矩阵可逆的若干判别方法.doc.doc

1、山西师范大学本科毕业论文矩阵可逆的若干判别方法姓 名 郭晓平院 系 数学与计算机科学学院专 业 数学与应用数学班 级 0701 班学 号 0751010139指导教师 宋蔷薇答辩日期成 绩I矩阵可逆的若干判别方法内容摘要 对线性代数和代数学而言，矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中可逆矩阵又是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。在矩阵理论，可逆矩阵所占的地位是不可替代的，在坐标轴旋转变换公式的矩阵表示、线性变换、线性方程组等理论研究中，它均有重要意义。而且由于在许多有关数学、物理，经济的实际问题中，常常需要通过建立合适的数学模型化为线性代数和代数学等的问题，因此可逆矩阵也是解决实际问题比较常

2、用的工具之一。鉴于可逆矩阵具有重要的理论和实践意义，研究矩阵可逆的判别方法也就相当有必要了。本文结合所学知识并查阅相关资料，系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法及其证明过程。其中，可逆矩阵判别方法主要包括定义判别法、伴随矩阵判别法、初等变换判别法、线性方程组法、矩阵向量组的秩判别法等。另外，本文还给出了十种特殊矩阵可逆性的相关结论，最后针对这些判别方法选取了典型的例题，以便我们更好的掌握矩阵可逆的判别方法。【关键词】 矩阵 逆矩阵 初等变换 伴随矩阵 线性方程组 IISome Methods for Judging Invertible MatrixAbstractThe matri

3、x is a main research subject and an important tool in linear algebra and algebra. The invertible matrix, which plays the role of the invertible number in rational numbers, is an essential part of the matrix theory. The very important status ,which the invertible matrix holds in the matrix theory ,ca

4、n not be replaced. It has the important meaning for solving linear equations, linear transformation theory problems, rotating coordinate transform formula of matrix representation theory. And In solving practical problems such as mathematics, physics, economic and other fields, it is often need to e

5、stablish proper mathematical models into linear algebra and algebra issues. Therefore it also is a commonly used tool, which is widely applied in practical problem. In view of the fact that the invertible matrix has important significance in both theory and practice, the study of judging invertible

6、matrix is quite necessary.Through combining with my knowledge, referring to the relevant materials, this paper systematically organizes and summarizes eleven kinds of methods for judging invertible matrix ,which contain definition method, the adjoin matrix method, elementary transformation method, l

7、inear equations method and so on ,and the proof process. This paper also gives ten special matrix invertible conclusions. Finally, this paper selects several typical examples aiming at these discriminate methods, so that we know the methods for judging invertible matrix.【Key Words】matrix inverse mat

8、rix elementary transformation adjoin matrixLinear equations III目 录一、引言(01)二、预备知识(01)（一）基本概念(01)（二）可逆矩阵的性质(01)三、矩阵可逆的若干判别方法(02)（一）定义判别法(02)（二）行列式判别法(02)（三）秩判别法(02)（四）伴随矩阵判别法(02)（五）初等变换判别法(02)（六）初等矩阵判别法(02)（七）矩阵向量组的秩判别法法(03)（八）线性方程组判别法(03)（九）标准形判别法(04)（十）多项式判别法(04)（十一）特征值判别法(05)四、十种常见矩阵的可逆性(05)五、矩阵可逆判

9、别方法的实例(07)六、小结(11)参考文献(11)致谢(12)IV- 1 -矩阵可逆的若干判别方法学生姓名：郭晓平 指导老师：宋蔷薇一、引言在矩阵的乘法运算中，就像理数的倒数一样，可逆矩阵是构成矩阵运算理论体系不可或缺的一部分。矩阵对解决数学中诸多理论问题都有重要意义。在矩阵理论中可逆矩阵有如此重要的地位作用，所以学习、研究可逆矩阵的判别方法，有助于进一步完善矩阵理论体系，也是相当有必要的。解决实际问题（如国民经济中的调运方案等问题） ，第一步往往是建立合适的数学模型，然后化为线性代数和代数学等的问题。很多有关代数学方面的研究多数会情况下转化为有关矩阵的研究，特别是可逆矩阵的研究。矩阵可应用

