1、朱立永,北京航空航天大学 数学与系统科学学院,数值分析,Email: numerical_ Password:beihang 答疑时间：星期四下午2:305:30 答疑地点：主216,第十讲 非线性方程组的迭代解法,第三章非线性方程与非线性方程组的迭代解法,常用的求非线性方程根的方法回顾,二分法（对分法、搜索法）不动点法 （简单迭代法、压缩映象法）及其加速算法Newton方法及其变体,计算框图为：,对分法（二分法）：利用连续函数的性质进行对分,简单迭代法（线性收敛）,迭代法的构想,从一个初值x0出发，计算,如果 xk收敛，即存在x*, 使得,则由,得,即 x*是 (x)的不动点，也就是 f(x
2、) 的根。,简单迭代法的变体：Steffensen加速收敛方法,至少二阶收敛 速度,Newton 迭代法 （二阶收敛）,非线性问题的最简单解法是线性近似.将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼 近非线性方程的解，这就是Newton法的基本思想。,计算步骤（框图）：,Newton 迭代法的变体：割线法（简化牛顿法）（1.618）,Newton迭代法需要计算f(x)的一阶导数，对复杂的函数，特别是多元隐函数，求导数或偏导数是一个相对繁琐和复杂的，往往采用近似计算的办法！,在Newton迭代法中用,来近似f(x)在xk处的一阶导数,由此得到的算法叫割线法。,Newton 迭代法的变体：单点割线法（
3、一阶）,Newton迭代法需要计算f(x)的一阶导数，对复杂的函数，特别是多元隐函数，求函数值是计算量比较大或者比较繁琐，尽量减少函数值的计算！,在Newton迭代法中用,来近似f(x)在xk处的一阶导数,由此得到的算法叫割线法。,牛顿下山法： 目的是解决初值的选取范围太小这一困难。 构造迭代格式为：其中的参数满足： 这个方法称为牛顿下山法。其中的参数称为下山因子：通常取 ，然后逐步减半。 牛顿下山法当 时，只有线性收敛速度，但对初值的选取却放的相当宽。,非线性方程组的解法,含n个方程的n元非线性方程组的一般形式是,非线性方程组的一些基本概念,上面的方程组化为：F(X)=0,例子：,将方程组
4、F(X)=0, 写成与之等价的形式:X=G(X), 然后再利用 X(k+1)=G(X(k), k=1,2,求解原方程的根。,简单迭代法,x=0.0y=0.0 10 x1=xy1=yx=0.25*(1+y1-0.1*exp(x1)y=0.25*(x1-0.125*x1*x1)write(10,*) x,yif (abs(x-x1)+abs(y-y1).lt.0.00000001) then goto 15endifgoto 10 15 end,简单迭代法的收敛性,Newton迭代法,计算步骤（框图）：,例：用牛顿法解方程组,取初始值（1，1，1），计算如下,N x y z 0 1.0000000
5、 1.0000000 1.00000000 2.1893260 1.5984751 1.3939006 1.8505896 1.4442514 1.2782240 1.7801611 1.4244359 1.2392924 1.7776747 1.4239609 1.2374738 1.7776719 1.4239605 1.2374711 1.7776719 1.4239605 1.2374711,简化牛顿法。目的是避免计算迭代公式中繁杂的导数，解决方法与一元函数牛顿法类似，即将所有导数取为固定值，如迭代初值的导数值。,与单个方程的情形类似，牛顿法中 f 的导数的元素用合适的差商来近似，如,
6、就可得到拟牛顿法或弦截法。,若用格式,其中下山因子,合适地选取使得,就得到牛顿下山法。,若用格式,，其中,是,的简单,修正，且满足,则得到Broyden算法。特别，若取,，其中,u,v 是待定的列向量，使其满足上式，则得到秩一Broyden算法。,比如,小结 1、本章的目的是求解形如 f (x)=0 的方程，而其核心方法是 将所要求解的方程变形为 x = (x)，利用 (x) 为压缩映射， 通过迭代求出其解。 2、变形中切记要恒等变形！ 3、在恒等变形中，为使变形得到的函数 (x) 为压缩映射，一 个技巧是利用待定参数。 4、恒等变形的一种重要格式是牛顿迭代，证明其迭代收敛阶 的一个常用技巧是泰勒展开。 5、n维空间中代数方程迭代求解的收敛条件是谱半径小于 1 .,Newton-Krylov subspace methods,作业,教材P93页习题10、11,
