1、第七章 离散变量和随机变量的最优化方法,7.1 引言7.2 离散变量优化设计的基本概念7.3 离散变量优化设计的数学模型7.4 离散变量优化设计的最优解及收敛条件7.5 随机变量优化设计的基本概念7.6 随机变量优化设计的数学模型7.7 随机变量概率约束问题的优化设计模型及最优解,7.1 引言,一. 变量类型：,工程实际问题中不是单一的连续变量，经常是各种类型变量的混合。有： 连续变量确定型 整型变量离散变量随机变量不确定型混合变量 所以需要相应的优化方法。,7.1 引言,二. 工程实际设计的需要：,1、齿轮传动装置的优化设计：齿数、模数、齿宽和变位系数为设计变量。齿数为整型变量，模数为离散变
2、量，齿宽和变位系数为连续变量。 2、桥式起重机主梁的优化设计：板厚t1,t2,t3、主梁高度、宽度为设计变量。板厚为离散变量，H和B为连续变量。,7.1 引言,三. 传统方法的局限：,例，求离散问题的最优解，传统的方法是先用连续变量优化设计方法求连续变量的最优解，然后圆整到离散值上。弊病：可能得不到可行最优解，或所得的解不是离散最优解。, x*, X(1), X(2), X(3),x* 是连续变量最优点；x(1) 是圆整后最近的离散点，但不可行；x(2) 是最近的可行离散点，但不是离散最优点；x(3) 是离散最优点。,x1,0,x2,7.2 离散变量优化设计的基本概念,一. 设计空间：,1、一
3、维离散设计空间：,在 xi 坐标轴上有若干个相距一定间隔的离散点，组成的集合称为一维离散设计空间。,2、P 维离散设计空间：P 个离散设计变量组成 P 维离散设计空间。每个离散变量可取有限个（l）数值，这些数值可用矩阵 Q 来表达。,注： 因为离散变量是有限个，所以离 散空间是有界的。 某个离散变量的取值不足 l 个，其余值可用预先规定的自然数补齐。,qij-1,qij,qij+1,Xi,7.2 离散变量优化设计的基本概念,3、N-P 维连续设计空间：N 个设计变量中有 P 个离散变量，此外有个N-P 连续变量。N-P 维连续设计空间:,4、N 维设计空间：其中：离散设计空间为：连续设计空间为
4、：,若 Rp 为空集时，Rn 为全连续变量设计问题； 若 Rp-n 为空集时，Rn 为全离散变量设计问题。,7.2 离散变量优化设计的基本概念,二. 整型变量和连续变量的离散化： 是均匀离散,1、整型变量的离散：整型变量可看作是离散间隔恒定为 1 的离散变量。是离散变量的特例。,2、连续变量的离散化：有时为了提高优化设计计算效率，将连续变量转化为拟离散变量。方法：,7.3 离散变量优化设计的数学模型,注：设计空间有离散空间部分。但约束面不离散，也不一定分布有离散点。K-T 条件不再适用。,D,混合离散变量优化设计问题的数学模型：,7.4 离散变量优化设计的最优解及收敛条件,一、离散单位邻域 U
5、N(x) 和坐标邻域 UC(x) ：,例，二维离散空间中，离散单位邻域共 3n 个点，UN(x) = x,A,B,C,D,E,F,G,H；离散坐标邻域共 2n+1 个点：UC(x) = x,B,D,E,G。,x ,B ,G,D ,E ,A, F,C,H,i,i,0,x1,x2,7.4 离散变量优化设计的最优解及收敛条件,二、离散最优解：,三、收敛准则：,设当前搜索到的最好点为 x(k)，需要判断其是否收敛。在 x(k) 的单位邻域中查 3n 1 个点，若未查到比 x(k) 的目标函数值更小的点，则收敛，x* = x(k) 。,D,D,D,7.4 离散变量优化设计的最优解及收敛条件,四、 伪离散
