1、2017 年湖南省长沙市四县联考高考模拟数学试卷（理科）第卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知全集 U 为实数集，集合 A=x|x22x30 ，B=x|y =ln（1x），则 A（C UB）为（ ）A x|1x3 Bx |x3 C x|x1 Dx|1x12i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi=1+i，则复数 z 的实部与虚部的和是（ ）A0 B1 C2 D33已知 m，n 为不同的直线， 为不同的平面，给出下列命题： ； ； ； mn mn其中的正确命题序号是（ ）A B C D
2、4如图，在一个棱长为 2 的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（ ）A1 B C D142425已知点 A（3，0），过抛物线 y2=4x 上一点 P 的直线与直线 x=1 垂直相交于点 B，若|PB|=|PA|，则点 P 的横坐标为（ ）A1 B C2 D56某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（ ）A4 B C D208347函数 f (x)= 的图象可能是（ ）sinl2)A B C D8执行如图所示
3、的程序框图，如果输入的 N 是 10，那么输出的 S 是（ ）A2 B 1 0C 1 D 1239中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则例如周髀算经和易经里对二十四节气的晷（gu）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的下表为周髀算经对二十四节气晷影长的记录，其中 寸表示415.6115 寸 分（1 寸=10 分）46节气 冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）惊蛰（寒露）春分（秋分）清明（白露）谷雨（处暑）立夏（立秋）小满（大暑）芒种（小暑） 夏至晷影长（寸） 1355264.105.269.3285.4675.5 5.6
4、4.35.762.815.9616.0已知易经中记录的冬至晷影长为 130.0 寸，夏至晷影长为 14.8 寸，那么易经中所记录的惊蛰的晷影长应为（ ）A72.4 寸 B81.4 寸 C82.0 寸 D91.6 寸10设 F1、F 2 是双曲线 （a0，b0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 P，21xy使 （O 为坐标原点），且 ，则双曲线的离心率为（ ）()0P 122|3|PFA B C D3311已知集合 M=(x，y )|y= f (x)，若对于任意实数对(x 1，y 1)M，存在(x 2，y 2)M，使x1x2+y1y2=0 成立，则称集合 M 是“垂直对点集” ，给出下列四个
5、集合：M=(x，y)| ；M=(x，y)|y=sinx+1 ；=( x，y)|y=2 x2；M =(x，y)|y=log 2x2其中是“垂直对点集 ”的序号是（ ）A B C D12定义在(1，+)上的函数 f (x)满足下列两个条件：(1)对任意的 x(1，+) 恒有 f(2x)=2 f (x)成立；(2)当 x(1，2时，f (x)=2x；记函数 g(x)= f (x)k(x1)，若函数 g(x)恰有两个零点，则实数 k 的取值范围是（ ）A1，2） B C D4,3,)4(,2)3第卷（非选择题 共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分 （13）（21）题为必考题，每个试题考生都必须作
6、答 （22） 、 （23）题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在题中横线上13若两个非零向量 、 满足 ，则向量 与 的夹角是 ab|2|abab14已知 的展开式中含 的项的系数为 30，则实数 a= 5()x32x15我们可以利用数列a n的递推公式 an= （nN +），求出这个数列各项的值，使,2为 奇 数 时为 偶 数 时得这个数列中的每一项都是奇数，则 a64+a65= 16实数 x、 y 满足 ，若 z=ax+y 的最大值为 3a+9，最小值为 3a3，则 a 的取值范围是 306x 三、解答题 （本大题共 6 小题
7、，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17（本题满分 12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 2cosbBaA（）求角 A 的大小；（）若 a= ，求ABC 面积的最大值518（本题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD= 60，Q 是 AD的中点（）若 PA=PD，求证：平面 PQB平面 PAD；（）若平面 APD平面 ABCD，且 PA=PD=AD=2，点 M 在线段 PC 上且满足 PC=3PM，求二面角 MBQC 的大小19（本题满分 12 分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇2016
