1、用心 爱心 专心 115 号编辑 1利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧趣题引入已知函数 设 ，xgln)(ba0证明： 2ln)()2(0ba分析：主要考查利用导数证明不等式的能力。证明： ，设 1ln)(xg )()()xagxagxF2ln221)( xaF 当 时 ，当 时 ，ax00xx0)(xF即 在 上为减函数，在 上为增函数)(),(,a ，又 ，minFxab)(即 0)2()(gag设 2ln)()axxxGlnln)(a当 时， ，因此 在区间 上为减函数；0x0)(x)(xG),0(因为 ，又 ，)(aGaba即 2ln)()2(xgxg故 )(综上可知，当 时，ba
2、0 2ln)()2()(0abbga本题在设辅助函数时，考虑到不等式涉及的变量是区间的两个端点，因此，设辅助函数时就把其中一个端点设为自变量，范例中选用右端点，读者不妨设为左端点试一试，就能体会到其中的奥妙了。技巧精髓一、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。二、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个用心 爱心 专心 115 号编辑 2可导函数是用导数证明不等式的关键。1、利用题目所给函数证明【例 1】 已知函数 ，求证：当 时，xxf
3、)1ln() 1x恒有 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数，从其导数入手即可证明。1)ln()xxg【绿色通道】 f当 时， ，即 在 上为增函数010)(f)(xf)0,1(当 时， ，即 在 上为减函数xx故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间()f ),1(),(于是函数 在 上的最大值为 ，因此，当x),10(maxff时， ，即 （右面得证） ，1x0()ff )lnxx)1ln(现证左面，令 ， 1)lxg 22)1()( xxg则当 ，0)(,0(;)(,01( x时当时即 在 上为减函数，在 上为增函数，)gx故函数 在 上的最小值为 ，(x),)
4、()(ming 当 时， ，即10(g01lx ，综上可知，当 )ln(x xx)ln(,1有时【警示启迪】如果 是函数 在区间上的最大（小）值，则有()fa()f（或 ） ，那么要证不等式，只要求函数的最大fa值不超过 就可得证02、直接作差构造函数证明【例 2】已知函数 求证：在区间 上，函数 的图象在函.ln21)(xxf),1()(xf数 的图象的下方；3g分析：函数 的图象在函数 的图象的下方 问题，)(xf)(xg)(xgf不 等 式用心 爱心 专心 115 号编辑 3即 ，只需证明在区间 上，恒有 成立，32ln1xx),1(32ln1xx设 ， ，考虑到)()(fgF),(06
5、F要证不等式转化变为：当 时， ，这只要证明： 在区间x)(x)(xg是增函数即可。,1【绿色通道】设 ，即 ，)()(fgx xln213则 = 当 时， =F12 x)2)(F从而 在 上为增函数，x)(12)(x),061)(x当 时 ，即 ，故在区间 上，函数0fg)(gf,的图象在函数 的图象的下方。)(xf 32)(x【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数） ，并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设做一做，深刻体会其中的思想方法。)()(xgfxF3、换元后作差构造函数证明【例 3】证
6、明：对任意的正整数 n，不等式 都成立.321)1l(nn分析：本题是山东卷的第（II）问，从所证结构出发，只需令 ，则问x题转化为：当 时，恒有 成立，现构造函数0x32)1l(xx，求导即可达到证明。)1ln()(23xh【绿色通道】令 ，则x在 上恒正，所以函数1)(323)( 2xh ),0(x在 上单调递增， 时，恒有 即),0),( ，0)(hx，1ln(23xx 32lnxx对任意正整数 n，取 321)1l(),0( nn， 则 有【警示启迪】我们知道，当 在 上单调递增，则 时，有Fx,abxa()Fx用心 爱心 专心 115 号编辑 4如果 ，要证明当 时， ，那么，只要令
7、()Fa()faxa()fx ，就可以利用 的单调增性来推导也就是说，在xx()F可导的前提下，只要证明 即可() x4、从条件特征入手构造函数证明【例 4】若函数 y= 在 R 上可导且满足不等式 x 恒成立，且常数 a，b)(xf )(f)(xf满足 ab，求证：a ba)(f【绿色通道】由已知 x + 0 构造函数 ，)(f )(xfF则 x + 0， 从而 在 R 上为增函数。)(F )(x 即 a bba)(bff【警示启迪】由条件移项后 ，容易想到是一个积的导数，从而可以构xf造函数 ，求导即可完成证明。若题目中的条件改为)(xF，则移项后 ，要想到是一个商的导数的分)(ff )(
8、xff子，平时解题多注意总结。【思维挑战】1、 设 axxfaln2l1)(,0求证：当 时，恒有 ，12、已知定义在正实数集上的函数 其中 a0，且,ln3)(,)(2bxagxf ， 求证：abln352gx3、已知函数 ，求证：对任意的正数 、 ，xf1)()恒有 .lab4、 （2007 年，陕西卷） 是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足)(xf0，对任意正数 a、b，若 a b，则必有 )(xff（ ）（A）af (b)bf ( a) （B）bf (a)af (b)（C）af (a)f (b) （D ）bf (b) f (a)【答案咨询】用心 爱心 专心 115 号编辑 51、
9、提示： ，当 ， 时，不难证明xaxf2ln1)( 10a1ln2x ，即 在 内单调递增，故当 时，0)(f),，当 时，恒有)(ff lln2ax2、提示：设 则baxfxgF32)(axF23)(= ， 当 时，xa)3()0(x0aax，0)(故 在 上为减函数，在 上为增函数，于是函数)(F,0,在 上的最小值是 ，故当)( 0)()(gfF时，有 ，即x0xgf xf3、提示：函数 的定义域为 ，)(f ),1( 22)1()(1( x当 时， ，即 在 上为减函数01x0xfxf)0,当 时， ，即 在 上为增函数)()(因此在 取得极小值 ，而且是最小值,xf时f于是 ，即xxf 1)ln(0)(从 而 x1)ln(令 于是abxba1,1则 ab因此 ln4、提示： ， ，故 在xfF)(0)(2 xff xfF)(（0，+）上是减函数，由 有 af (b)bf (a) 故选baff(（A）
