1、1一、选择题1.(2010 年广东卷.文)函数 xexf)3()的单调递增区间是 ( )A. 2,( B.(0,3) C.(1,4) D. ),2( 答案 D解析 ()3()()xxxfxeee,令 ()0f,解得 2x,故选 D2.（2010 全国卷理） 已知直线 y=x+1 与曲线 ylna相切，则 的值为( ) A.1 B. 2 C.-1 D.-2答案 B解:设切点 0(,)Pxy，则 00ln,()xayx,又 0 1|xya01,12a.故答案 选 B 3.（2010 安徽卷理）已知函数 ()fx在 R 上满足 2()8fxfx，则曲线()yfx在点 ,)f处的切线方程是 ( )A.
2、 21 B. yx C. 32yx D. 23yx 答案 A解析 由 2()8fxf得几何 2()()8()ffx，即 224f x， 2()fx /x，切线方程 1y，即10xy选 A4.（2010 江西卷文）若存在过点 (1,0)的直线与曲线 3yx和 2594ax都相切，则 a等于( ) A 1或 25-64 B 或 24 C 74或 -6 D 7或答案 A解析 设过 (,0)的直线与 3yx相切于点 30(,)x，所以切线方程为320yxx2即 230yx，又 (1,0)在切线上，则 0x或 032，当 时，由 y与 2594ax相切可得 564a，当 02x时，由 7与 21yx相切
3、可得 1，所以选 A.5.（2010 江西卷理）设函数 ()fxg，曲线 ()yg在点 ,()处的切线方程为 21yx，则曲线 ()yfx在点 1,处切线的斜率为 ( )A 4 B 4 C 2 D 12答案 A解析 由已知 (1)g，而 ()fxgx，所以 ()124fg故选 A力。6.（2009 全国卷理）曲线 21y在点 ,处的切线方程为 ( ) A. 20xy B. 0x C. 450xy D. 450xy答案 B解 11122|()()xxx ,故切线方程为 y,即 0y 故选 B.7.（2009 湖南卷文）若函数 ()fx的导函数在区间 ,ab上是增函数，则函数 ()yfx在区间 ,
4、ab上的图象可能是 ( )A B C D解析 因为函数 ()yfx的导函数 ()yfx在区间 ,ab上是增函数，即在区间 ,ab上各点处的斜率 k是递增的，由图易知选 A. 注意 C 中 k为常数噢 .ababa o xo xyba o xyo xyby38.（2009 辽宁卷理）若 1x满足 2x+ 2x=5, 满足 2x+2 2log(x1)=5, 1x+ 2 ( )A. 52 B.3 C. 7 D.4答案 C解析 由题意 125x 22log()x 所以 115x, 21log(5)xx即 2 121l()令 2x172t,代入上式得 72t 2log 2(2t2) 22log 2(t1
5、)52t2log 2(t1)与式比较得 tx 2于是 2x172x 29.（2009 天津卷理）设函数 1()ln(0),3f则 ()yfx( )A 在区间 (,)e内均有零点。 B 在区间 1内均无零点。C 在区间 (,)e内有零点，在区间 (1,)e内无零点。D 在区间 1内无零点，在区间 内有零点。 【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。解析 由题得 xxf31)(，令 0)(f得 3x；令 0)(xf得 3；0)(xf得 3，故知函数 在区间 ,0(上为减函数，在区间 ,为增函数，在点 处有极小值 ln1；又3)(,03,1)( efeff，故选择 D。二、填空题10.（2009 辽
6、宁卷文）若函数2()1xaf在 处取极值，则 a 解析 f(x)2()x4f(1) 34a0 a3答案 311.若曲线 2fxInx存在垂直于 y轴的切线，则实数 a的取值范围是 .解析 解析 由题意该函数的定义域 0x，由 12fx。因为存在垂直于 y轴的切线，故此时斜率为 0，问题转化为 x范围内导函数 存在零点。解法 1 （图像法）再将之转化为 gxa与 hx存在交点。当 0a不符合题意，当a时，如图 1，数形结合可得显然没有交点，当 0如图 2，此时正好有一个交点，故有 应填 ,0或是 |。解法 2 （分离变量法）上述也可等价于方程 120ax在 ,内有解，显然可得1,0ax12.（2
7、009 江苏卷）函数 32()156fxx的单调减区间为 . 解析 考查利用导数判断函数的单调性。 2()3)(f，由 1)0x得单调减区间为 ,。亦可填写闭区间或半开半闭区间。13.（2009 江苏卷）在平面直角坐标系 xoy中，点 P 在曲线 3:10Cyx上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为 . 解析 考查导数的几何意义和计算能力。 2310yxx，又点 P 在第二象限内， 2x点 P 的坐标为（-2，15）5答案 : 1a 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别
8、画出函数的图象解答.14.（2009 福建卷理）若曲线 3()lnfxax存在垂直于 y轴的切线，则实数 a取值范围是_.答案 (,0)解析 由题意可知 21()fxax，又因为存在垂直于 y轴的切线，所以 2310)(,0)ax。15.(2009 陕西卷理)设曲线 1*(nyN在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 nx,令lgnx，则 129a 的值为 . 答案 -2 1*1129129()()| 1()198.lg.l.lg2310nn xnyyx ynxxa A解 析 ： 点 （ ， ） 在 函 数 的 图 像 上 ， （ ， ） 为 切 点 ，的 导 函 数 为 切 线 是
9、 ：令 =0得 切 点 的 横 坐 标 ：16.（2009 四川卷文）设 V是已知平面 M上所有向量的集合，对于映射 :,fVa，记 的象为()fa。若映射 :f满足：对所有 abV、 及任意实数 ,都有 ()()bffb，则 称为平面 上的线性变换。现有下列命题：设 f是平面 上的线性变换， 、 ，则 ()()ffa 若 e是平面 M上的单位向量，对 ,aVe设 ，则 是平面 M上的线性变换； 对 ,()aVf设 ，则 f是平面 M上的线性变换； 设 f是平面 上的线性变换， ，则对任意实数 k均有 ()(fakf。其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）答案 解析 ：令 1，则 )()(b