10、于物理、数学、经济等方面。可逆矩阵在矩阵中有着重要地位，可见研究可逆矩阵的判定也有着重要的实践意义。本文系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法。 二、预备知识（一）基本概念 定义 1【1】 设数域 上, 阶方阵 ，如果存在 阶方阵 满足条件 且FnAnBEA,就称 可逆,并且称 是 的逆,记 .EBAB1定义 2 记 中 的 为 ，令 ,我们称矩阵 为A元 素 ija代 数 余 子 式 ij Tnij)(* *的伴随矩阵。定义 31 矩阵 的 称为 的秩，记作 .行 秩 和 列 秩 Ar定义 42 矩阵的三类初等行变换：(1)互换某两行的位置；(2)用 中某个非零数乘某行；F(3)将某

11、行的 另一行上。数 倍 加 到初等列变换与初等行变换完全类似，只需将行换成列即可。定义 5 初等矩阵，是对单位矩阵 施行一次初等变换得到的矩阵。E定义 6 对 施加一系列 ,它变为 ,则称 与 等价。A初 等 变 换 BA（二） 矩阵可逆的性质性质 1 ;1)(性质 2 ;1)(T性质 3 ;1B性质 4 ;1)(Ak性质 5 矩阵 与它的 具有相同的可逆性，即 可逆 ,且伴 随 矩 阵 * A*- 2 -*1*)(A性质 62 设 , , 分别是 阶和 阶可逆方阵， .nmFAPQn)(ArPQr且 )()rP三、矩阵可逆的若干判别方法（一）定义 1判别法设对于 阶方阵 ，如果存在 阶方阵

12、满足条件 且 ,就称 可逆,nnBEAB并且称 是 的逆,记 .BA1注：这种方法实际上是通过直接找到矩阵的逆，进而根据矩阵可逆的定义来证明矩阵可逆的，所以它多适用于简单矩阵和非具体矩阵。 （二）矩阵行列式判别法定理 2： 可逆 是方阵且 （非退化） 。A0（三）秩判别法阶矩阵 可逆 .nAnr)(证明:由 可逆，知 ,再由矩阵秩的定义，可得 .所以由 可逆可推nAr)(得 .反过来，必要性也显然成立。r)(（4）伴随矩阵判别法可逆 存在 ,使得 .A*1ABEBA证明：若 可逆，则显然 ,且 .0*1反过来，如果有 , ,*A则 . (1)1B注：公式(1)便是求逆矩阵的公式。但是根据这个公

13、式来求逆矩阵，矩阵阶数较大时计算量往往是相当大的且繁琐，因此该方法适合阶数较小的矩阵。（五）初等变换判别法对矩阵 施行初等行（或者列）变换得到的矩阵 ,则 可逆 可逆。ABA证明：设用初等行或列变换，将 变为 ,因为初等变换是等价变换，从而并不改A变 的秩，所以 与 秩相等，故 与 有相同的可逆性，从而 可逆 可逆。B命题得证。（6）初等矩阵判别法 定理 1：方阵 可逆 可表成一些初等矩阵的乘积：.sQA21证明：充分性,由题知， ,则有,02121 ssQA故 可逆。必要性的详细证明见于参考文献1第 191 页。证毕。- 3 -定理 1：方阵 可逆 可以经过初等行变换化为单位矩阵。A证明：必

14、要性，由矩阵 可逆，知它可以表示成一些初等矩阵 的乘积，sP21即 ,从而 ,也就是说， 可以经过初等行变换化为单sPA21EAPs121 A位矩阵。充分性，若 可经过初等行变换化为单位矩阵，则存在一些初等矩阵 ,s21使得 ,从 ,EAPs21 12sP故 ,0121 PA因此 可逆。 证毕。注：施加一系列 ，可逆矩阵 可化为单位矩阵，那么类似地施加一系初 等 行 变 换列 可逆矩阵也可化为单位矩阵。具体方法：用一系列 进行以下初 等 列 变 换 初 等 行 变 换过程 ,则矩阵里右面的块即为 A的逆矩阵。同理,作列变换时，则相应A()E()1地进行 这一过程，矩阵里下面的块即为 的逆矩阵。