8、 年 618 期间，某购物平台的销售业绩高达 516 亿人民币与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为 0.6，对服务的好评率为 0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次（）先完成关于商品和服务评价的 22 列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量 X：求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列；求 X 的数学期望和方差附临界值表：P(K2k)
9、 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.897 10.828K2 的观测值 （其中 n=a+b+c+d）22()(nadbc关于商品和服务评价的 22 列联表：对服务好评 对服务不满意 合计对商品好评 a=80 b= 对商品不满意 c= d=10 合计 n=20020（本题满分 12 分）已知椭圆的长轴长为 6，离心率为 ，F 2 为椭圆的右焦点13（）求椭圆的标准方程；（）点 M 在圆 x2+y2=8 上，且 M 在第一象限，过 M 作圆 x2+y2=8 的切线交椭圆于 P，Q 两点，判
10、断PF 2Q 的周长是否为定值并说明理由21（本题满分 12 分）已知函数 f (x)= 的图象为曲线 C，函数(x )= ax+b 的图象为直线 lln12（）当 a=2，b= 3 时，求 F(x)= f (x)g(x)的最大值；（）设直线 l 与曲线 C 的交点的横坐标分别为 x1，x 2，且 x1x2，求证：(x 1+x2)g(x1+x2)2请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22（本题满分 10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为( x+6)2+y2=25（）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极
11、坐标系，求 C 的极坐标方程；（）直线 l 的参数方程是 （t 为参数），l 与 C 交与 A，B 两点，|AB|= ，求 l 的cosiny 10斜率23（本题满分 10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】设函数 f (x)=|xa|2|x1|（）当 a=3 时，解不等式 f (x)1；（）若 f (x)|2x5|0 对任意的 x1，2恒成立，求实数 a 的取值范围2017 年湖南省长沙市四县联考高考数学模拟试卷（理科）（3 月份）参考答案与试题解析一、选择题：ACAACBACCA7【解】：若使函数 的解析式有意义则 ，即即函数 的定义域为（ 2，1）（1，+）可排除 B，D 答案当 x（2
12、，1）时，sinx 0，ln （x+2）0 则 0 可排除 C 答案故选A9【解】：设晷影长为等差数列a n，公差为 d，a 1=130.0，a 13=14.8，则 130.0+12d=14.8，解得d=9.6a 6=130.09.65=82.0易经中所记录的惊蛰的晷影长是 82.0 寸故选：C 10【解】： = ，得 =0，所以 =cPF 1F2 中，边 F1F2 上的中线等于 |F1F2|的一半，可得 设 ，（0）得（3 ） 2+（2 ） 2=4c2，解得 = c c， c，由双曲线的定义，得 2a=|= c双曲线的离心率为 e= = ，故选 A11【解】：由题意，若集合 M=（x，y）|
13、y=f（x）满足：对于任意 A（x 1，y 1）M，存在B（x 2，y 2）M，使得 x1x2+y1y2=0 成立，因此 所以，若 M 是“垂直对点集”，那么在 M 图象上任取一点 A，过原点与直线 OA 垂直的直线 OB 总与函数图象相交于点 B对于：M=（x，y）|y= ，其图象是过一、二象限，且关于 y 轴对称，所以对于图象上的点 A，在图象上存在点 B，使得 OBOA，所以符合题意；对于：M=（x，y）|y=sinx+1，画出函数图象，在图象上任取一点 A，连 OA，过原点作直线 OA 的垂线 OB，因为 y=sinx+1 的图象沿 x 轴向左向右无限延展，且与 x 轴相切，因此直线
14、OB 总会与 y=sinx+1 的图象相交所以 M=（x，y）|y=sinx+1是“垂直对点集”，故符合题意；对于：M=（x，y）|y=2 x2，其图象过点（0，1），且向右向上无限延展，向左向下无限延展，所以，据图可知，在图象上任取一点 A，连 OA，过原点作 OA 的垂线 OB 必与 y=ex2 的图象相交，即一定存在点 B，使得 OBOA 成立，故 M=（x，y）|y=2 x2是“垂直对点集”故符合题意；对于：M=x，y）|y=log 2x，对于函数 y=log2x，过原点做出其图象的切线 OT（切点 T 在第一象限），则过切点 T 做 OT 的垂线，则垂线必不过原点，所以对切点 T，不
15、存在点 M，使得 OMOT，所以 M=（x，y）|y=log 2x不是“垂直对点集” ；故不符合题意故选：D12【解答】解：因为对任意的 x（1，+）恒有 f（2x）=2f（x）成立，且当 x（1，2时，f（x） =2x 所以 f（x）= x+2b，x （b，2b由题意得f（x）=k（x1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，如图所示红色的直线与线段 AB 相交即可（可以与 B 点重合但不能与 A 点重合）所以可得 k 的范围为 ，故选 C二、填空题13 120 14 6 15 66 16 1，1 【解】：由题得：这个数列各项的值分别为 1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3a 64