6、最优解和拟离散最优解：,1、伪离散最优解：,在判断x(k)是否收敛时，只在 x(k) 的坐标邻域中查点，所得到的最优点是伪离散最优点。,2、拟离散最优解：用以连续变量优化设计方法为基础的“拟离散法”、“离散惩罚函数法”等，先求得连续变量最优解（A点），再圆整到可行域内最近的离散点（C点）,是拟离散最优点。B点才是离散最优点。,7.5 离散变量优化设计方法,1、凑整解法： 将离散变量全部视为连续变量，又连续变量的优化方法求解，然后 根据规范和标准调整为离散值。,7.5 离散变量优化设计方法,2、网格法将可行域内的所有离散点全部过一遍，逐一进行比较，找出最小的点。,3、离散复合形法（自学）,7.6
7、 随机变量优化设计的基本概念,一、随机变量的概率特性（略）：,二、随机变量：,随机现象的每一个表现，通称为随机事件。随机事件可用数值表示，随着观察的重复，可获得一组不同的数值。对随机现象作观察，测量的变化量称为随机变量。,例如，加工了3000根直径为 的轴。抽取测量了300根轴的直径，直径值的分布情况如图，在公差范围内的有297根轴。,加工直径为 d 的轴，是一个随机事件；直径 d 为 随机变量；加工3000根轴，是事件的总体；测量300根轴的直径，是事件的样本空间。合格 99% 是事件的概率。,7.6 随机变量优化设计的基本,三、随机参数：,已知分布类型和分布参数（或特征参数），且相互独立的
8、随机变量。在优化过程中，随机参数的分布类型及分布参数是不随设计点的移动而变化的。随机参数的向量表示如下：,T,T,T,T,7.6 随机变量优化设计的基本概念,四、 随机设计变量：,在优化过程中，随机变量的分布类型及分布参数（或特征参数）需要通过调整变化来求得最优解，而且是相互独立的随机变量，称为随机设计变量。随机设计变量的向量表示方法如下：,五、分布类型及其参数的确定：,方法 一： 由试验或观察，测量得到随机变量的相关数据，作出样本的直方图，然后选择分布类型，进行假设检验和分布参数的估计。,T,7.6 随机变量优化设计的基本概念,方法二：根据样品试验、同类事件的数据或以往积累的经验，先推断一种
9、分布类型，再调整分布参数或特征值。,一般认为：加工误差服从正态分布；寿命服从指数分布或威布尔分布；合金钢的强度极限服从对数正态分布。,若已知离差系数 cx ，则可根据直接在优化过程中迭代均值，通过调整均值和离差系数求得最优解。, 若 xi 服从正态分布，一般容差,同样可直接在优化过程中迭代均值，通过调整均值和容差求得最优解。,7.7 随机变量优化设计的数学模型,一、随机设计特性：,当设计特性或技术指标表示为随机设计变量和随机参数的函数时，称为随机设计特性。,二、 目标函数：,由随机设计特性定义优化准则函数。,注：工程问题的优化设计中，根据工程实际情况选择目标函数的类型。,7.7 随机变量优化设
10、计的数学模型,三、约束函数：,四、随机型优化设计数学模型：,说明： min. 和 s.t. 只能从概率空间的意义来理解； 采用不同的样本组，最优点 x*()是不同的； 模型的类型有很多种，最有实际意义的是概率约束型。,T,T,T,7.7 随机变量概率约束问题的优化 设计模型及最优解,一、概率约束问题的优化设计模型：,T,7.7 随机变量概率约束问题的优化设计 模型及最优解,二、概率约束模型的最优解：,在概率空间（，T，P）内，存在一个用均值表示的设计点 x* ，x* = x* X Da，使不等式 E f (x*,) E f (x,)对于某个邻域 N(x) 内的所有 x 都成立，则称 x* 为概率约束问题的最优点， E f (x*,)为最优均值。,三、概率约束模型的几何解释,1、概率约束的几何解释：p gu (x,)0 u = 0 是概率约束超曲面。p gu (x,)0 0.5 = 0 相当于E gu (x,)=0，即 gu (x,)0 的连续变量空间中的约束超曲面。,7.7 随机变量概率约束问题的优化设计 模型及最优解,2、随机设计变量的模体：概率约束的可行域：,D,3、概率约束模型的最优解的几何解释：,
