1、高等数学,王学顺,数学教研室,高等数学是高等院校中理工类、经济类专业学生必修的重要基础理论课.,随着科学技术的发展，人们越来越深刻地认识到：没有数学，就难于创造出当代的科学成就. 科学技术发展越快，对数学的需求就越多.,绪 论,如今，伴随着计算机技术的迅速发展、自然科学各学科数字化的趋势、社会科学各部门定量化的要求，使许多学科都在直接或间接地，或先或后地经历了一场数学化的进程在基础科学和工程建设研究方面，在人事管理和军事指挥方面，在经济,高等数学主要学习内容,计划方面，甚至在人类思维方面，都可以看到强大的数学化的进程. .,通过高等数学这门课程的学习,要使学生获得：(1)函数、极限、连续;(2
2、)一元函数微积分学；(3)向量代数和空间解析几何；(4)多元函数微积分学；(5)无穷级数；(6)常微分方程.等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程奠定必要的数学基础.,高等数学有四个显著特点：,(1)高度的抽象性,数学的抽象性在简单的计算中就已经表现出来. 我们运用抽象的数字，却不是每次都把它们同具体的对象联系起来. 在数学的抽象中只留下量的关系和空间形式，而舍弃了其他一切. 它的抽象程度大大超过了自然科学中任何一门学科.,(2)严谨的逻辑性,数学中的每一个定理，不论验证了多少实例，只有当它在逻辑上被严格证明时，才能在数学中,成立. 在数学中要证明一个定理，必须是从条件和已有
3、的数学公式出发，用严谨的逻辑推理方法导出结论.,(3)广泛的应用性,高等数学具有广泛的应用性. 例如，掌握了导数概念及其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的切线斜率、曲线的曲率等等几何量；就可以用它来刻画和计算速度、加速度、密度等等物理量；就可以用它来刻画和计算产品产量的增长率、成本的下降率等等经济量；,高等数学既为其它学科提供了便利的计算工具和数学方法，也是学习近代数学所必备的数学基础 .,掌握了定积分概念及其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的弧长、不规则图形的面积、不规则立体的体积等等几何量；就可以用它来刻画和计算变速运动的物体的行程、变力所做的功、物体的重心等等物理量；就可以用它来
4、刻画和计算总产量、总成本等等经济量.,(4)知识体系的连惯性,高等数学的教学特点,对于大学课程，特别是作为基础理论课的高等数学，课堂教学是重要环节. 高等数学的课堂教学与中学数学的课堂教学相比，有下述三个显著的差别:,(1)课堂人数多,高等数学课堂是一百多人的大课堂，在这种大课堂上不可能经常让同学们提问题. 同学们在学习的基础上、水平上、理解接受能力上肯定存在差异，但是教师授课的基点只能是照顾大多数，不可能给跟不上、听不全懂的少数同学细讲、重复讲.,(2)时间长,每次授课两节，共110分钟.,(3)进度快,高等数学的内容极为丰富，而学时又相对较少(同中学数学相比)，平均每次课要讲授教材内容一至
5、两节(甚至更多). 另外，大学与中学的教学要求有很大的不同，教师讲课主要讲重点、难点、疑点，讲分析问题的方法，讲解题的思路，而例题要比中学少得多，不象中学上数学课那样，对一个重要的定理，教师要仔细讲、反复讲，讲完之后又举大量典型的例子.,为了提高听课效果，每次上课前应对教师要讲的内容进行预习. 预习的重点是阅读一下要讲的定义、定理和主要公式. 预习的主要目的是：第一，在听课时能做到心中有数，不至于被动地听课；第二，知道哪些地方是重点和自己的难点，从而在听课时能提高效率；第三，可以弥补由于基础、理解力上的差异所造成的听课困难.,同学们要注意抓好学习的六个环节,高等数学这门课是同学们进入大学后的一
6、门最重要的基础课. 由于在教学方法上、在对学生能力的培养目标上与中学时有很大的不同，因此，同学们在一开始可能会感到有些不适应. 为了尽快适应新的学习环境，要注意抓好以下六个学习环节.,(1)预习,(2) 听课,听课是在大学中获取知识的主要环节. 因此，应带着充沛的精力、带着获取新知识的浓厚兴趣、带着预习中的疑点和难点，专心致志地听教师如何提出问题、分析问题和解决问题，并且积极主动地思考.,在听课时常会遇到某些问题没听懂的情况，这时千万不要在这些问题上持续徘徊而影响继续听课，应承认它并在教材上或笔记上相应处作上记号，继续跟上教师的讲授. 遗留的问题、疑点待课后复习时再思考、钻研，或找同学讨论，或
