1、12.4 格林函数法 解的积分公式在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法 格林函数方法。格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。一、 泊松方程的格林函数法为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。设 u（r）和 v（r）在区域 T 及其边界 上具有连续一阶导数，而在 T 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分 Sdvu化成体积积分（12-1-1）
2、.)( TTT vdVuvduVvuSdvu这叫作第一格林公式。同理，又有（12-1-2）. TTvdudvSuv（12-1-1）与（ 12-1-2）两式相减，得 ,)()( TdVuvSduv亦即2（12-1-3）.)( TdVuvdSnuv表示沿边界 的外法向求导数。 （12-1-3 ）叫作第二格林公式。n现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。泊松方程是（12-1-4）)( ),Trfu第一、第二、第三类边界条件可统一地表为（12-1-5）),( Mun其中 （M）是区域边界 上的给定函数。 0， 0 为第一类边界条件， 0， 0 是第二类边界条件， 、 都不等于零是第三类边界条件
3、。泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫作第二边值问题或诺依曼问题，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题。为了研究点源所产生的场，需要找一个能表示点源密度分布的函数。5.3 中介绍的 函数正是描述一个单位正点量的密度分布函数。因此，若以 v（r，r 0）表示位于 r0点的单位强度的正点源在 r 点产生的场，即 v（r，r 0）应满足方程（12-1-6）).() ,(00v现在，我们利用格林公式导出泊松方程解的积分表示式。以 v（r，r 0）乘（12-1-4） ， u（r）乘（12-1-6 ） ，相减，然后在区域 T 中求
4、积分，得（12-1-7）.)( )(0TTdVruvfdV应用格林公式将上式左边的体积分化成面积分。但是，注意到在 rr 0点，v 具有 函数的奇异性，格林公式不能用。解决的办法是先从区域 T 中挖去包含 r0的小体积，例如半径为 的小球 K（图 12-1） ， 的边界面为 。对于剩下的体积，格3林公式成立，（12-1-8）.)( dSnvudSnvudVvuKT把（12-1-8）代入挖去 K 的（12-1-7） ，并注意 r r0，故 （rr 0）0，于是（12-1-9）. KTvfdVSnuvdSnuv当 ，方程（12-1-6）的解 v（r，r 0） 位于点 r0而电量为 0 的点10r电
5、荷的静电场中的电势，即14 。令 0，得（12-1-9）右边 ,TvfdV左边的0 414 2 rnudnuSv 左边的).( 102rudSrdu （12-1-10）这样， （12-1-7 ）成为（12-1-11）. ),() () ,( )( 000 dSnrvunrvdVfruT （12-1-11）称为 泊松方程的基本积分公式。（12-1-11）将（ 12-1-4）的解 u 用区域 T 上的体积分及其边界上的面积分表示了出来。那么，能否用（12-1-11）来解决边值问题呢？我们看到， （12-1-11）中需要同时知道 u 及 在边界 上的值，但是，在第一边值问题中，已知的只n4是 u 在
6、边界 上的值；在第二边值问题中，已知的只是 在边界 上的值。nu在第三边值问题中，已知的是 u 和 的一个线性关系在边界 上的值，三类n边界条件均未同时分别给出 u 和 的边界 上的值。因此，我们还不能直接利用（12-1-11 ）解决三类边值问题。其实，这里距离问题的解决已经很近了。原来，对于函数 v（r，r 0） ，我们还只考虑其满足方程（12-1-6） 。如果我们对 v（r ，r 0）提出适当的边界条件，则上述困难就得以解决。对于第一边值问题，u 在边界 上的值是已知的函数 （M） 。如果要求 v 满足齐次的第一类边界条件（12-1-12）,0v则（12-1-11）中含 的一项等于零。从而