16、+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66【解】：由 z=ax+y 得 y=ax+z，直线 y=ax+z 是斜率为 a，y 轴上的截距为 z 的直线，作出不等式组 对应的平面区域如图：则 A（3，9 ）， B（3 ，3），C （3 ， 3），z=ax +y 的最大值为 3a+9，最小值为 3a3，可知目标函数经过 A 取得最大值，经过 C 取得最小值，若 a=0，则 y=z，此时 z=ax+y 经过 A 取得最大值，经过 C 取得最小值，满足条件，若 a0，则目标函数斜率 k=a0，要使目标函数在 A 处取得最大值，在 C 处取得最小值，则目标函数的斜率满足a
17、k BC=1，即 a1，可得 a（0，1若 a0，则目标函数斜率 k=a0，要使目标函数在 A 处取得最大值，在 C 处取得最小值，可得ak BA=11a0，综上 a1，1 三、解答题17【解】：（） ，所以（2c b）cosA=acosB由正弦定理，得（2sinCsinB）cosA=sinAcosB整理得 2sinCcosAsinBcosA=sinAcosB2sinCcosA=sin（A+B） =sinC在ABC 中，sinC0 ， （）由余弦定理 ，b 2+c220=bc2bc20bc 20，当且仅当 b=c 时取“=”三角形的面积 三角形面积的最大值为 18【解答】证明：（1）在四棱锥
18、PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD=60， Q 是 AD 的中点PA=PD，BD=AD=AB，PQAD，BQ AD，PQ BQ=Q，AD 平面 PBQ，AD平面 PAD，平面 PQB平面 PAD（2）平面 APD平面 ABCD，且 PA=PD=AD=2，点 M 在线段 PC 上且满足 PC=3PM，以 Q 为原点， QA 为 x 轴，QB 为 y 轴，QP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，Q（ 0，0，0），B（0， ，0），P （0，0， ），C（ 2， ，0），M（ ， ， ），=（0 ， ，0）， =（ ， ， ），设平面 BQM 的法向量 =（x ，y，z ），则 ，取 z
19、=1，得 =（），平面 BQC 的法向量 =（0，0，1），设二面角 MBQC 的平面角为 ，则 cos= = ，=60，二面角 MBQC 的大小为 6019【解】：（1）由题意可得关于商品和服务评价的 22 列联表如下：对服务好评 对服务不满意 合计对商品好评 80 40 120对商品不满意 70 10 80合计 150 50 200K2= 11.11110.828 4 分故能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为商品好评与服务好评有关5 分（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为 0.4，且 X 的取值可以是 0，1，2，3其中 P（X=0）=0.6 3= ； P（X=1）=
20、C 310.40.62= ；7 分P（X=2）=C 320.420.6= ； P（X=3）=C 330.43= 9 分X 的分布列为：X 0 1 2 3P10 分由于 XB（3，0.4），则 E（X）=3 0.4=1.2， D（X）=30.40.6=0.7212 分20【解】：（I ）根据已知，设椭圆的标准方程为 ，2a=6，a=3， ，c=1；b 2=a2c2=8，（II）PF 2Q 的周长是定值，设 P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2），则 ，0x 13， ，（7 分）在圆中，M 是切点， ，（11 分） ，同理|QF 2|+|QM|=3，（13 分）|F 2P|+|F2Q|+|PQ
21、|=3+3=6，因此PF 2Q 的周长是定值 6 （14 分）21【分析】（1）由 a=2，b=3，知，x （0，1）， F（x）0，F （x）单调递增，x（1，+），F（x） 0，F （x）单调递减，由此能求出 F（x）=f（x）g（x）的最大值（2）设 x1x 2，要证（x 1+x2）g （x 1+x2）2，只需证，由此入手，能够证明（x 1+x2）g（x 1+x2）2【解】：（1） ，x（0，1），F（x）0 ，F （x）单调递增，x （1，+），F（x）0，F （x）单调递减，F（x） max=F（1）=2（2）不妨设 x1x 2，要证（x 1+x2）g （x 1+x2）2，只需证，
22、， ，即 ， ，令 ，x （x 1，+）只需证，令 ，则，G （x）在 x（x 1，+）单调递增G（x）G （ x1）=0 ，H （x）0，H（x ）在 x（x 1，+）单调递增H（x）H （x 1）=0 ，H（ x）=（x+x 1）ln 2（xx 1）0，（x 1+x2）g（x 1+x2）222【解】：（）圆 C 的方程为（x+6） 2+y2=25，x 2+y2+12x+11=0， 2=x2+y2，x=cos，y=sin，C 的极坐标方程为 2+12cos+11=0（）直线 l 的参数方程是 （t 为参数），t= ，代入 y=tsin，得：直线 l 的一般方程 y=tanx，l 与 C 交与 A，B 两点， |AB|= ，圆 C 的圆心 C（6，0），半径 r=5，圆心 C（6 ，0 ）到直线距离 d= = ，解得 tan2= ，tan= = l 的斜率 k= 23【解】：（）f （x）1，即|x3| |2x2|1x 时，3x+2x2 1，x0，0x 1；1x 3 时，3x2x+21，x ，1x ；x3 时，x 32x+21，x 21x ，无解，所以 f（ x）1 解集为0， （）当 x1，2时，f（x）|2x5|0 可化为|xa|3，a 3 xa +3， （7 分） ，（8 分）1a4（10 分）
