矩形薄板的几种解法.doc

1、 弹力小结矩形薄板的几种解法矩形薄板的几种解法一：纳维解法四 边 简 支 的 矩 形 薄 板 ， 如 图 ， 当 并 无 支 座 沉 陷 时 ， 其 边 界 条 件 为, 。0x20x， 。a2a， 0y。20y纳 维 把 挠 度 的 表 达 式 取 为 如 下 的 重 三 角 级 数 ：， （a）1sininmxyAab其 中 和 都 是 任 意 正 整 数 。 显 然 ， 上 列 的 边 界 条 件 都 能 满 足 。 将 式 （a） 代 入弹 性 曲 面 微 分 方 程 ， 得 到4=为 了 求 出 系 数 ， 须 将 式 （ b） 右 边 的 展 为 与 左 边 同 样 的 重 三 角

2、 级mnAq数 即。 （c）41siinnxyqDCab现 在 来 求 出 式 （ c） 中 的 系 数 。 将 式 （ c） 左 右 两 边 都 乘 以 ， 其 中 的msixa为 任 意 正 整 数 ， 然 后 对 积 分 ， 从 0 到 ， 注 意ix0sniayda 0 ， ( ) /2 ， ( = ) 就 得 到 。01ssin2yqCb0b2yb21sinb xy。 （ ） OABx再 将 此 式 的 左 右 两 边 都 乘 以 ， 其 中 的 也 是 任 意 正 整 数 ， 然 后 对 积 分 ，sinjxajy从 0 到 ， 注 意 bsiboydb 0 ， ( ) /2 ，

3、( = ) jb就 得 到因 为 和 式 任 意 正 整 数 ， 可 以 分 别 换 为 和 ， 所 以 上 式 可 以 换 写 为ij mn0sii4ab mnxyabqdC解 出 ， 代 入 式 （ c） ,得 到 的 展 式mnC。 （13-25）与 式 （ b） 对 比 ， 即 得当 薄 板 受 均 布 荷 载 时 ， 成 为 常 量 ， 式 （ d） 积 分 式 成 为q0002sini=sn1cocabbmxy于 是 由 式 （ d） 得 到 0264s1osmnmnqADab或 026211,35;, mnnab 。代 入 式 （ a） ， 即 得 挠 度 的 表 达 式0sii

4、4ab ijxj01sinsi4ab xqyab0242sii=abmnxADb00 261,35, 2sinimnxmyqqabD 由 此 可 以 用 公 式 求 得 内 力 。,1,22222wxDFwxDFyMxywSxSxzyx当 薄 板 在 任 意 一 点 （ ） 受 集 中 荷 载 时 ， 可 以 用 微 分 面 积 上 的， dxy均 布 荷 载 来 代 替 分 布 荷 载 。 于 是 ， 式 （ d） 中 的 除 了 在 （ ） 处 的 微 分dxyqq，面 积 上 等 于 以 外 其 余 各 处 都 等 于 零 。 因 此 ， 式 （ d） 成 为F242siniimn Fm

5、AdxyxyababDn。代 入 式 （ a） ， 即 得 挠 度 的 表 达 式， 241siisinimnFxyabbab值 得 指 出 ： 当 及 分 别 等 于 及 时 ， 各 个 内 力 的 级 数 表 达 式 都 不 收 敛xy（ 这 是 可 以 预 见 的 ， 因 为 在 集 中 荷 载 作 用 处 ， 应 力 是 无 限 大 的 ， 从 而 内 力 也 是无 限 大 ） ， 但 挠 度 的 级 数 表 达 式 （ e） 仍 然 收 敛 于 有 限 打 的 确 定 值 。显 然 ， 如 果 在 式 （ e） 中 命 和 等 于 常 量 而 把 和 当 做 变 量 ， 并 取xy，

6、 则 该 式 的 将 成 为 （ ） 点 的 挠 度 的 影 响 函 数 ， 它 表 明 单 位 横 向 荷 载 在1F,薄 板 上 移 动 时 ， 该 点 的 挠 度 变 化 率 。 同 样 。 在 由 式 （ e） 对 及 求 导 而 得 到xy的 内 力 表 达 式 中 ， 命 和 等 于 常 量 并 取 ， 则 各 该 表 达 式 将 成 为 在 （1F） 点 的 各 该 内 力 的 影 响 函 数 。,xy本 节 中 所 述 的 解 法 ， 它 的 优 点 是 ： 不 论 荷 载 如 何 ， 级 数 的 运 算 都 比较简 单 。 它 的 缺 点 是 只 适 用 于 四 边 简 支

7、的 矩 形 薄 板 ， 而 且 简 支 边 不 能 受 力 矩 荷载 ，也 不 能 有 沉 陷 引 起 的 挠 度 。 它 的 另 一 个 缺 点 是 级 数 解 答 收 敛 很 慢 ， 在计 算内 力 时 ， 有 时 要 计 算 很 多 项 ， 才 能 达 到 工 程 上 所 需 的 精 度 。二 ： 莱 维 解 法对 于 有 两 个 对 边 被 简 支 的 矩 形 薄 板 ， 可 以 直 接 应 用 下 面 所 述 的 莱 维 解法 。设 图 13-18所 示 的 矩 形 薄 板 具 有 两 个 简 支 边 及 ， 其 余 两 边0xa式 任 意 边 ， 承 受 任 意 横 向 荷 载 。

