1、5-1 雷诺实验 一、层流和湍流（流体在管道中运动时的两种流 动状态）,层流 流体质点无横向运动，互不混杂，层 次分明地沿管轴流动。,湍流 流体质点具有无规则的横向脉动。引起流层间流体质点的紊乱，相互混杂 的流动。,第五章 湍流与管流,二、雷诺数（流态的判定）临界雷诺数： Rec = 13800 层湍 （上） （金属圆管） Rec = 2320 湍层 （下）,对于非圆截面管道：, 水力直径,式中：, 雷诺数 (无量纲）,式中：S 湿周，即过流断面的周界长度。,用下临界雷诺数判别流态（对于光滑金属管）： 当 Re 2320 湍流,雷诺数的物理意义：流体运动时所受到的惯性力与粘性力之比。,雷诺判据
2、,5-2 湍流的基本现象与定义一、现象：1. 洪水或湍急的河流。2. 火箭发射时的尾气。3. 风、旗子、烟囱等。风吹在脸上的感觉。,湍 流,木星大红斑,火山爆发,爆炸,圆球尾流,达芬奇的想象,二、定义：Taylor和von Carman ,1937年：湍流是一种不规则运动，当流体流过固体表面，或者甚至当相邻的同类流体互相流过或绕过时，一般会在流体中出现这种不规则运动。Key Word: 不规则性。,J. O. Hinze：流体的湍流运动是一种不规则的流动状态，它的各种量随时间和空间坐标表现出随机变化，因而能辨别出不同的统计平均值。Key Words: 不规则性，随机，统计平均值。要点：1. 不
3、规则性。时间上：欧拉坐标空间上：拉格朗日坐标2. 统计平均值的存在。,湍流的特征：不规则性。 湍流扩散性。 高雷诺数。 混合性。各种时间尺度和空间尺度的存在。 耗散性。,三、湍流的发生雷诺实验。 雷诺数：其中：,当Re2320时，开始发生湍流，称为临界雷诺数。但当雷诺数从小到大变化时，通常要大于临界雷诺数才会产生湍流，若管子足够光滑，扰动足够小，可以到40000以上才开始湍流。雷诺数的含义在于惯性力比粘性力。当雷诺数较低时，粘性能够阻尼掉扰动，从而使层流状态得以保持。但当Re很大时，惯性力的影响超过粘性力的影响，使扰动放大，得以发展，最终出现湍流。如同F1赛车，低速行驶时，轻微的碰撞不影响赛车
4、的行进。但高速行驶时，轻微的扰动，哪怕是一粒石子，也会产生严重后果。因此国际汽联对F1赛道一直有着相当严格的规定。,四、涡普遍认为，湍流运动是由各种尺度的涡叠加而成的，这些涡的大小具有明显的上下限。上限主要由装置决定，下限则取决于粘性。同时，涡还是湍流流动中能量的传递方式。,五、湍流运动与分子运动论比较,其中的致命伤：6,8,9,科学：1.确定性。2. 可重复性。,5-3 稳定性理论的基本思想,为了求解方程，需要对问题进行数学上的描述。当某些物理量达到稳定的临界值时，给方程加一个扰动，如果解变得不规则，则方程处于不稳定状态。,例题同前： 不可压，定常。该问题满足方程：,边界条件：层流解：在层流
5、流动中，有：满足方程：,假定流动受到小扰动，即：带“ ”的物理量称为脉动量。 代入原始方程，并去掉平均量，得脉动方程：,无量纲化，取特征量速度U，长度2h，时间2h/U，从两式中消去p，并令：及其满足的方程：其中Re=U(2h)/。,引入流函数，自动满足：于是：将进行傅里叶展开，将每一个分量代入方程，典型的分量为：,当20，扰动随时间衰减，流动稳定。反之则不稳定。 2=0称为中性稳定。上面的方程最后可得：该方程称为奥尔-萨默菲尔德方程，为四阶微分方程，满足四个边界条件：相当于满足壁面无滑移条件。,该方程有四个线性无关解通解为：从边界条件可以得到关于ci的四阶齐次线性方程组，该方程组有非零解的条
