1、1 The Viterbi Algorithm 刘超 杭州电子科技大学通信学院网络通信教研室 杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/11/13 2 教学内容： 卷积码的简要介绍 维特比译码的基本原理 维特比译码的基本过程 教学目标 掌握维特比译码的基本原理 熟悉用栅格描述维特比译码的过程 教学内容与目标 杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/11/13 3 卷积码编码器 卷积码编码器结构框图 k=2 输出 1 2 3 4 编码器相关术语 (m,k,n)码，约束长度 m，每次移位的比特 k，码速率 Rc=k/n 状态 S=(4 3 2 1)，共 2km种状态 m=2 输入 1 2 3
2、n=3 杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/11/13 4 例 1 (2,1,2)码的状态向量为 S=(21)，共有 4种状态S0=(0,0),S1=(0,1),S2=(1,0),S3=(1,1)，如图所示。 ( 2 , 1 , 2 ) 卷 积 码 编 码 器 框 图12V2UV1卷积码的状态转移图与数学方程 杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/11/13 5 该码的状态转移方程和输出方程分别为 1=U 2=1 V1=U +1+2 V2=U +2 卷积码的相关数学方程 ( 2 , 1 , 2 ) 卷 积 码 编 码 器 框 图12V2UV1杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/
3、11/13 6 卷积码的状态转移图 ( 2 , 1 , 2 ) 码 状 态 转 移 图 ( 闭 合 型 )( 0 1 ) / ( 0 ) = ( v1v2) / ( u )( 0 1 ) = S1( 0 0 ) = S0( 1 0 ) = S2( 1 1 ) = S3( 1 1 ) / ( 0 )( 0 0 ) / ( 0 )( 1 0 ) / ( 0 )( 0 0 ) / ( 1 )( 0 1 ) / ( 1 )( 1 0 ) / ( 1 )( 1 1 ) / ( 1 )编码器及其对应的状态转移图如下 = ( t ) = ( t + 1 )V ( l ) / U ( l )编 码 器 状 态
4、 转 移 图( 2 , 1 , 2 ) 卷 积 码 编 码 器 框 图12V2UV1杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/11/13 7 卷积码的状态转移图 ( 2 , 1 , 2 ) 码 状 态 转 移 图 ( 开 放 型 )S1S0S2S3S1S0S2S3( 0 0 / 0 , 1 1 / 1 )( 1 0 / 0 , 0 1 / 1 )( 1 1 / 0 , 0 0 / 1 )( 0 1 / 0 , 1 0 / 1 ) = ( t ) = ( t + 1 )V ( l ) / U ( l )编 码 器 状 态 转 移 图( 2 , 1 , 2 ) 卷 积 码 编 码 器 框 图12V
5、2UV1杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/11/13 8 卷积码的栅格图 (篱笆图 ) 状态图不能反映出状态转移与时间的关系 栅格图 /篱笆图： 将开放型的状态转移图按时间顺序级联形成一个栅格图。 编码路径： 状态序列 在栅格图中形成的一条有向路径。 当有向路径始于全“ 0”状态 S0，又终于 S0时，表明此时编码器又回到全“ 0”状态， 卷积码的状态转移图与栅格描述 杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/11/13 9 红实线 表示 U=0时输入产生的转移分支 ; 黄虚线 表示 U=1时输入产生的转移分支 ; 转移分支上数字表示输出的编码比特 V1和 V2。 卷积码的状态转移的栅
6、格描述 ( 2 , 1 , 2 ) 码 篱 笆 图S1S0S2S3( 0 0 / 0 , 1 1 / 1 )( 1 0 / 0 , 0 1 / 1 )( 1 1 / 0 , 0 0 / 1 )( 0 1 / 0 , 1 0 / 1 )0 1 2 3 4 5 6 70 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 1 11 0 1 01 0 1 0 1 01 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1 0 10 1 0 1 0 1 0 1杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/11/13 10 图 6