10、fabf故是真命题同理，：令 0,k，则 kf故是真命题6： af)(，则有 bf)( )()(bfafab 是线性变换，故是真命题：由 ef)(，则有 ef)( effeba )()( e是单位向量， 0，故是假命题【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。17.（2009 宁夏海南卷文）曲线 21xye在点（0,1）处的切线方程为 。答案 31yx解析 xe，斜率 k 0e3，所以，y13x，即 31yx三、解答题18.（2009 全国卷理）本小题满分 12 分。 （注意：在试题卷上作答无效）设函数 32fxb
11、cx在两个极值点 12x、 ，且 120,1,.x，（I）求 bc、 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点 bc的区域；(II)证明： 2110fx分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。大部分考生有思路并能够得分。 236fxbxc由题意知方程0有两个根 12、1,x且 ， 2,.则有 10f，f， f，故有右图中阴影部分即是满足这些条件的点 ,bc的区域。7(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标 322fxbxc中的 b， （如果消 c会较繁琐）再利用 2x的范围，
12、并借助（I）中的约束条件得 ,0c进而求解，有较强的技巧性。解析 由题意有 236fxxc 又 322fxbc 消去 可得 32221fx又 2,x，且 ,0c 211()fx 19.（2009 浙江文） （本题满分 15 分）已知函数 32()()axxb (,)aR（I）若函数 ()f的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 ，求 ,的值；（II）若函数 x在区间 (1,)上不单调，求 a的取值范围解析 （）由题意得 )2()1(23xxf又 )2()0afb ，解得 0b， 3或 1（）函数 xf在区间 )1,(不单调，等价于导函数 )(在 ,既能取到大于 0 的实数，又能取到小于 0 的实
13、数即函数 f在 上存在零点，根据零点存在定理，有0)1(， 即： 0)2()1(23)()1(23 aa整理得： 0)5a，解得 520.（2009 北京文） （本小题共 14 分）设函数 3()()fxb.（）若曲线 )yf在点 2,fx处与直线 8y相切，求 ,ab的值；（）求函数 (x的单调区间与极值点.解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力（） 23fxa,曲线 ()y在点 ()fx处与直线 8y相切，8 203404,2.86fab（） 2fx,当 0a时， 0，函数 ()fx在 ,上单调递增，此时函数 ()fx没有极值点.
14、当 时，由 xa，当 ,xa时， 0f，函数 ()fx单调递增，当 时， x，函数 单调递减，当 ,x时， f，函数 ()fx单调递增，此时 a是 ()x的极大值点， a是 ()f的极小值点.21.（2009 北京理） （本小题共 13 分）设函数 ()(0)kxfe（）求曲线 yf在点 ,()f处的切线方程；（）求函数 ()x的单调区间；（）若函数 f在区间 (1,)内单调递增，求 k的取值范围.解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力（） ,0,0kxfxeff,曲线 ()y在点 ()处的切线方程为 yx.（）由 1kxfxe，得
15、1k，若 0k，则当 ,时， 0f，函数 fx单调递减，当 1,x时， fx，函数 f单调递增，若 0k，则当 1,k时， 0f，函数 fx单调递增，9当 1,xk时， 0fx，函数 fx单调递减，（）由（）知，若 k，则当且仅当 1k，即 1k时，函数 fx1,内单调递增，若 0，则当且仅当 k，即 k时，函数 fx,内单调递增，综上可知，函数 1内单调递增时， k的取值范围是 1,0,.22.(2009 山东卷文)（本小题满分 12 分）已知函数 32(fxabx,其中 0a （1）当 b,满足什么条件时, )(f取得极值?（2）已知 0,且 )(xf在区间 ,1上单调递增,试用 表示出
16、b的取值范围.解: (1)由已知得 2abx,令 0)(f,得 210ax,)(xf要取得极值,方程 0x必须有解,所以 240b,即 2, 此时方程 2xb的根为1abax,224aba,所以 12()(fx 当 0a时,x (-,x 1) x 1 (x1,x2) x2 (x2,+ )f(x) 0 0 f (x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数所以 )(x在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.当 0a时, x (-,x 2) x 2 (x2,x1) x1 (x1,+ )f(x) 0 0 10f (x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数所以 )(x在 x 1, x2 处分
17、别取得极大值和极小值.综上,当 ba满足 时, )(xf取得极值. (2)要使 )(xf在区间 0上单调递增,需使 2()10fxabx在 (,上恒成立.即 1,(2恒成立, 所以 ma)b设 ()axg,2(1()2xag,令 0得 1或 x(舍去), 当 a时, ,当 (0,)a时 (0gx, 1()2ax单调增函数;当 1(,x时 ()gx, 1()2单调减函数,所以当 a时, ()取得最大,最大值为 ()ga.所以 b当 01a时, ,此时 ()0gx在区间 (,1恒成立,所以 1()2axg在区间 (0,上单调递增,当 x时 ()最大,最大值为 2a,所以 b综上,当 1a时, ba; 当 01时, 【命题立意】:本题为三次函数 ,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.22.设函数 321()()4fxaxa，其中常数 a1()讨论 f(x)的单调性;()若当 x0 时，f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围。 解析 本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过
