1、平面向量的基本定理 普宁侨中 郑庆宏,学习目标：,重点：平面向量基本定理的应用.,难点：平面向量基本定理的理解.,1了解平面向量基本定理的证明 2. 掌握平面向量基本定理及其应用.,请同学们回顾向量的加法、减法和实数与向量的积，以及向量共线定理.,1.三角形法则：,2.平行四边形法则：,C,一. 向量的加法：,首尾相接,同一起点，连对角。,二. 向量的减法：,同起点 ，连终点，指向被减向量。,1. 当 时：,2. 当 时：,3. 当 时：,与 方向相同。,方向：,长度：,与 方向相反。,二、向量共线定理:,向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得：,今天我们继续来学习有关向量
2、的知识：,设 、 是同一平面内的两个不共线的向量， 是这一平面内的向量，我们研究 与 、 之间的关系？,首先，请大家在用平行四边形法则作出 、 、,我们一起来作图（平行四边形法则：起点相同）,在平面内任取一点O，作,过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA相交于M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB相交于N；,你们得到了什么？,现在要找 与 ， 与 的关系，它们有什么样的关系呢？,原来 与 共线； 与 共线。,思考：我们能否用 ， 把 表示出来呢？,所以有且只有一个实数 ,使得：,有且只有一个实数 ,使得：,即,思考2：是否这一平面内的任一向量都可以用 ， 来表示呢？,这样，以 与 为基
3、础，我们可以表示这一平面内的所有向量，我们就把这两个向量叫做：表示这一平面内所有向量的基底.,(2)对你给的这两个向量有什么要求？,思考3：(1) 这一平面内所有向量的基底是否唯一呢？大家作图验证是否可以由其它两个向量来表示 ？,我们得到：(1)基底不唯一；(2)要求这两个向量不共线；(3)如果基底选定，则 ， 唯一确定,可以为零.,(3)如果基底选定， ， 能唯一确定吗？能为零吗?,我们得到：这一平面内的任一向量 都可以表示成：,既然这两个向量这么特别，我们一般用 ， 表示.,通过我们的努力，得到了：,平面向量基本定理,如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，
4、有且只有一对实数 ， ，使,我们把不共线的向量 ， 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.,特别的：,时,时, ， 与 共线.,时, ， 与 共线.,例1,作法:(1)任取一点O,作,(2)作平行四边形OACB,于是 就是 .,例2 如右图示，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且 ， 用 ， 表示 、 、 和 .,分析:因为ABCD为平行四边形可知M为AC 与BD的中点.所以,解:在平行四边形ABCD中,又,说明:我们在做有关向量的题型时,要先找清楚未知向量和已知向量间的关系,认真分析未知与已知之间的相关联系,从而使问题简化.,例3 如右图, 、 不共线，,用 、 表示 .,分析：求
5、，由图可知,而,解：,说明：同上题一样，我们要找到与未知相关连的量，来解决问题，避免做无用功！,课堂练习：,一、下列说法中，正确的有： （ ）1）一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；2）一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；3）零向量不可以为基底中的向量.,2、3,解：,三、如图，已知梯形ABCD，AB/CD，且AB= 2DC,M、N分别是DC、AB的中点.,请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、MN对应的向量中确定一组基底，将其它向 量用这组基底表示出来.,三、如图，已知梯形ABCD，AB/CD，且AB= 2DC,M、N分别是DC、AB的中点.,参考答案：,解：取 为基底,则有,课堂小结：,今天我们学习了“平面向量基本定理”及其应用.,在定理中我们要注意 “同一平面”、“两个不共线向量”、“任一”和“有且只有一对”这些关键词.,
