1、第四节 定积分的应用,第一部分 定积分的微元法,一、问题的提出,二、微素法的一般步骤：,回顾,曲边梯形求面积的问题,一、问题的提出,面积表示为定积分的步骤如下,(3) 求和，得A的近似值,二、微元法的一般步骤：,应用方面,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等,第二部分 平面图形的面积,一、直角坐标系情形,二、极坐标系情形,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,一、直角坐标系情形,解,两曲线的交点,面积元素,选 x为积分变量,解,两曲线的交点,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,面积元素,曲边扇形的面
2、积,二、极坐标系情形,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,解,利用对称性知,第三部分 体 积,二、旋转体的体积,一、平行截面面积为已知的立体的体积,一、平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,解,取坐标系如图所示,底圆方程为,截面面积,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,二、旋转体的体积,旋转体的体积为,解,直线 方程为,例2 计算由椭圆 所围成的图形绕 x
3、 轴旋转而成的旋转体的体积。,解,该旋转椭球体可以看作是由,和 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转而成的立体.,解,三、平面曲线的弧长,当折线段的最大,边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限 ,即,并称此曲线弧为可求长的.,定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.,(证明略),则称,(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,(2) 曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,四、定积分在医药学上的应用,P125 例13,P126 例14、15,(3) 曲线弧由极坐标方程给出:,因此所求弧长,则得,弧长元素(弧微分) :,(自己验证),例1. 求连续曲线段,解:,的弧长.,例15. 计算摆线,一拱,的弧长 .,解:,例16. 求阿基米德螺线,相应于 02,一段的弧长 .,解:,(P349 公式39),内容小结,1. 平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,2. 平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,上下限按顺时针方向确定,直角坐标方程,注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小,3. 已知平行截面面面积函数的立体体积,旋转体的体积,绕 x 轴 :,绕 y 轴 :,