7、找教师答疑，或查看参考书加以解决.,记好课堂笔记是学好高等数学的一个重要的学习环节. 但要注意的是，课堂学习的中心任务是听、看、想，记笔记的目的是便于课后复习，便于消化课上所讲的内容. 因此，记笔记不应占用过多的课堂时间. 笔记不必工整，不必全面，不必连贯，但应预留一定的空白以便课后补充、写心得、记疑问.,(3) 记笔记,学习包括“学”与“习”两个方面. “学”是为了获取知识，“习”是为了消化、掌握、巩固知识. 每次课后的当天都应结合课堂笔记和教材及时复习课上所讲的内容. 但是，在翻开教材与笔记之前，应先回顾一下课上所讲的主要内容. 另外，应该经常地、反复地复习前面所讲过的内容， 这样一方面是
8、为了避免边学边忘，另一方面可以加深对以前所学内容的理解，使知识水平上升到更高的层次.,(4) 复习,要把高等数学学到手，及时、认真地完成作业是一个必不可少的学习环节. 每次的作业最好在当天完成，但是应该在复习完当天的内容之后进行. 做作业不仅是检验学习效果的手段，同时也是培养、提高综合分析问题的能力、笔头表达能力以及计算能力的重要手段.,(5)做作业,特别强调，认真完成作业是培养同学们严谨治学的一个环节.因此，要求作业“字迹工整、绘图准确、条理清楚、论据充分”. 切忌抄袭，尽量不先看书后的答案.,除了要重视上述学习环节之外，还有一点应该大力提倡，那就是互助合作、共同研讨、共同提高. 团队精神对
9、于学好高等数学同样重要.,(6) 答疑,答疑是高等数学学习的一个重要的环节. 遇到疑问时应该及时地与同学讨论，与教师交流，切不可将问题放置一旁不理.,四 几点说明,集 合,映 射,小结,函 数,第一章 函数与极限,第一节 映射与函数,(function and limit),( set ),( mapping ),( function ),第一章 函数与极限,1. 集合(set)概念与记号,一、集合,子集,2. 集合(set)的关系及集合的运算,(1) 集合的关系,集合相等,则称,真子集,记作,真子集,2. 集合(set)的关系及集合的运算,集合的基本运算有三种:,并集,交集,差集.,(2)
10、集合的运算,由所有属于A,称为A与B的,差集,记作,即,而不属于B的元素,差集,组成的集,例如,在实数集R中,集合,的余集,3. 区间(interval),区间是指介于某两个实数之间的全体实数.,这两个实数叫做区间的端点.,有限区间,无限区间,全体实数的集合R 也可记作,是无限区间.,邻域(neighbourhood),有时简记为,常用的逻辑符号,在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号,“ ”,表示 “任取 ”, 或“任意给定”.,“ ”,表示 “存在 ”,“至少存在一个”,或“能够找到”.,Any(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写,Exist(存在)的 字头E的倒写,二、映射,1. 映
11、射概念,(mapping),定义,设 X、Y 是两个非空集合,如果存在,一个法则f ,使得对,通过f ,在Y中有唯一,确定的元素 y 与之对应,则称f 为,从 X 到 Y 的映,(或算子),记作,并称y为x(在映射f下)的,像,并记作,即,x称为y的,原像.,射,定义域,即,记,X中所有元素的像所组成的集合,记作,或f 的,即,称为,在中学数学中所接触的函数实际是:,实数集(或其子集),到实数集的映射.,例如,映射f :,正弦函数,值域,像集,对,元素 x 的像y是唯一的;,而对,元素 y 的原像不一定是唯一的;,映射 f 的值域,是Y 的一个子集,不一定,(2),(1),集合X, 即定义域,
12、集合Y, 即值域的范围:,对应法则f ,使对,有唯一确定的,与之对应.,三个要素:,构成一个映射必须具备以下,设映射,即Y 中任一元素y 都是X中某,元素的像,则称f 是,满射.,若,必有,则称f 是,单射.,若映射f,则称f 是,一 一 映射,(或双射).,2. 几类重要映射,又是单射,既是满射,3. 逆映射与复合映射,设有单射,则由定义,有唯一的,适合,于是,可定义一,个从,的新映射g,即,规定,这 x 满足,这个映射g称为,f 的逆映射,记作,其定义域,值域,设有两个映射,其中,3. 逆映射与复合映射,由,它将,映成,显然这个对应法则是从 X到Z 的一个映射,此映射称为由g和f 构成的,
