1、 1重 庆 交 通 大 学学 生 实 验 报 告实验课程名称 数学建模 开课实验室 数学实验室 学 院 信息 院 11 级 软件 专业班 1 班学 生 姓 名 学 号 开 课 时 间 2013 至 2014 学年第 1 学期2综合评分依据 优 良 中 差实验到课情况论文表述的清晰度和结构的完整性所构建数学模型及其求解方法的正确性数学建模的创新性实验成绩实验指导教师 官礼和3实验一钢管下料问题摘要生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成规定大小的某种,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案 ,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题.下面我们采用数学规划模型建立线性规
2、划模型并借助 LINGO 9.0 来解决这类问题.关键词 线性规划 最优解 钢管下料 一，问题重述1、问题的提出某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是 1850mm ，现在一顾客需要 15 根 290 mm，28 根 315 mm，21 根 350 mm 和 30 根 455 mm 的钢管为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过 4 种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的 1/10 增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的 2/10 增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管
3、最多生产 5 根产品） ，此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过 100 mm，为了使总费用最小，应该如何下料？2、问题的分析首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少.二，基本假设与符号说明1、基本假设假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化.不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行.2、定义符号说明（1）设每根钢管的价格为 a，为简化问题先不进行对 a 的计算.（2）四种不同的切割模式： 、 、 、 .1x234x（3）其对应的钢管数量分别为： 、 、 、 （非负
4、整数）.iriiri4三、模型的建立由于不同的模式不能超过四种，可以用 表示 按照第种模式ix（ =1,2,3,4）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数 .设所使用的i第 i 种切割模式下每根原料钢管生产 290mm，315mm,350mm 和 455mm 的钢管数量分别为 ， ， ， （非负整数）.ir1i2ir3i4决策目标 切割钢管总费用最小，目标为：Min=（ 1.1+ 1.2+ 1.3+ 1.4） a (1)1x23x4为简化问题先不带入 a 约束条件 为满足客户需求应有+ + + 15 (2)1rx1213rx14+ + + 28 (3)222+ + + 21 (4)313
5、2334+ + + 15 (5)4rx44rx每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于 1850mm 也不能小于 1750mm.于是：1750290 +315 +350 +455 1850 1r2131r41（6） 1750290 +315 +350 +455 1850 1223242（7） 1750290 +315 +350 +455 1850 13r233r43（8） 1750290 +315 +350 +455 1850 1424344（9） 由于排列顺序无关紧要因此有 (10) 1x234x又由于总根数不能少于（15 290+28 315+21 350+30 455）
6、/185018.47 (11)也不能大于（15 290+28 315+21 350+30 455）/175019.525 (12)由于一根原钢管最多生产 5 根产品，所以有+ + + 5 (13)ir12i3r4四、模型的求解5将（1）（13）构建的模型输入 Lingo11.0经计算绘制成表格如下：切割模式290mm 315mm 350mm 455mm 余料 mm1x0 2 2 1 6523 0 0 2 703x0 1 3 1 3040 0 0 4 30即取 切割模式 14 根及 切割模式 5 根，即可得到最优解：1x2xMin=（14 11/10+5 12/10） a=21.4a五、结果分析
7、、模型的评价与改进下料问题的建模主要有两部分组成，一是确定下料模式，二是构造优化模型.对于下料规格不太多时，可以采用枚举出下料模式，对规格太多的，则适用于本模型.而从本模型中可以看出尽管切割模式 x3、x4 的余料最少，但是其成本比较高因而舍弃.六、参考文献【1】姜启源，谢金星，叶俊,数学模型(第三版)，清华大学出版社，第 121 页.七、附录模型求解的算法程序：model:min=x1*1.1+x2*1.2+x3*1.3+x4*1.4;r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4=15;r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4=28;r31*x1+r32*x2+r33
8、*x3+r34*x4=21;r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4=15;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41=1750;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42=1750;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43=1750;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44=1750;x1+x2+x3+x4=19;x1+x2+x3+x4=x2;x2=x3;x3=x4;r11+r21+r31+r41=5;r12+r22+r32+r42=5;r13+r23+r33+r43=5;r14+r24+r34
9、+r44=5;gin(x1);gin(x2);gin(x2);gin(x4);gin(r11);gin(r12);gin(r13);gin(r14);gin(r21);gin(r22);gin(r23);gin(r24);gin(r31);gin(r32);gin(r33);gin(r34);gin(r41);gin(r42);gin(r43);gin(r44);end经运行得到输出如下：Global optimal solution found.Objective value: 21.40000Objective bound: 21.40000Infeasibilities: 0.00000
10、0Extended solver steps: 1Total solver iterations: 34507Variable Value Reduced CostX1 14.00000 -0.1000000X2 5.000000 0.000000X3 0.000000 0.1000000X4 0.000000 0.20000007R11 0.000000 0.000000R12 3.000000 0.000000R13 0.000000 0.000000R14 0.000000 0.000000R21 2.000000 0.000000R22 0.000000 0.000000R23 1.000000 0.000000R24 0.000000 0.000000R31 2.000000 0.000000R32 0.000000 0.000000R33 3.000000 0.000000R34 0.000000 0.000000R41 1.000000 0.000000R42 2.000000 0.000000R43 1.000000 0.000000R44 4.000000 0.000000实验二： 摘 要一、问题重述二、基本假设与符号说明基本假设：8符号说明：三、模型的建立四、模型的求解五、模型评价六、参考文献9附 录
