1、第 6 讲 函数、导数与不等式（下）题一： 证明：当 时，1x21lnx题二： 设函数 )(xf=x+ax2+blnx，曲线 y= )(xf过 P（1,0） ，且在 P 点处的切斜线率为 2（I）求 a，b 的值；（II ）证明： )(f2x-2题三： 对正整数 n，设曲线 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 ，则1nyna数列 的前 n 项和公式是 1na题四： 设数列 的通项是 ，请用导数的方法求它的前 n 项和n213nnanS题五： 已知函数 f(x)= x +8x,g(x)=6lnx+m 是否存在实数 m，使得 y=f(x)的图象与2y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点
2、？若存在，求出 m 的取值范围；，若不存在，说明理由。题六： 设函数 32()fxabx， 2()3gx，其中 xR，a、b 为常数，已知曲线 y与 ()g在点（2,0）处有相同的切线 l。(I) 求 a、b 的值，并写出切线 l的方程；(II)若方程 ()fxmx有三个互不相同的实根 0、 1x、 2，其中 12x，且对任意的 12,， ()1)g恒成立，求实数 m 的取值范围。第 6 讲 函数、导数与不等式（下）题一： 证明：设 2221114lnxxfxfx所以由 在 上有 得 在 上递增。又f1,0ff,，即有 ，则ln01ffxf21ln0x21lnx题二： 1,3.ab详解:（I）
3、 ()2.fxx 由已知条件得(1)0,0,2.2.fab即，解得1,3.ab（II ） ()(0,)fx的 定 义 域 为 ，由（I）知 2()3ln.fxx设 22l,gfx则3(1)3()1x0,0;,()0.()xgxg当 时 当 时所 以 在 单 调 增 加 在 单 调 减 少而 1,(),()2.f故 当 时 即例 5：曲线 ，点xye1(0,)P过 作 x 轴垂线交曲线 与 ，曲线在 处的切线交 x 轴与 ，过 作 x 轴垂线交曲线1Px1Q12P于 ，曲线在 处的切线交 x 轴于 ，如此形成的点列ye2Q23P求 。123,.,.n1|limnk题三： 1n详解: 1nnyxy
4、xx又切点为 切线为1222kf ,2n122nyx令 ，则 ，则数列 的通项公式0xnna1na21na故前 n 项和公式221nnS题四： 23n详解:先将 3 换成 x，则 166nnnaxx从而有 23236,n nnS ，121nxx再讲 x=3 代入得 1 2236 13nn nnSx题五： m 的取值范围为（7，156ln 3）.详解:（I）f( x)=x 2+8x=(x4) 2+16,当 t+14 时，f(x) 在 t，t+1 上单调递减， h(t)=f(x)=t 2+8t h(t)综上，h(t)= ,816,722t（II ）函数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且
5、只有三个不同的交点，即函数xg(x)f( x)的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 xx8x+16ln x+m, x8+() ),0(3)1(26826xx当 x(0,1)时， ， x是增函数；当 x(1,3)时， ， x是减函数；() ()当 x(3,+ ) 时， ， x是增函数；当 x=1，或 x=3 时， ； x极大值 1m7, x 极小值 3m+6ln 315.当 x 充分接近时， x，当 x 充分大时， x0.要使 x的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 既 74所以存在实数 m，使得函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值
6、范围为（7，156ln 3）.题六： 2,5ab；切线 l的方程： 20xy； 的取值范围是 1(,0)4。详解: (I) /2/()34,()3fxabg，由于曲线曲线 yfx与 ()g在点（2,0）处有相同的切线，故有 /,()1ffg，由此解得：2,5ab；切线 l的方程： 20xy(II)由(I)得 3()fxg，依题意得：方程 2(3)0xm有三个互不相等的根 120,，故 12,是方程 2xm的两个相异实根，所以94()4mA；又对任意的 12,x， ()(1)fxgx恒成立，特别地，取 1x时，1()fg成立，即 00m，由韦达定理知：21230,xx，故 12x，对任意的 12,x，有，则： 12()()0fxgmxx；又 11()0fxgmx所以函数在 12,上的最大值为 0，于是当 时对任意的 2,，()()fxx恒成立；综上： m的取值范围是 (,)4。