7、不需要知道 在边界 上的值。nunu满足方程（12-1-6 ）及边界条件（12-1-12 ）的解称为泊松方程第一边值问题的格林函数，用 G（r，r 0）表示。这样， （12-1-11）式成为（12-1-13）.) ,()( ,)( 000 dSnrGdVrfuT 对于第三边值问题，令 v 满足齐次的第三类边界条件，（12-1-14）.0 n满足方程（12-1-6 ）及边界条件（12-1-14 ）的解称为泊松方程第三类边值问题的格林函数，也用 G（r，r 0）表示。以 G（r，r 0）乘（12-1-5）式两边，得 . un5又以 u 乘（12-1-14 ） ，并以 G 代替其中的 v，得 .0
8、un将这两式相减，得 . Gnu将此式代入（12-1-11 ） ，得（12-1-15）.)( ,1)( ,)( 000 dSrdVrfGruT 至于第二边值问题，表面看来，似乎可以按上述同样的办法来解决，即令 G为定解问题（12-1-16）),(0r（12-1-17）nG的解，而由（12-1-11 ）得到（12-1-18）.)( ,)( ,)( 000 dSrdVrfruT 可是，定解问题（12-1-16）（12-1-17 ）的解不存在。这在物理上是容易理解的：不妨把这个格林函数看作温度分布。泛定方程（12-1-16）右边的 函数表明在 所围区域 T 中有一个点热源。边界条件（12-1-17）
9、表明边界是绝热的。点热源不停地放也热量。而热量又不能经由边界散发出去，T 里的温度必然要不停地升高，其分布不可能是稳定的。这就需要引入推广的格林函数。对于三维空间， ,1)()()(000 TVzyxG6.0nG式中 VT 是 T 的体积。对于二维空间， ,1)()(00TAyx.nG式中 AT 是 T 的面积，方程右边添加的项是均匀分布的热汇密度，这些热汇的总体恰好吸收了点热源所放出的热量，不多也不少。（12-1-13）和（ 12-1-15）的物理解释有一个困难。公式左边 u 的宗量 r0 表明观测点在 r0，而右边积分中的 f（r）表示源在 r，可是，格林函数 G（r ，r 0）所代表的是
10、 r0的点源在 r 点产生的场。这个困难如何解决呢？原来，这个问题里的格林函数具有对称性 G（r，r 0）G（r 0，r） ，将（12-1-13）和（12-1-15）中的 r 和 r0对调，并利用格林函数的对称性， （12-1-13）成为（12-1-19）,) ,()( ,)( 00000dSnrdVrfruT 这就是第一边值问题解的积分表示式。 （12-1-15）成为（12-1-20）,)( ,1)( ,)( 0000dSrGdrfGruT 这就是第三边值问题解的积分表示式。（12-1-19 ）和（12-1-20）的物理意义就很清楚了，右边第一个积分表示区域T 中分布的源 f（r 0）在 r
11、 点产生的场的总和。第二个积分则代表边界上的状况对 r点场的影响的总和。两项积分中的格林函数相同。这正说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的场。现在来证明格林函数的对称性。在 T 中任取两个定点 r1 和 r2。以这两点为中心，各作半径为 的球面 1 和 2。从 T 挖去 1 和 2 所围的球 K1 和 K2。在剩下的区域 TK 1K 2 上， G（r，r 1）和 G（r，r 2）并无奇点。以 uG（r，r 1） ，7vG（r ，r 2）代入格林公式（12-1-3） 2121 )(KTdVuvdSnuv由于 G（r，r 1）和 G（r ， r2）是调和函数，上式右边为零。又由于
12、格林函数的边界条件，上式左边 。这样0.021 dSnuvdSnuv令 0，上式成为 0v （r 1）u（r 2）00，即 G（r 1，r 2）G （r 2，r 1） 。对于拉普拉斯方程，即（12-1-4）式右边的 f（r）0，这时，我们只要令（12-1-19）和（ 12-1-20）两式右边的体积分值等于零，便可得到拉普拉斯方程第一边值问题的解（12-1-21）000) ,()(dSnrru以及第三边值问题的解（12-1-22）00)( ,1)(dSrGru我们看到，借助格林公式，也可利用格林函数方法得到齐次方程定解问题的解。二、用电像法求格林函数（一）无界空间的格林函数 基本解从12.1 讨