15、（七）矩阵的向量组的秩判别法1.定理 2： 阶方阵 可逆 的各列（行）线性无关。nA2. 阶方阵 可逆 的列（行）向量组的秩等于 .n证明： 可逆等价于 ,从而 ,从而 的各列（行）线性无关，从nr)(Ar)(而 的列（行）向量组的秩等于 .A将上述论述反过来说也是完全成立的。命题得证。（八）线性方程组判别法1. 齐 次 线 性 方 程 组 02,21,2 2121nnnxaxa 即 （ 为该齐次方程组的系数矩阵）只有零解 可逆。OAX A证明：用 分别代表系数矩阵各列，则齐次方程组变为,21 n,21nxx方程组只有零解，即 ,从而 线性无关，而021nx ,21 n,21线性无关的充要条件

16、为 可逆。故命题得证。n, A2.非 齐 次 线 性 方 程 .21 222 11211 nnnn nbxaxa 即 （ 为该方程组的系数矩阵）有唯一解 可逆。OAX A- 4 -证明：用 分别代表系数矩阵各列，即 ,则方程组,21 n njjja21)(j可以写成向量形式 ,nxx21由 ,知 成 的一组基，故 每个向量 都可以写成0AD,2 n1F1F的线性组合的形式，,21 n即 ,n21且系数 由 唯一决定。换句话说，命题中的方程组有唯一解。nx,21 反过来，若方程组有唯一解，则必然有 ,否则，方程组无解或有无穷多0AD解。 （九）标准形判别法引理 1：任何一个 矩阵 都与一个形式为

17、 的矩阵 ，该矩阵nsArsrsnOE等 价称为 的标准形，且 .其中 为 , 为零矩阵。A)(rrE单 位 矩 阵阶方阵 可逆 矩阵 的 是 .n标 准 形 )(n证明：根据引理可知，任何一个矩阵都可经过 行或列变换化成引理中的标准初 等对角阵。如果 可逆，那么 的秩只能是 ,等于矩阵 的阶数，从而其 只能是AA标 准 形单位矩阵。反过来，如果 标准型是 阶单位矩阵，由引理，知 的秩为 ,故 可逆。nnA注：该判别法大多用于非具体矩阵的理论性证明。（十）多项式判别法的矩阵 可逆 有多项式 ,满足 ,且常数项不为零。nA)(xfOAf)(证明：必要性，设 ， 是 的矩阵 的 ，则nija)(n

18、特 征 多 项 式.21)(Ef Aan)1(1由 可逆,知 ,从而 ,即多项式 的常数项不为零。又根据哈密00)()(f定理，知顿 凯 莱,21)(aAfn 01EAnn故 的 为题中所求。A特 征 多 项 式 充分性，设有一常数项不为零的多项式 ,011)( axaxfmm )(则有 ,即 ，Of)( OEamm011L)0所以 ，AaA从而 ,mm(110即 ，Eaamm )11故 可逆。A- 5 -（十一）特征值判别法的矩阵 可逆 矩阵 的特征值全都不是零。nA证明：必要性，假设 的矩阵 的 为 ，则nA特 征 多 项 式 )(f,Aaaf nn1)()( 121 根据根与系数的关系，

19、可知所有特征值之积等于 ,又由 可逆，知 ,故所0有特征值全不为零。充分性，因为所有特征值全不为零，而所有特征值之积等于 ,故 ,从而可逆，从而命题得证。A四、十种常见矩阵的可逆性 （1）单位矩阵 是 的。10 E可 逆证明：显然 成立，根据 的定义，可得 可逆。而且知矩 阵 可 逆 单 位 矩 阵 E道 ，故 也是可逆的。Ekk（二）数量矩阵 可逆。bB 0证明：显然 而单位矩阵 是可逆的，再由矩阵可逆的性质 4,bE知， ，11)(Ak EbEB111)(故 可逆。B（三）令 如果它的 的元均不为零，则对 角 矩 阵 sba 0主 对 角 线 上是可逆。A证明：记,sbaA 0sbaB10