6、件是系数行列式为零。于是得到Re，= 1 +2之间的关系：,最后得到不稳定的最小雷诺数为1.06104。而实验结果为1900。,不准确的原因：1. 线性扰动不适合本问题。 2. 有限振幅扰动的非线性稳定性的理论发展不够。 3. 实际扰动为三维扰动。,5-4 张量的主要记号e1,e2,e3x,y,z轴上的单位向量。 ei =1，通常用i, j, k来表示，即：对于任意向量a，有：,1. 爱因斯坦求和符号（哑标或哑指标）数学式中的任一项，如出现一对符号相同的指标，如上式中的i，表示对这个指标遍其取值范围求和，上式中为1到3。又如动能：,规则：(1) 在同一项中，以一对符号相同的指标出现，表示遍历其
7、取值范围求和。(2) 每一对哑标的字母可以用相同取值范围的另一对字母代替，其意义不变。如：,2. 自由指标(1)一个指标在表达式的各项中都只出现一次。表示该表达式在该自由指标的n维取值范围内都成立，即代表了n个表达式。例如：(2) 一个表达式的某个自由指标可以全体的换用相同取值范围的其他字母。,3. 缩并将自由指标变成哑指标，如：4. 克罗内克尔(Kronecker)记号：,5-5 湍流运动的雷诺方程,尽管N-S方程既可用于层流，也可用于湍流。但湍流的计算量太大，直接模拟非常困难，因此要寻找其他途径。尽管运动是随机的，但我们关心的物理量，都是某一时间或某一体积上的平均效果。平均的方法有很多，最
8、常用的是对时间区平均的方法，叫做时均法。任一物理量 f(x,y,z,t) 的时均值定义：,式中的时均周期T应比脉动周期大很多，以包含大量的脉动，同时又比宏观流动的特征时间小很多，以便充分描述时均值随时间变化。若时均值不随时间变化，称为时均定常湍流，简称定常湍流。,一般的，我们把物理量 分解为时均值 与脉动值 之和，即：并有：,对于公式5的证明：,不可压流体湍流运动的时均方程组。原始方程：连续方程：动量方程：令速度 ，可将方程展开：,用张量符号表示：,写成向量形式的方程：展开：,逐项平均，并注意到：例如：对连续方程平均：,平均后的动量方程：应用连续方程：,分量形式：,与层流流动的方程相比，应力项
9、多出一部分，即：后一部分称为雷诺应力：,雷诺应力的含义（以 为例）：相当于脉动动量， 则是动量在y方向上的脉动变化率，即施给外界的力，自身受到反作用力 。,例：截面积A，以速度U 射到平板上，求平板受力。 解：设dx段的动量在dt时间 内被改变，则：由于：其中AU即为动量。应力为单位面积上的受力。 当D=0.1m，U=10m/s，得：F=800kg.,应力和应变率张量其中Fb为质量力，P为内力张量。p为压力，各向同性，为体膨胀粘性系数，根据Stokes假设， =-2/3。 对不可压流体，有：因此：,应变率张量：写成张量形式：因此应力张量可以写成：,应变率张量的含义： 相对伸长率： AB边，x方
10、向。同理有y方向上：z方向上：,体积膨胀率：,2. 角变形率 平均角变形率：同理有：,5-6 涡粘性、混合长和相似理论一、涡粘性：由于雷诺方程增加了六个未知数：从而使方程不封闭。最直接的办法是将雷诺应力用平均速度来表示。Boussinesq提出：,于是应力项就变为：其中t，t称为涡粘性系数。开始时，Boussinesq假定其为方向常数，后来又假定其为空间常数。但很显然，常数不能解决问题。但之后的做法都是以涡粘性假定为基础的。在Fluent中，湍流模型的位置是Modelvicious。,二、混合长理论考虑壁面剪切流：总的剪应力：其中：根据涡粘性理论：,1925年，德国力学家普朗特假定： 1. 类
