1、难点 26 垂直与平行垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题.难点磁场() 已知斜三棱柱 ABCA1B1C1 中，A 1C1=B1C1=2， D、D 1 分别是 AB、A 1B1 的中点，平面 A1ABB1平面 A1B1C1，异面直线 AB1 和 C1B 互相垂直.(1)求证：AB 1C 1D1；(2)求证：AB 1面 A1CD；(3)若 AB1=3，求直线 AC 与平面 A1CD 所成的角.案例探究例 1两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB，MAC，NFB，且AM
2、=FN，求证：MN平面 BCE.命题意图：本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与性质，以及一些平面几何的知识，属级题目.知识依托：解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线 (内 ) 线 (外) 线 (外) 面.或转化为证两个平面平行.错解分析：证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确的找出 MN 所在平面是一个关键.技巧与方法：证法一利用线面平行的判定来证明.证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行.证法一：作 MPBC，NQBE，P、Q 为垂足，则 MPAB，NQAB.MPNQ ，又 AM=NF，AC=BF，MC=NB， MCP=NBQ=45R
3、tMCPRtNBQMP=NQ,故四边形 MPQN 为平行四边形MNPQPQ 平面 BCE，MN 在平面 BCE 外，MN平面 BCE.证法二：如图过 M 作 MHAB 于 H，则 MHBC， ABHC连结 NH，由 BF=AC，FN= AM，得 ABHFNMN平面 BCE.例 2在斜三棱柱 A1B1C1ABC 中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面 BB1C1C底面 ABC.(1)若 D 是 BC 的中点，求证：AD CC 1；(2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M，若AM=MA1，求证：截面 MBC1侧面 BB1C1C；(3)AM=MA1 是截面 MBC1平面 BB
4、1C1C 的充要条件吗？请你叙述判断理由.命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，属级题目.知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质.错解分析：(3)的结论在证必要性时，辅助线要重新作出.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线.(1)证明：AB=AC ，D 是 BC 的中点，ADBC底面 ABC平面 BB1C1C， AD 侧面 BB1C1CADCC 1.(2)证明：延长 B1A1 与 BM 交于 N，连结 C1NAM=MA 1， NA1=A1B1A 1B1=A1C1，A 1C1=A1N=A1B1C
5、1NC 1B1底面 NB1C1侧面 BB1C1C，C 1N侧面 BB1C1C截面 C1NB侧面 BB1C1C截面 MBC1侧面 BB1C1C.(3)解：结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性.过 M 作 MEBC 1 于 E，截面 MBC1侧面 BB1C1CME侧面 BB1C1C，又AD侧面 BB1C1C.MEAD ，M、E、D、A 共面AM侧面 BB1C1C，AMDECC 1AM，DECC 1D 是 BC 的中点，E 是 BC1 的中点AM=DE = AA1， AM =MA1.21锦囊妙计垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：1.平行转化2.垂直转化每一垂直或平行
6、的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的.例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.歼灭难点训练一、选择题1.() 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，底面是边长为 2 的正方形，高为 4，则点A1 到截面 AB1D1 的距离是( )A. B. C. D.38833432.() 在直二面角 l 中，直线 a ,直线 b ,a、b 与 l 斜交，则( )A.a 不和 b 垂直，但可能 a b B.a 可能和 b 垂直，也可能 abC.a 不和 b 垂直，a 也不和 b 平行 D.a 不和 b 平行，但
7、可能 ab二、填空题3.()设 X、Y、Z 是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“XZ 且YZ XY ”为真命题的是 _(填序号).X、Y 、Z 是直线 X、 Y 是直线，Z 是平面 Z 是直线，X、Y 是平面 X 、 Y、 Z 是平面4.() 设 a,b 是异面直线，下列命题正确的是_.过不在 a、b 上的一点 P 一定可以作一条直线和 a、b 都相交过不在 a、b 上的一点 P 一定可以作一个平面和 a、b 都垂直过 a 一定可以作一个平面与 b 垂直过 a 一定可以作一个平面与 b 平行三、解答题5.() 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PA 垂直于底