13、论可知，确定了 G，就能利用积分表式求得泊松方程边值问题的解。虽然，求格林函数的问题本身也是边值问题，但这是特殊的边值问题，其求解比一般边值问题简单。特别是对于无界区域的情形，常常还可以得到有限形式的解。无界区域的格林函数称为相应方程的基本解。19我们将一个一般边值问题的格林函数 G 分成两部分（12-2-1）.10其中 G0 是基本解。对于三维泊松方程，即 G0 满足（12-2-2）).(0rG1 则满足相应的齐次方程（拉普拉斯方程）（12-2-3）1及相应的边界条件。例如在第一边值问题中， ，从而有0G（12-2-4）.)(001拉普拉斯方程（12-2-3 ）的边值问题的求解是熟知的。至于
14、方程（12-2-2） ，它描述的是点 r0的点源在无界空间产生的稳定场。以静电场为例，它描述在点 r0电量为 0 的点电荷在无界空间中所产生电场的 r 点的电势，即 。04/1G现在再给出（12-2-2 ）的一种解法。先假设点源位于坐标原点，由于区域是无界的，点源产生的场应与方向无关，如果选取球坐标（r， ， ） ，则 G0 只是 r 的函数，方程（12-2-2 ）变成一个常微分方程，当 r 0 时，G 0 满足拉普拉斯方程（12-2-5）,122dr其解为（12-2-6）.210CrG令无穷远处 G00，于是 C20。为了求出 C1，将方程（12-2-2 ）在包含 r00 的区域作体积分，这
15、个区域可取为以 r00 为球心，半径为 的小球 K ，其边界面为 （参见图 12-1） ，1.10KdVG利用（12-1-3 ） （令其中的 u1） ，将上式右边体积分化成面积分。 1202100 4 sinCdrCdSrVGK 则 ，从而41C.14)(0rG若电荷位于任意点 r 0，则（12-2-7）.14) ,(00rr类似地，用平面极坐标可求得二维泊松方程的基本解（12-2-8）.1ln2) ,(00rrG（二）用电像法求格林函数让我们来考虑这样一个物理问题。设在一接地导体球内的 M0（r 0）点放置一带电量为 0 的点电荷。则球内电势满足泊松方程（12-2-9）),(0rG边界条件是
16、（12-2-10）.球 面此处 G 便是泊松方程第一边值问题的格林函数。从电磁学知道，在接地导体球内放置电荷时，导体球面上将产生感应电荷。因此，球内电势应为球内电荷直接产生1的电势与感应电荷所产生的电势之和。因此，我们可将 G 写成两部分之和（12-2-11）,10G其中 G0 是不考虑球面边界影响的电势，G 1 则是感应电荷引起的。由前面的讨论可知，G 0 满足（12-2-12）),(00r从而 G1 满足（12-2-13）1G以及边界条件（12-2-14）.)(001 上上上 这样，G 0 就是基本解， 。至于 G1 则可从方程（12-2-004/) ,rrG13）及边界条件（12-1-1
17、4）用分离变数等方法求得。但这样得到的解往往是无穷级数。现在介绍另一种方法 电像法，用电像法可以得到有限形式的解。电像法的基本思想是用另一设想的等效点电荷来代替所有的感应电荷，于是可求得 G1 的类似于 G0 的有限形式的解。显然，这一等效点电荷不能位于球内，因为感应电荷在球内的场满足（12-2-13） ，即球内是无源的。又根据对称性，这个等效电荷必位于 OM0 的延长线上的某点 M1，记等效电荷的电量为 q，其在空间任意点M（r）引起的电势是 。若将场点取在球面上的 P 点，1014/) ,(rqr如图 12-2 所示，则 OPM0和 OM1P 具有公共角 POM 1，如果按比例关系 r0a
18、 ar 1（a 为球的半径）选定 M1（这 M1 必在球外） ，则 OPM0 跟 OM1P 相似，从而 上0r01r上.a因此，若取 ，则球面上的总电势是0/aq1.0141414 010 rarrar 正好满足边界条件（12-2-10） 。这个设想的位于 M1 点的等效点电荷称为 M0 点点电荷的电像。这样，球内任一点的总电势是（12-2-15）.1414 ) ,( 02000 rarrG10.1 例 6 求出球外点电荷的电像（在球内） ，读者不妨把这两种情况中的电像加以对比。若 M0（ r0）为圆内的一点，则圆内泊松方程第一边值问题的格林函数满足（12-2-16）),(0rG（12-2-1
