积等计算。,凯恩方程,凯恩方程,从本质来讲，凯恩方程是以“速度”代替了“坐标”作为独立变量，使得出的方程使用于完整系统，也使用于非完整系统。并且，不论完整系或非完整系都可以比较方便地选取“准速度”（凯恩称之为“广义速率”）。计算方便。,在建立方程时，将直接通过加速度计算惯性力。这样，对于完整系统来说，似乎比建立拉格朗日方程要麻烦，但是，可以避免求导的运算，并且计算步骤程式化，借助于计算
49、机进行运算，就显得方便。,凯恩方程,凯恩方法的使用面广，除了多自由度的离散系统外，还可以结合有限元法建立由部分或全部弹性件构成的十分复杂系统如航天器等的动力学。上式中任意一点的虚位移是广义坐标变分的线性组合，其系数为偏速度。,凯恩方程,从动力学普遍方程推倒出凯恩方程,对于任何质点系统，不论是完整的还是非完整的，有动力学普遍方程：设质点系具有l个自由度，即我们有 ，那么则有，系统中的每一点的速度可以写为 ：,从动力学普遍方程推导出凯恩方程,上式中的u如果是广义速度，那么就是广义坐标；如果u是准速度，那么是准坐标。从上面的式子我们可以得出 代入到上式，可以得到,从动力学普遍方程推导出凯恩方程,亦可写成：因为 是独立的量，则得出i=1，2，l,从动力学普遍方程推导出凯恩方程,是质点的惯性力，仍然以 来表示，那么上式可以写成： 凯恩把 和 分别以 和 来表示。后把上式简写为：+ =0和 ，凯恩分别称为系统对应于的广义主动力和广义惯性力 以上两式我们就称为凯恩方程 。,