8、面，E、F 分别是 AB、PC 的中点.(1)求证：CD PD;(2)求证：EF平面 PAD;(3)当平面 PCD 与平面 ABCD 成多大角时，直线 EF平面 PCD？6.() 如图，在正三棱锥 ABCD 中，BAC=30，AB=a,平行于 AD、BC 的截面 EFGH 分别交 AB、BD、 DC、CA 于点 E、F、G、H.(1)判定四边形 EFGH 的形状，并说明理由.(2)设 P 是棱 AD 上的点，当 AP 为何值时，平面 PBC平面 EFGH，请给出证明.7.() 如图，正三棱柱 ABCA1B1C1 的各棱长都相等，D、E 分别是 CC1 和 AB1的中点，点 F 在 BC 上且满
9、足 BFFC =13.(1)若 M 为 AB 中点，求证：BB 1平面 EFM；(2)求证：EFBC；(3)求二面角 A1B1DC1 的大小.8.()如图，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形且C 1CB=C 1CD=BCD=60,(1)证明：C 1CBD；(2)假定 CD=2，CC 1= ，记面 C1BD 为 ,面 CBD 为 ,求二面角 BD 的平面23角的余弦值；(3)当 的值为多少时，可使 A1C面 C1BD？1CD参考答案难点磁场1.(1)证明：A 1C1=B1C1，D 1 是 A1B1 的中点，C 1D1A 1B1 于 D1，又平面 A1ABB1平面 A1B1C1
10、，C 1D1平面 A1B1BA，而 AB1 平面 A1ABB1，AB 1C 1D1.(2)证明：连结 D1D，D 是 AB 中点，DD 1 CC1， C1D1CD ，由(1) 得CDAB 1，又C 1D1平面 A1ABB1，C 1BAB 1，由三垂线定理得 BD1AB 1，又A 1DD 1B，AB 1A 1D 而 CDA 1D=D，AB 1平面 A1CD.(3)解：由(2)AB 1平面 A1CD 于 O，连结 CO1 得ACO 为直线 AC 与平面 A1CD 所成的角，AB 1=3，AC=A 1C1=2，AO =1，sinOCA= ，21ACOOCA= .6歼灭难点训练一、1.解析：如图，设
11、A1C1 B1D1=O1，B 1D1A 1O1，B 1D1AA 1，B 1D1平面AA1O1，故平面 AA1O1AB 1D1，交线为 AO1，在面 AA1O1 内过 A1 作 A1HAO 1 于 H，则易知 A1H 长即是点 A1 到平面 AB1D1 的距离，在 RtA 1O1A 中，A 1O1= ，AO 1=3 ，由2A1O1A1A=hAO1,可得 A1H= .34答案：C2.解析：如图，在 l 上任取一点 P，过 P 分别在 、 内作 aa,bb,在 a上任取一点 A，过 A 作 ACl，垂足为 C，则 AC ,过 C 作 CBb交 b于 B，连 AB，由三垂线定理知 ABb，APB 为直
12、角三角形,故APB 为锐角.答案：C二、3.解析：是假命题，直线 X、Y、Z 位于正方体的三条共点棱时为反例，是真命题，是假命题，平面 X、 Y、 Z 位于正方体的三个共点侧面时为反例.答案：4.三、5.证明：(1)PA底面 ABCD，AD 是 PD 在平面 ABCD 内的射影，CD 平面 ABCD 且 CDAD，CD PD.(2)取 CD 中点 G，连 EG、FG ，E、F 分别是 AB、PC 的中点，EG AD，FGPD平面 EFG平面 PAD，故 EF平面 PAD(3）解：当平面 PCD 与平面 ABCD 成 45角时，直线 EF面 PCD证明：G 为 CD 中点，则 EGCD,由(1)
13、知 FGCD，故EGF 为平面 PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角.即EGF=45，从而得ADP=45，AD=AP由 Rt PAERtCBE,得 PE=CE又 F 是 PC 的中点，EF PC ，由 CDEG，CDFG ，得 CD平面 EFG，CDEF即 EFCD ，故 EF平面 PCD.6.(1)证明：同理 EFFG ，EFGH 是平行四边形ABCD 是正三棱锥，A 在底面上的射影 O 是BCD 的中心，DOBC，ADBC，HGEH ，四边形 EFGH 是矩形.(2)作 CPAD 于 P 点，连结 BP，ADBC ，AD面 BCPHGAD ， HG面 BCP，HG 面 EFGH.面
14、BCP面 EFGH，在 Rt APC 中，CAP=30 ，AC=a,AP= a.237.(1)证明：连结 EM、MF，M、E 分别是正三棱柱的棱 AB 和 AB1 的中点，BB 1ME，又 BB1 平面 EFM，BB 1平面 EFM.(2)证明：取 BC 的中点 N，连结 AN 由正三棱柱得：AN BC，又 BFFC=13，F 是 BN 的中点，故 MFAN ，MFBC，而 BCBB 1，BB 1ME.MEBC，由于 MFME=M，BC平面 EFM，又 EF 平面 EFM，BCEF.(3)解：取 B1C1 的中点 O，连结 A1O 知，A 1O面 BCC1B1，由点 O 作 B1D 的垂线OQ
15、，垂足为 Q，连结 A1Q，由三垂线定理，A 1QB 1D，故 A 1QD 为二面角 A1B1DC的平面角，易得A 1QO=arctan .58.(1)证明：连结 A1C1、AC，AC 和 BD 交于点 O，连结 C1O，四边形 ABCD 是菱形，ACBD ，BC= CD又BCC 1=DCC 1，C 1C 是公共边，C 1BCC 1DC，C 1B=C1DDO= OB，C 1OBD，但 ACBD，ACC 1O=OBD平面 AC1，又 C1C 平面 AC1，C 1CBD.(2)解：由(1)知 ACBD，C 1OBD ，C 1OC 是二面角 BD 的平面角.在C 1BC 中，BC=2 ，C 1C= ，BCC 1=60，C 1B2=22+( )222 cos602333= .43OCB=30,OB= ,BC=1,C1O= ,即 C1O=C1C.223作 C1HOC ，垂足为 H，则 H 是 OC 中点且 OH= ，cosC 1OC=233(3)解：由(1)知 BD平面 AC1，A 1O 平面 AC1，BDA 1C，当 =1 时，平行1D六面体的六个面是全等的菱形，同理可证 BC1A 1C，又 BD BC 1=B，A 1C平面C1BD.