8、 莱 维 把 挠 度 的 表 达 式 取 为 如 下 的 单/2ybq三 角 级 数 ：1sinmxYa其 中 是 的 任 意 函 数 ， 而 为 任 意 正 整 数 。 极 易 看 出 ，m级 数 （ a） 能 满 足 及 两 边 的 边 界 条 件 。 因 此 ，0x只 需 选 择 函 数 ， 使 式 （ a） 能 满 足 弹 性 曲 面 的 微 分Y方 程 ， 即 ：（b ） 图 13-4/qD8 并 在 的 两 边 上 满 足 边 界 条 件 。 /2yb将 式 （ a） 代 入 （ b） ， 得。 2441 sinmmdYdYxqya（c ）现 在 须 将 式 （ c） 右 边 的

9、展 为 的 级 数 。 按 照 傅 里 叶 级 数 展 开 式 的/qDsi法 则 ， 得 。 012nsiamxxdaO/与 式 （ c） 对 比 ， 可 见 244 02sinammdYmxYqdyaD（d） 这 一 常 微 分 方 程 的 解 答 可 以 写 成 coshsihmmyABincomyCfyaa其 中 是 任 意 一 个 特 解 ， 可 以 按 照 式 （ d） 右 边 积 分 以 后 的 结 果 来 选 择 ；()fy、 、 、 是 任 意 常 数 ， 决 定 于 两 边 的 边 界 条 件 。 将 上 式 代BD/2b入 式 （a ） ，即得挠度 w 的表达式 ayCa

10、yBAmmsinhsicosh1m(e)+()作为例题 ， 设 图 13 8 中 的 矩 形 薄 板 是 四 边 简 支 的 ， 受 有 均 布 荷 载q=qo 。 这时，微分方程（d ）的右边成为mDqdxacos12sinq200于是微分方程（d)的特解可以取为myfm scos154004.带入式（e） ，并注意薄板的挠度 w 应当是 y 的偶函数，因而有 Cm=0，D m=0， 得 1sinhshaBaAxDcoq2540。 （f） 应用边界条件0w2by， 022byw由式（f) 得出决定 Am 及 Bm 的联立方程 .5,31,0sinh2cos4i5mBaAhaDqmm或者 ,

11、i（m=2,4,6.。 。 ）其中 abm2。求得 Am 及 Bm， 得出mmaDqAcoshtn2540， maDqBcosh2540；（m=1,3,5.。 。 ）或者得出0m， （2,4,6.。 。 ） 将求出的系数带入式（f） ，得挠度 w 的最后表达式2sin2sin2)sin byaaaamDaq mmmmm2coshcosh2tanh2114w5,3,15540（g）并可以从而求得内力的表达式。最大挠度的、发生在薄板的中心。将 2ax及 0y代入公式（g） ，即得这个表达式中的级数收敛很快，例如，对于正方形薄板， ab， 2m，得出在级数中仅取两项，就得到很精确的解答。但是，在其他

12、各点的挠度表达式中，级数收敛就没有这样快。在内力的表达式中，级数收敛得还要慢一些。应用上面所述的莱维解法，可以求得四边简支的矩形薄板在受各种横向荷载时的解答，以及它在某一边界上受分布弯矩或发生沉陷时的解答。wtn14.,3120ax 40540ax6.)31.(三：一般解法此外在13-5 中已经给出这种薄板在某角点发生沉陷时的解答。于是可得矩 形薄板的一个一般解法，说明如下。采用结构力学中的力法。位移法，或混合法，以四边简支的户型薄板为基本系。对于任一夹支边，以该边上的分布弯矩为一个未知数（具有特定系数的级数） ；对于任一自由边，以该边上的挠度为一个位置函数（具有特定系数级数） ；对于两自由边

13、相交而又无支柱的角点，还须以该角点的沉陷为一个未知值，应用上面所述的解答，求出夹边上的法线斜率，自由边上的分布反力，以及二自由边交点处的集中反力（当然是用上述待定系数及未知值以及已知荷载来表示） ，命夹边上的法向斜率 等于零，自由边上的分布反力等于零，两自由边交点处的集中反力等于零，即得足够的方程来求解各个待定系数及未知值，从而求得薄板最后的挠度，斜率 ，内力和反力。当然，求解时的运算是很繁琐的。在工程设计中，一般总是利用现成的图表，或是采用各种数值解对于在各种边界条件下承受各种横向荷载的矩形薄板，很多专著和手册中给出了关于挠度和弯矩的表格或图线，可供工程设计之用。为了节省篇幅，对于只具有简支

14、边和夹支边而不具有自由边的矩形薄板，在矩形的表格或图线中大都给出泊松比等于某一指定数值时的弯矩。但是，我们极易由此求得泊松比等于任一其他数值时的弯矩，说明如下。薄板的弹性曲面微分方程可以写成夹支边及简支边的边界条件不外乎如下形式：。qDw4;0,0111 111 22yyy xxxDw把 Dw 看作基本未知函数，则显而易见， Dw 的微分方程及边界条件中都不包含泊松比，因而 Dw 的解答不会包含泊松比，于是Dwx2及 y2都不随泊松比而变。现在，根据公式（13-12） ，当泊松比为 时，弯矩为 ；， MDwyxM22y22 -（h）当泊松比为 时，弯矩为 ；， Dw22y22x x- （i）由式（h）解出Dw2及 2，然后代入式（ i） ，得到关系式 。 ，x2y1MMyyXX（13-26)于是可见，如果已知泊松比为 时的弯矩 MX 及 MY，就很容易求得泊松比为 时的弯矩 MX 及 MY。在 =0 的情况下（表格或图线所示的 MX 及 MY是取=0 而算出的） ，上式简化为XyyX, （13-27）注意，如果薄板具有自由边，则由于自由边的边界条件方程中包含着泊松比，因而 Dw 的解答将随泊松比而变。于是，式（ h)中的 Dw 与式（i）中的 Dw-般并不相同，因而就得不出关系式（13-26）及（13-27 ） 。