11、似分子的平均自由程，湍流 中的流体微团有一个“混合长l”， 对于某一给定的点y，流体微团由 y-l和y+l各以随机的时间间隔 到达y点。它们在到达y点之前， 保持其原来的时均速度 (y-l) 和 (y+l)不变。 一旦到达y点就与原来的流体微团发生碰撞而产生动量交换。 2. x方向和y方向上的脉动速度同量阶。,由假定1，将y与y+l之间的速度差看作对y点速度的扰动，记作：同理，有：假定上下机会均等：,由假定2：再估计：令： ，仍为长度量纲，于是就有：,由于应力的方向总与速度梯度方向一致，就有：于是得到：虽然物理上并不存在混合长这一参数，但混合长理论的实际应用效果却很好，原因是：,例：用混合长理
12、论分析壁面附近的流动。 壁面附近的流动可以分为三个区： 1.粘性底层（靠近壁面）2. 湍流核心（完全湍流层）3.缓冲层（二者之间）,由于缓冲层很薄，故只考虑粘性底层和湍流核心。对于时均定常湍流，壁面静止，已知壁面剪切力w，求时均定常速度剖面(y)的形状。同时假定dp/dx=0。由于时均定常，单向，方程简化为：壁面边界条件为：,解得： (1) 在粘性底层：而：得：由边界条件： ，得：,在研究湍流时，习惯引入摩擦速度：及无量纲距离：将前式无量纲化：,在粘性底层的外边界 ，即：其中为待定无量纲参数。在湍流核心区（y）, (1)式成为：由混合长理论,这里：引入U*，得：普朗特由实验观察到，越远离壁面，
13、湍流脉动越为活跃，因此进一步假定混合长与到壁面的距离成正比：于是有：,由于方程要满足衔接条件：可以解得方程：无量纲形式为：其中,K由实验确定。,三、相似理论冯卡门研究平行流动并作出相似性假设：脉动流场的结构是相似的，且与考察的位置无关。用Taylor展开：若脉动流场处处相似，则必有尺度L和U0，使方程无量纲化以后通用。,若脉动流场处处相似，此式中各项之比应是与位置无关的常数，即：代入普朗特的混合长公式：,式中K为冯卡门常数，实验表明：K=0.40.41。 涡粘性：,5-7 圆管中的层流讨论层流状态下圆管过流断面上的速度分布、流量计算及沿程水头（压强）损失 hl (pl)的计算。,一、过流断面上
14、的速度分布水平放置的等径直圆管内流体作定常层流。从中取出一轴心与管轴重合的微小圆柱流体，分析其在水平方向（x方向）上的受力。,假定： 1. 忽略质量力，fr=f =fz=0。 2. p=p(z)。p/ z=P，为常数。 3. 忽略径向流动，故 / r=0，vr=0。 4. 忽略周向流动，故 / =0，v=0 。 5. 定常流动， /t=0 。 6. v=v(r),最后得到：,即：,积分得到：,边界条件：,最后结果：,由：,得：,上式说明：圆管层流下过流断面上的流速随半径 r 呈二次旋转抛物面分布。,最大流速发生在轴线处（即 r = 0 处） 故：,二、流量计算,用圆管内径表示：哈根 泊肃叶公式
15、上式反映了流量 q、压强差 p 与管径 d 的关系。同时也是工业上测定液体粘度的依据。,1839年和1841年，德国工程师G. H. L. 哈根和法国生理学家J. L. M. 泊肃叶先后用玻璃管做了大量实验，得到了类似的关系。但是直到1858年E. 哈根巴赫才导出了如上的解析表达式。后人把无限长直圆管中的流动称为泊肃叶流动，而把上式给出的圆管中流量与压降的关系称为哈根一泊肃叶定律，或简称为泊肃叶定律。这一定律表明，流量与单位长度上的压降成正比，与粘度系数成反比。尤其引人注意的是，流量与管半径的四次方成正比。例如，一根直径10cm的圆管与四根直径5cm的圆管尽管总横截面积相等，但当其它条件相同时