13、复合映射,记作,即,对应法则,可确定出从 X到Z 的一个,1.常量(constant quantity)与变量(variable),三、函数(function),而是相对“过程”而言的.,一个量是常量还是变量,不是绝对的,常量与变量的表示方法:,定义,设数集,则称映射,为定义在D上的函数,通常简记为,自变量,因变量,定义域(domain),定义中,按对应法则f ,总有唯一,确定的值y与之对应,这个值称为函数f 在x处的,函数值,记作,函数关系,函数值,全体组成的集合称为,记作,即,函数f 的值域,2. 函数概念,含义的区别.,自变量x和因变量y之间的对应法则;,与自变量x对应的函数值;,定义在
14、D上的函数,(1),(2),函数的记号:,除常用的f 外,可任意选取,如,相应地,函数可记作:,等,等,也可记作:,(3),对应的函数值y总是唯一的,否则称为,如,是多值函数,它的两个单值支是:,单值函数,多值函数.,约定:,今后无特别说明时,函数是指单值函数.,这种函数称为,(4),构成函数的,是两个不同的函数.,(因为定义域不同).,如,与对应法则f .,定义域,两个要素:,确定函数定义域的原则:,自变量所能取的使算式有意义的一切,定义区间.,由问题的实际意义确定.,函数的定义域常用区间来表示,又可称为:,在纯数学的研究中 (函数由一个公式,实数组成的集合,这种定义域称为,自然定义域.,表
15、示的).,(5),函数的图形(图象).,(6),(8),(7),分段函数.,几个今后常引用的函数,绝对值函数,例,定义域,值域,符号函数,定义域,值域,对,例,有,或,取整函数,如,例,当,定义域,值域,表示不超过x的最大整数,有界性 (bounded),3. 函数的几种特性,有界,无界,单调性(monotonicity),单调增加,如果对,恒有,(单调减少).,奇偶性,偶函数的图形,奇函数的图形,周期性(periodicity),周期为 的周期函数,4. 反函数与复合函数,设函数f :,单射,则它存在逆映射,称此映射,为函数f 的,反函数.,习惯上,的反函数记成,(1),定义,反函数(inv
16、erse function),如,反函数,直接函数,通常将,写作,一般地,直接函数与反函数的图形,直线,对称.,关于,4. 反函数与复合函数,(2),复合函数 (compound function ),定义,设函数,的定义域是,函数,有定义,且,则由下式,确定的函数,称为由函数,构成的,复合函数.,记作,即,它的定义域为,(1) 并非任何两个函数都能复合成为复合函数;,(2) 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,(3) 反过来,一个复杂的函数根据需要也可以,分解为若干简单函数的复合.,1) 幂函数(power function),定义域与 的取值有关.,5. 初等函数(elementa
17、ry function),(basic elementary function),(1) 基本初等函数,2) 指数函数(exponential function),定义域为,值域为,3) 对数函数(logarithm function),定义域为,值域为,4) 三角函数(trigonometric function),正弦函数,定义域为,值域为,余弦函数,定义域为,值域为,正切函数,余切函数,定义域,值域,定义域,值域,5) 反三角函数(inverse trigonometric function),定义域,值域,主值,反正弦函数,定义域,值域,主值,反余弦函数,主值,定义域,值域,反正切函数
18、,反余切函数,主值,定义域,值域,幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,(2) 初等函数(elementary function),初等函数.,如,都是初等函数.,不是初等函数.,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算,(加、减、乘、除)和有限次的函数复合步骤所构,成并可用一个式子表示的函数, 称为,奇函数.,偶函数.,1) 双曲函数,叠加法,(3) 双曲函数与反双曲函数,双曲正弦,双曲余弦,奇函数,有界函数,双曲正切,双曲函数常用公式,2) 反双曲函数,奇函数,可得,反双曲正弦,的反函数,单调增加.,反双曲余弦,单调增加.,奇函数,反双曲正切,单调增加.,四、小结,复合函数,初等函数.,函数,函数的几种特性,反函数,有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性.,集合,映射,集合概念,集合的运算,区间,邻域.,映射概念,逆映射,函数的定义,定义域 对应法则,函数的两要素,复合映射.,几种重要映射,