19、7）.圆 周 上这个问题也可用电像法求解，结果是（12-2-18）,ln21ln21ln21) ,( 000 rarrrG式中 a 为圆的半径。例 1 在球 ra 内求解拉普拉斯方程的第一边值问题 ). ,(,03fuarar解 前面已用电像法求得球的第一边值问题的格林函数 .144) ,(00 rrrG1把它代入第一边值问题的解的积分公式（12-1-13）就行了。为了把 G（r，r 0）代入（12-1-19） ，还必须先算出 。引用球坐标系，极nG点就取在球心。（12-2-19）,cos2112000 rrr其中 是矢径 r 跟 r0 之间的夹角， ).cs(inscosc 000 计算法向
20、导数 2/300220020 )cos(cos11 rrrrrn 分子里的 cos 可利用（ 12-2-19）消去， .2 21 302030200 rarrn 同理， .2 21302300204312100 raarrarran于是1.41241241 3023023020 rararanG 代入（12-1-13 ） ，得到球的第一边值问题的解的积分公式 02 2/3002202 3020 sin)cos() ,4 i41 ,() ,( drafarfru作代换 ： ,() ,(00rr 02 002/3220 sin)cos() ,4) ,( drafau这叫作球的泊松积分。例 2 在半
21、空间 z0 内求解拉普拉斯方程的第一边值问题 ). ,(,003yxfuzz解 先求格林函数 G（r，r 0）. ),()()(0 0003z zyx这相当于接地导体平面 z0 上方的电势，在点 M0（x ，y，z）放置着电量为 0的点电荷。这电势可用电像法求得。设想在 M0 的对称点 M1（x 0，y 0，z 0）放置电量为 0 的点电荷，不难验证，在两个点电荷的电场中，平面 z0 上的电势确实是零。在点 M1 的点电荷就是电像。格林函数1为了把 G（r，r 0）代入第.)()()(141 141) ,( 202020 20202000 zyxrrrG一边值问题的解的积分公式（12-1-13
22、） ，需要先计算 即 。0 zn0 z.)()(21 )(14 )()(12/302200 022022020200 zyxzzyxnGzz 代入（12-1-13 ）即得半空间的第一边值问题的解的积分公式（12-2-21） dxyzyxyfzyxu 2/3022000 )()( ,21 ) ,(作代换 ) ,() ,(0zxzyx 02/320200 )()(1 ,2 dyxzyxyfu这叫作半空间的泊松积分。例 3 在圆 a 内求解拉普拉斯方程的第一边值问题 ).(, 02fuaa1答案（12-2-22）.)()cos(212) ,(20 020 dfaau例 4 在半平面 y0 内求解拉普
23、拉斯方程的第一边值问题 ).(, 02xfuyy答案（12-2-23）.)()(1) ,( 020dxfyxyxu三、含时间的格林函数12.112.2 讨论的是稳定场问题的格林函数方法。至于波动与输运这类含时间的问题，同样可以运用格林函数方法求解。本节以波动问题为例介绍含时间的格林函数，并导出波动方程定解问题解的积分表式；对于输运问题，亦给出相应的结果。一般强迫振动的定解问题是（12-3-1）), (2trfuat（12-3-2）, tMn（12-3-3）).( ),(00rurtt5.3 中曾指出，持续作用的力 f（r，t）可年作是前后相继的脉冲力 f（r， ）（t ）d 的叠加。现在我们再
24、进一步将一个个连续分布于空间的脉冲力看作是鳞次栉比排列在许许多多点上的力的叠加。总之，把持续作用的连续分布力1f（r， t）看作是许许多多脉冲点力的叠加（12-3-4）.)() ,() ,( 000Tt drtrrftrf 把单位脉冲点力所引起的振动记作 G（r，t；r 0，t 0） ，称之为波动问题的格林函数。求得了 G，就可用叠加的方法求出任意力 f（r，t）所引起的振动。G 所满足的定解问题是（12-3-5）),(002 tat （12-3-6）,nu（12-3-7）.0 ,0ttG我们可以用类似于求解泊松方程的方法求得定解问题（12-3-1）（12-3-3）的解的积分表式。需注意的是含