20、01 显然 ,根据矩阵可逆的定义，故 是 的。EBA可 逆（四）分块矩阵1.设 矩阵 与 矩阵 ,都是 的,mCnD可 逆则(1)准对角矩阵 可逆，且 ; 11DC- 6 -(2) 可逆，且 .DC1CD证明：(1)因为 可逆，因而 存在，又因为,，EC11故 可逆，且 ,DC1D类似地，我们可以证明 可逆，且 .C1CD2.设 且 可逆，,nmnmFFS则(1)分块矩阵 与 可逆，且 ;ES,1ESSEES1(2)分块矩阵 可逆，并且 .DC11DC证明：(1)因为对 任意,我们有 成立，nmFQQSS特别地，若令 ，我们可以得到：S ,1EE同理，我们可得到： .SE1(2)因为 ,CDC

21、11进而有 ES11所以 = .1S11SE11DSC（五）正交矩阵是可逆的。 证明：设 是正交矩阵，根据正交矩阵的定义,可以得到 ,故 是可逆的。A EAT（六）当 ( )时，有 ,矩阵 称为 矩阵，可逆ji0ija)(ijaA上 三 角 形矩阵的逆仍是 矩阵。这个结论对下三角形矩阵也是成立的。上 三 角 形 上 三 角 形证明:令 ,设 是 的逆，即 ,比较naA 11 nnbB 11 EBA和 的第一列元素：EB- 7 -,0,11122121nnnbababa因为 ，故 ,因而 .同理可以比0A0,21 0211, bn较其它列，得 时, ,所以 是上三角形矩阵，故可逆 的逆仍是jii

22、jB上 三 角 形 矩 阵上三角形矩阵。同理，结论对下三角形矩阵也是成立的。（7）如果矩阵是奇数阶的，也是反对称的，则它是不可逆的。证明：若对矩阵 有 ,则 .ATAAnTn)1()(当 为奇数时, ,所以 ,故矩阵 不可逆。n0（八）线性空间中，一组基到另外一组基的 是可逆的。过 渡 矩 阵（九）线性空间中，任意一组基对应的 是可逆的。度 量 矩 阵（十） 矩阵矩阵可逆的概念 1：设数域 上 是 阶的 矩阵，如果存在数域 上F)(AnF阶的 矩阵 ,使得 ,则称 是可逆的，而称 是 的逆n)(BEB)( )(BA矩阵，并且 矩阵 的逆矩阵是唯一的，记为 .A)(1阶的 矩阵 可逆 是一个非零

23、的数。注 1：当 可逆时，其逆矩阵 ,其中 是 的伴随矩)( )()(*1A )(*阵。注 2：在 中, 阶矩阵 可逆 （或矩阵 是 的） 。当 阶的数 字 矩 阵 nA0满 秩 n矩阵 可逆时，则必有 ,即 是满秩的。但是，满秩的 矩阵不一)(A0)()( 定是可逆的，因为满秩的 矩阵的行列式可以是不恒为零的 多项式，而且只有当它的行列式为非零的常数（即零次多项式）时, 才是可逆的。此外求可逆 矩阵的逆矩阵的方法和 中逆矩阵的求法是一致的。数 字 矩 阵五、矩阵可逆判断的实例例 1 阶方阵 是否 。判 断 n10 B可 逆解：记 阶方阵 则 , ,n0POPn12nPPEB由 ,EEBE n

24、n)()( 12- 8 -根据矩阵可逆的定义， 知 是可逆的，且 .BPEB1 1注：该题运用定义法解答，此题关键在于它的技巧。例 2 阶方阵 是否 。判 断 nxbxB 可 逆解:经计算可得, ,显然 ,故 是可逆的。nnx)()(210B注：该题运用行列式判别法。显然用定义法判断不太容易，此法比较合适。例 3 向量组 是不是判 断 TTTT )3,21(,)1(,941,53, 4321 的，并且求出秩。线 性 相 关解：令 ,显然 分别是矩阵 的各列,又 ,319524B4321, A08B故 的列秩为 4,从而各列 ,所以 ，且该向量组的秩为 4.线 性 无 关 4321,线 性 无