7、. 4 . 1 9 ( b ) ( 2 , 1 , 2 ) 码 栅 格 图 及 路 径S1S0S2S3( 0 0 / 0 , 1 1 / 1 )( 1 0 / 0 , 0 1 / 1 )( 1 1 / 0 , 0 0 / 1 )( 0 1 / 0 , 1 0 / 1 )1 11 00 10 01 00 10 11 11 1ABC路 径 A ( S0, S1, S2, S0) 消 息 A ( 1 0 0 ) 输 出 A ( 1 1 1 0 1 1 )路 径 B ( S0, S1, S2, S1, S3, S2) 消 息 B ( 1 0 1 1 0 ) 输 出 B ( 1 1 1 0 0 0 0
8、1 0 1 )路 径 C ( S0, S1, S3, S3, S2, S0) 消 息 C ( 1 1 0 1 0 0 ) 输 出 C ( 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 )V ( 0 )V ( 1 ) V ( 2 ) V ( 3 )V ( 4 )V ( 5 )卷积码的栅格描述 杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/11/13 11 最大似然译码 /最小距离译码 待编码的信息序列 M： M=M0, M1, ML 1； 编码器输入序列的总长度： k(L+m)； 编码器输出的码序列 C： C=C0, C1, CL 1，其中 每个子码 Ci含有 n个比特； 经离散无记忆信道 (DMC)传输
9、后， 译码器接收的序列 R：R=R0, R1, RL 1； 对于 DMC信道： 码序列 C 的 路径度量 M(R/C)：计算第 l 时刻到达状态 i 的最大似然路径的相似度 log p(R/C)； 子码 Ci 度量 M(Ri/Ci) ：计算第 l 时刻接收子码 Ri 相对于各码字的相似度 log p(Ri/Ci)，也称为 分支度量 。 杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/11/13 12 最大似然译码 /最小距离译码 译码器接收到 R 序列后，按最大似然法则力图寻找编码器在篱笆图上原来走过的路径，也就是寻找具有最大度量的路径； 对 BSC信道，就是寻找与 R 有最小汉明距离的路径，即计算
10、和寻找 mind(R, Cj)，j=1,2,2 Lk 。 注：二进制对称信道 BSC（ Binary Symmetry Channel） 杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/11/13 13 最大似然译码 /最小距离译码 最大似然译码方法只是提供了一个译码准则，实现起来尚有一定困难。因为它是考虑了长度为 (L+m)n 的接收序列来译码的，这样的序列可能有 2Lk 条； 若实际接收序列中， L=50， k=2，则可能的路径有 2100 条。译码器每接收一个序列 R，就要计算 1030 个似然函数才能做出译码判决。若 kL 再大一些，译码器按最大似然译码准则译码将是很困难的。 杭州电子科技大
11、学通信学院 刘超 2019/11/13 14 维特比译码工作原理 维特比提出了一种算法： 译码器不是在篱笆图上一次就计算和比较 2Lk 条路径，而是接收一段，就计算、比较一段，从而在每个状态时，选择进入该状态的最可能的分支。 维特比译码的基本思想： 将接收序列 R 与篱笆图上的路径逐分支地比较，比较的长度一般取 (56)mn，然后留下与 R 距离最小的路径，称为幸存路径，而去掉其余可能的路径，并将这些幸存路径逐分支地延长并存储起来。 幸存路径的数目等于状态数： 2km 以 (2,1,2) 卷积码为例说明维特比译码的一般过程： 设发送序列 C 为全 0； 接收序列 R=10,00,01,00,0
12、0,00,00, 维特比译码的基本原理 杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/11/13 15 假设译码器的初始状态为全 0； 第 0个时刻： 接收序列的第 0个分支 R0=10 进入译码器。从 S0 状态有两个分支，它们是 00 和 11， R0与这两个分支比较，比较的结果和到达的状态如表 1 所示： 每个状态 /节点都有两个存储器： 路径存储器：存储该状态的部分路径； 路径值存储器：存储达到该状态的部分路径值 (累加距离 )。 维特比译码的基本原理 表 1 幸存路径 第 0 分支的距离 到达状态 00 11 1 1 S 0 S 1 接收序列 R=10,00,01,00,00,00,00