25、时间的格林函数的对称性不同于泊松方程格林函数的对称性，（12-3-8）). ,; ,() ,;(00 trtGtr现在证明对称关系（12-3-8） 。在定解问题（12-3-5）（12-3-7）中将变量t，r 0， t0 分别换为t，r 1，t 1，而成为（12-3-9）)() ,; ,() ,; ,( 1112 trtrtaGt （12-3-10）0 ,; ,) ,; ,( 11tGnrt（12-3-11）.) ,; ,(,0) ,; ,( 011 ttt rtr以 G（r，t；r 1，t 1）乘方程（ 12-3-5） 。同时以 G（r，t ；r 0，t 0）乘方程（12-3-9） ，相减，再
26、对 r 在区域 T 上积分，同时对 t 在区间 （其中 t 0 和 t1） ,上积分，得1（12-3-12）). ,;() ,; ,( ,; , ,; )() ,( ,; ,; 01102 1001 10trGtrtGdVtattrrtttTtt 利用第二格林公式（12-1-3） ，上式左端成为 .) ,;() ,; ,( , , , ) ,;() ,; ,() ,; ,() ,;( 01 102 0110 dSttrGntrGa dVtrtrtrtrt tT tt 由定解条件（12-3-6 ）（12-3-7 ）和（12-3-10）（12-3-11 ）可以看出，上式为零，从而（12-3-12
27、）右端也为零。于是有对称关系（12-3-8） 。现在推导定解问题（12-3-1）（12-3-3 ）解的积分表式。考虑到关系式（12-3-8）中时间变数 t 与 t0 不能像空间变数那样简单地对调，我们先将定解问题（12-3-1）（ 12-3-3）中的 r， t 换为 r0，t 0，（12-3-13）), () ,() ,( 0020 trftuaut （12-3-14）), () ,( , 000 tMtrntr（12-3-15）).() ,( ),) ,( 00000 rtutrut将 G 的定解问题中的 r 与 r0互换，同时将 t 和 t0分别换为t 0 和t，并利用对称关系（12-3-
28、8） ，得（12-3-16）),() ,;() ,;( 0000200 trtrGatt 1（12-3-17）,0) ,;() ,;(00 trGntr（12-3-18）.) ,;( ,) ,;( 0000tttrtG以 G（r，t；r 0，t 0）乘方程（ 12-3-13） ，以 u（r 0，t 0）乘方程（12-3-16 ） ，相减，再对 r0 在区域 T 上积分，同时对 t0 在0，t 上积分，并利用第二格林公式及初始条件（12-3-15）及（ 12-3-18） ，可得（12-3-19）.)( ,;() (0 0000 000200TttTtt tt dtVtruftGtadV其中 0，
29、积分后取 0，引入 是为了使含 （ t t0）的积分值确定（积分区间包含 t0 t 在内） ，于是可得(12-3-20).)( ) ,( ,;() ,(0 00020 00000Ttt ttTt dtVGuatrfrru右边第二个积分中 因此，可完成对 t0 的积分，0/0000 tduGtttt计及 tt 0 时 G0， ，这样得到0t（12-3-21）. ) ,( ,;() ,( 00 00020 000 00 TtttTt dVuGdtSnGuatVtrfrtru1对于不同类型的边界条件，可令 G 满足相应的齐次边界条件，从而得到适用于不同边界条件的以 G 表示的解的积分表式。对于输运问题，（12-3-22）) ,(2trfuat（12-3-23）, tMn（12-3-24）).(0rut类似上面的讨论，同样可得到其解的积分表式（12-3-25）. ) ,( ,;() ,( 00 00020 000 0 TttTt dVuGdtSnuGatVtrfrtru作业（P387）：1，2
