1、2 数集 确界原理,一、 区间与邻域,二、 有界集确界原理,1、区间,是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个,称为开区间,一、区间与邻域,有限区间,实数叫做区间的端点.,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,无限区间,x,x,2、邻域,定义1,点a 的 右邻域 和 点 a 的空心 右邻域,点 的 左邻域 和 点 的空心 左邻域,邻域,邻域,（其中 M 为充分大的正数）,邻域,则称 S 为有上界（下界）的数集，数 M (L ),设 S 为 R 中的一个数集, 若存在数,二、有界集确界原理,1、 有界数集,定义2,称为 S 的一个上界 (下界).,若数集 S 既有上界又有下界，则称 S 为有
2、界集.,都有,使得对一切 xS,若存在数M0，,则称 S 为有界集.,若S 不是有界集，则称 S 为无界集.,例如 闭区间 ，,称 S 为无界集.,例1 证明数集 N+=n / n为正整数有下界而无上界.,证,先给出确界的直观定义：若数集S有上界, 则显,具有重要的作用, 称它为数集 S 的上确界,同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界.,2、 确界,然它有无穷多个上界, 而其中最小的一个上界常常,定义3,(ii) 对任何,记为,上确界，,(i) 对一切,确界的精确定义,最小上界，则称数 为数集 S 的,定义4,(ii),(i),设 S 是R 中的一个数集. 若数 满足,记为,下确界，,数集 S 的确界可能属于S，也可能不属于S；,4、确界原理,有上确界；若 S 有下界，则 S 必有下确界.,定理1,设 S为非空数集，若 S 有上界，则 S 必,3、确界的性质,1) 唯一性：若数集 S 存在上（下）确界，则一,定是唯一的；,2) 若数集 S 存在上、下确界，则有,注：,例6 设数集 S 有上界，证明：,证,证明,小 结,思考题,