13、, ( 2 , 1 , 2 ) 码 栅 格 图 第 一 步S1S0S2S3111 0R =杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/11/13 16 第一个时刻： 进入译码器的接收码组 R1=00 和此时刻 出发的 四条分支 比较，比较结果和达到状态如表 2所示： 从第一个时刻到第二个时刻： 共有四条路径，到达 S0, S1, S2和 S3。在第二个时刻以前译码器不做任何选择和判决。 每个状态的路径存储器 存储下此时刻的幸存路径：0000,0011,1110,1101； 每个状态的路径值存储器 存储了此时刻到达该状态的幸存路径累加值 (累加距离 )。 表 2 上次距离 幸存路径 延长 分支 本
14、分支距离 累加距离 到达状态 1 1 00 11 00 11 10 01 0 2 1 1 1 3 2 2 S 0 S 1 S 2 S 3 维特比译码的基本原理 接收序列 R=10,00,01,00,00,00,00, 杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/11/13 17 维特比译码的基本原理 ( 2 , 1 , 2 ) 码 栅 格 图 第 二 步S1S0S2S31113221 0 0 0R =杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/11/13 18 表 .3 上次距离 幸存路径 延长 分支 本分支距离 累加距离 到达状态 1 3 2 2 00 00 00 11 1 1 10 1 101
15、 00 11 10 01 11 00 01 10 1 1 2 0 1 1 0 2 2 2 5 3 3 3 2 4 S 0 S 1 S 2 S 3 S 0 S 1 S 2 S 3 从第二个时刻起： 第二个接收码组 R2=01 进入译码器，从篱笆图 上可见，从第二个时刻到第三个时刻，进入每个状态的分支有两个（或者说在第三个时刻，进入每个状态的路径有两条）。译码器将接收码组 R2 与进入每个状态的两个分支进行比较和判决，选择一个累加距离（部分路径值）最小的路径作为进入该状态的幸存路径。这样的幸存路径 共四条 ，比较和判决的过程如下： 维特比译码的基本原理 接收序列 R=10,00,01,00,00,
16、00,00, 杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/11/13 19 经过比较后选择： 部分路径 000000为到达 S0 状态的幸存路径； 部分路径 000011为到达 S1 状态的幸存路径； 部分路径 110101为到达 S2 状态的幸存路径； 部分路径 001101为到达 S3 状态的幸存路径。 按照上述方法，接收序列的诸码组依次进入译码器，每个时刻进入一个码组，沿着篱笆图对每个状态按部分路径值（累加距离）的大小，选择一条幸存路径。在每个状态上进行判决时，可能出现进入这一状态的两条路径的距离值相同，这时可以任选其一，因为对以后的判决而言，无论选择那一条路径，累加距离是相同的。 维特比
17、译码的基本原理 杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/11/13 20 对本例而言，按上述算法进行到 第十一个 分支 后，四条路径的前面分支都合并在一起。所以，只要译码深度足够，就可达到较低的错误概率。一般，约为 (56)mn，所以，维特比译码的延时可达 (56)m 个单位时刻（每个单位时刻为 n 个码元长度）就可以对第 0个接收码组的信息元进行判决。依此类推，对接收序列中的诸码组进行译码。 维特比译码的一次运算： 计算每个输入分支的度量值（分支距离、累加距离）； 比较各部分路径的度量值，选择一条作为幸存路径。 篱笆图中共有 2km 个状态，因此，维特比译码的计算量与编码存储 m 成指数关
18、系变化，所以采用维特比算法译码的卷积码，其 m 不能选的太大。 维特比译码的基本原理 杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/11/13 21 维特比译码的基本原理 ( 2 , 1 , 2 ) 码 栅 格 图 第 三 步S1S0S2S313222 ( 3 )3 ( 3 )5 ( 2 )3 ( 4 )R =1 0 0 0 0 1杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/11/13 22 ( 2 , 1 , 2 ) 码 栅 格 图 第 四 步S1S0S2S32223R =1 0 0 0 0 12 ( 4 )4 ( 2 )3 ( 4 )3 ( 4 )0 0( 2 , 1 , 2 ) 码 栅 格 图