16、前者流过的流量却相当于后者总和的四倍!,这一结果很容易由速度剖面图加以说明由前式易知圆管流动的平均速度：壁面剪应力：,工程中，通常引入两种无量纲阻力系数。1.范宁摩擦因子，定义为：对于泊肃叶流动，有：其中关于雷诺数的定义：,2. 达西摩擦因子对于泊肃叶流动，有：,2 定理定理：某一物理现象，涉及n个物理量，其中m个基本变量（不能由别的变量组合成的变量），则n个变量之间的关系，可以用n-m个无量纲的项关系式来表示。即：,本例：长l的圆管上压降p，依赖参数：直径D，长度l，速度V，密度，粘度，粗糙度e，即：选取,V,D为基本变量，则有4个无量纲参数：,独立量纲：质量M，时间T，长度L，如:代入后，
17、有:得到量纲和谐方程：,解方程组，得：,对于本问题，有：其中的速度、压力均为时均量。其中雷诺数的表达式为：,实验指出，压降与管长成正比，于是：由修正的伯努利方程：假定管子水平，则：,达西摩擦因子：于是：其中：,5-8 光滑圆管中的湍流流动对于光滑圆管，e=0。50年代初，J. 劳弗对光滑圆管流动中的各种湍流量进行了比较系统的测量。他测量了速度涨落的方均根值：,使用当y+30时，实验点几乎成一条直线。,根据前面的混合长公式，取适当的系数：在光滑圆管中，三个区域如下划分：通常忽略缓冲层。界限y+=11.6。,由于工程上使用平均速度，而不是用摩擦速度：将湍流核心区的速度剖面代入，由于误差不大：由斯托
18、克斯公式，当r=a：,代入关于摩擦因子的定义：得到：,最后得到：将自然对数化为以10为底的对数：略作调整，就可以和Re=31034106 范围内的实验点符合得很好：上式称为普朗特施里希廷公式。做这样调整的原因是由于求平均速度时未考虑粘性底层。,最大流速出现在管中心线处(y=a)，即：,当Re=5000时， 为1.3，当Re=3106 该值为1.15，而层流时，该值为2。由图可知，每一确定Re之下的流速剖面可用下面的关系式确定：,采用上式的原因是由于普施公式为隐式，计算不方便，将上式改写：其中： ，不依赖于y。于是可以得到平均速度和摩擦速度之间的关系：,解得：可以得到达西摩擦因子：布拉修斯191
19、3年以Re=3103105的实验数据为基础，导出了如下公式：,该式相当于n=1/7，B=8.562，此时的速度分布为：或者：这就是圆管湍流的1/7次方速度剖面。,5-9 粗糙圆管中的湍流流动,对于每一给定相对粗糙度e/D0的圆管，当Re由小变大时，其摩擦因子的变化先后经历三个不同阶段：1)当Re不太大时，=f(Re)。这时分不出粗糙管与光滑管，几何上并不光滑的管子所受到的流体力学阻力却与光滑管子无异。所以处于这种状态的圆管叫做水力学光滑圆管。 2)随着Re的增大， =f(Re,e/D) ，开始显示出粗糙度的影响越是粗糙的管子，开始进入这一状态的Re越小，在同一Re下的 值也越大。这一状态下的圆
20、管称为过渡型圆管。 3)当Re很大时，=f(e/D)，即不再随Re而变，在图中变为水平线。e/D越大，开始使曲线变为水平的Re就越小，水平线上的值也就越高处于这一状态的圆管称为完全粗糙圆管,粘性底层的厚度为：在此层中，湍流的涨落很微弱。当管壁粗糙度很小时，管壁上凹凸不平的隆起处全部淹没在粘性底层中，它们的扰动只限于底层内部，而对整个管流影响很小。所以整个管流的摩擦阻力就和光滑圆管时一样，也就是圆管表现为水力学光滑圆管。随着Re增大，管流中的湍流涨落越来越活跃，湍流核心区更朝向壁面附近扩展，从而使粘性底层变薄。这时，上述同一管壁粗糙度e就开始超过粘性底层厚度，壁面隆起处部分地进入湍流核心区。湍流
21、核心区中流体微团的迅速涨落使得隆起处的扰动传得很远，影响到整个圆管流动图象，因而所受的摩擦阻力不同于光滑圆管中的值，这就是上面讲的过渡型圆管。,显然，若圆管较粗糙(即e较大)，那么在较低的Re数下，壁面隆起处就已超出粘性底层区，从而管子较早地变为过渡型。现在假设粗糙度e保持不变，那么随着Re增高，粘性底层就越变越薄当Re很高时，粘性底层就非常薄，以致平均高度为e的壁面隆起处几乎全部暴露在湍流核心区中。湍流核心区的流速较大，几乎是迎面撞到这些隆起处上。也就是说，这时阻力的主要来源是迎风面和背风面的压差，而不再象光滑圆管中那样来源于沿表面的切向摩擦力。,由光滑圆管的速度剖面和最大速度公式：实验证明