19、 第 五 步S1S0S2S32223R =1 0 0 0 0 1 0 02 ( 5 )4 ( 3 )3 ( 4 )3 ( 4 )0 0维特比译码的基本原理 杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/11/13 23 ( 2 , 1 , 2 ) 码 栅 格 图 第 六 步S1S0S2S32333R =1 0 0 0 0 1 0 0 0 02 ( 5 )4 ( 3 )4 ( 4 )4 ( 4 )0 0( 2 , 1 , 2 ) 码 栅 格 图 第 七 步S1S0S2S32344R =1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 02 ( 6 )4 ( 4 )4 ( 5 )4 ( 5 )0 0维特比译
20、码的基本原理 杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/11/13 24 ( 2 , 1 , 2 ) 码 栅 格 图 第 八 步S1S0S2S32444R =1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 02 ( 6 )4 ( 4 )5 ( 5 )5 ( 5 )0 0( 2 , 1 , 2 ) 码 栅 格 图 第 九 步S1S0S2S32455R =1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 00 02 ( 7 )4 ( 5 )5 ( 6 )5 ( 6 )0 0维特比译码的基本原理 杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/11/13 25 ( 2 , 1 , 2 ) 码 栅 格 图
21、 第 十 步S1S0S2S32455R =1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 00 0 0 02 ( 7 )4 ( 5 )5 ( 6 )5 ( 6 )0 0( 2 , 1 , 2 ) 码 栅 格 图 第 十 一 步S1S0S2S32455R =1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 00 0 0 0 0 02 ( 7 )4 ( 5 )5 ( 6 )5 ( 6 )0 0维特比译码的基本原理 杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/11/13 26 总结维特比算法的步骤 在第 j(j=m)个时刻以前，译码器计算所有的长为 m 个分支的部分路径值，对进入 2km 个状态的每
22、一条部分路径都保留。 第 m 个时刻开始，对进入每一个状态的部分路径进行计算，这样的路径有 2k 条，挑选具有最大部分路径值的部分路径为幸存路径，删去进入该状态的其它路径，然后，幸存路径向前延长一个分支。 重复第二步的计算、比较和判决过程。若输入接收序列长为 (L+m)k，其中，后 m 段是人为加入的全 0段，则译码一直进行到 (L+m) 个时刻为止。 若进入某个状态的部分路径中，有两条的部分路径值相等，则可任选其一作为幸存路径。 维特比译码的基本原理 杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/11/13 27 硬判决译码器： 以最小距离为度量的译码器。它适用于 BSC 信道。 软判决译码器：
23、 把信道解调器输出的信号进行 Q 电平量化，其中 Q 2，然后再输入到维特比译码器进行译码。充分利用了信道输出信号的有关信息，提高译码的可靠性。它适用于 DMC信道。 软判决译码器比硬判决译码器可以改进码的性能。在一定信道条件下，用软判决译码器可以获得更小的误码率；或者在同等误码率条件下，获得较高的编码增益。 无论是采用硬判决还是软判决译码器，所不同的只是路径量度的计算方法不同，其译码的基本过程都是相同的。 注： 离散无记忆信道 DMC（ Disperse Memory channel） BSC是 DMC的一种特殊情况。 软、硬判决维特比译码 杭州电子科技大学通信学院 刘超 2019/11/13 28