22、，在湍流核心区该公式对光滑圆管和粗糙圆管同样适用。区别仅 限于相加的常数，假定：其中：,B可以随粗糙度改变。当e=0即为光滑管，此时B=5.5。根据实验，有：当(U*e/) 70时：于是：为完全粗糙圆管的情形。,速度剖面：对于过渡型圆管，即 ，有：注意到 ，可得：,略微改变系数，得C.F.科尔布鲁克公式：当e=0，就变为普朗特施里希廷公式。对于完全粗糙管，可以忽略Re的影响，从而得到：显式表达式：,例9.1 设汽油流过内直径D=152mm的铸铁管，汽油的运动粘度系数=03710-6m/s，密度=670 kg/m3。若体积流量QV=170 L/s，试求湍流核心区的时均速度剖面，并确定单位长度圆管
23、壁所受到的流体阻力F。 解：根据所给圆管材料，由表中查出壁面平均粗糙度为e=0.26mm，由此算出：流动的平均速度为:,流动的雷诺数为：根据上述e/D和Re可由穆迪图上查出：求得壁面剪应力：于是算出单位长度圆管所受到的流体阻力为：,为了求其湍流核心区速度剖面，先计算 ：因为 ，故为完全粗糙圆管，速度剖面为：,5-10 管道中的局部阻力 局部阻力造成局部能量损失的原因： 1、局部装置（障碍）处存在流动旋涡区； 2、局部装置处存在速度重新分布 (大小，方向) 。,局部压强损失,局部水头损失,式中： 局部阻力系数（不同局部装置的 值由实验确定）。 v 一般用局部装置（即局部损失）后的速度值。,管流中
24、的总能量（压强，水头）损失, 总水头损失, 总压强损失,例题：试推导流道突然扩大处的局部阻力系数 。,解：根据伯努利方程写出局部能量（水头）损失 h 的表达式。,取突扩前断面11和突扩 附壁后断面22列出伯努利方程：,注意到：（1）hl 可略去不计，（2）湍流时 = 1,可写出：,对照局部损失计算式：,需将压强势能项以动能形式表示。,取控制体列出流动方向的动量方程：,则：,代入 h 的表达式：,由连续方程知：,所以：,则：,例题：沿直径 d = 200 mm，长 l = 3000 m 的无缝钢管（ = 0.2 mm）输送密度 = 900 kg/m3 的石油。已知流量 q = 27.810-3
25、m3/s，石油的运动粘度在冬天 W = 1.092 10-4 m2/s ，在夏天 s = 0.355 10-4 m2/s。试求沿程能量（水头）损失 hl 。,解：,先求出流速，然后判断流态，计算，再求出沿程水头损失。,因两季的 不同，则 Re 不同，可能流态不同，计算 的方法亦不同。,冬季：,流动处于层流状态，,故：,夏季：,为湍流状态。,判断流动阻力区域：,且: 2320 Re 105,故：,或根据 / d 和 Re 查莫迪图： 0.038,代入达西公式得： hl 22.5 m,例题：离心泵从吸水池抽水。已知抽水量 q = 5.56 l/s泵的安装高度 H = 5 m，吸水管直径 d = 100 mm吸水管路的水头损失 hf = 0.25 m 水柱。试求：离心泵进口断面 22 处的真空度 pV 。,解：用伯努利方程求解。选吸水池水面为 11 断面，且作为基准面， 离心泵进口断面为 22 断面，列出伯努利方程：,上式中：,则：,变形：若已知最大真空度 pV ， 求离心泵安装位置距水面的最大高度 Hmax ，且 hf 为待求。,则上式中的,其中 求法： Re 流态 ? 的计算式。,作业：5-13,