25、关注：运用矩阵可逆的秩的判别法解题较为简单。例 4 令 ,且 求 的值.mA1,)(Arm解：因为 所以 ,而 或 .,3)(r03)1(331m当 时，显然有 （舍弃） 。1m)(r当 时, ，331A 14321,rr 310可见, 符合题意，所以 .)(rm例 5 已知方阵 ,其中 ,那么该矩阵是可逆的还是不可逆的？dbcabca若可逆，试求它的逆。解：因为 ,所以矩阵 可逆，且 .0cAA abcdaA1*1例 6 令 , ,满足条件 ,求 .523114BBYX,X- 9 -解: 根据 ,我们有 ,*1A 123512351A所以， ，084235BX同样地，因为 ,故 .Y 132

26、51351注：该题运用的是 。当矩阵的阶数较小时，用 解伴 随 矩 阵 判 别 法 伴 随 矩 阵 判 别 法题也是比较简单的。例 7 判断矩阵 是 的还是不 的，并求出它的秩。612345A可 逆 可 逆解：我们对 进行初等行变换 , ,则BA0124612345与 等价 ,而显然 的秩为 ,且 小于矩阵 的阶数，从而 不可逆，故 不可逆，AB3BBA且 .3)(r注：该题是用初等变换判别矩阵可逆的，当矩阵的阶数较大或元素复杂时，不妨使用该方法。例 8 设 是一个 矩阵，且 ,证明:存在一个 的可逆矩阵 ,使AnrA)( nP的后 行全为零。1PArn证明：存在可逆矩阵 使 ,并设 ,故QP

27、, OEr DCBGPQ1, rr11其右边的后 行全都是 0,从而得证。rn注：该题为多角矩阵判别可逆的典型应用。例 9 二阶矩阵 是不是能够表示成形式为 与 的矩阵的乘积？m10 10y0解：可以，令 ,显然 ,所以可以设 .A0A21QA t对 进行第三种初等变换：10m 110)1()1( 22 mmcar ,10)1(2 mr- 10 -从而 ,1001101 mm故 .1001110 1 mm例 10 当 满足什么条件时，齐次线性方程组 只有零解？n, 231xn解：根据矩阵可逆的线性方程组判别法，如果方程组只有零解，则必有该方程组的系数矩阵可逆，从而该系数矩阵的行列式,所以 且

28、.0)1(21mnD10n例 11 已知齐次线性方程组 ，将其系数矩阵记为 ,若存在三阶03212xA矩阵 使得 ,则（ ）OBA且 ; 且 ; 且 ; 且 .)(20)(B)(C1B)(D10B解：选 .)(C根据题目中 ,显然得知方程组 是存在非零解的，,OOAX于是便有 ,即 ,0)1(10122 所以 ,而 ,TA又由 知 ,可见方程组 存在零解（ 存在非零列）,OABT OXBTA于是 ，故选 .0)(C例 12 设 ,11210mbbBY 0000121 mb其中 ( ),试求 .0ibm,32, 1Y- 11 -解： ,其中 ,因为 ，ObBYm 1210mbb 1CD所以 ,故

29、 .OBbYn11Y0100nnbb例 13 ,判断矩阵是可逆的还是不可逆的。如果可逆，121)(2A求出它的逆矩阵。解：因为 , 12)(2120但 的二阶子式 ,所以 ,从而 是不满)(A120)(Ar)(秩的，故 不可逆。3黄光谷、黄东、李阳等，高等代数辅导与习题解答M，华中科技大学出版社，2005.6，163-200 页。4徐仲、张凯院、吕金义等，高等代数考研教案M，西北工业大学出版社，2006.6，347-351 页。5钱吉林，高等数学习题精粹M，高等教育出版社中央民族大学出版社，2002.10，105-175页。注：对于可逆的 矩阵，如同数字矩阵一样，也可以采用公式法（即伴随矩阵法

30、）、初等变换法和分块矩阵的有关结果来求逆矩阵。 六、小结判断矩阵可逆不只上述的十一种方法，根据这些判别方法，我们可以快速有效地解决许多有关矩阵逆矩阵的问题，它对学习矩阵和矩阵应用有着不可或缺、非常重要的作用。此外，研究构成元素本身的性质是研究矩阵性质的一个重要途径，矩阵的很多方面仍需要我们继续研究、探讨，进而使之更加完善。参考文献：1北京大学数学系几何与代数研究教研室前代数小组，高等代数-3 版M，高等教育出版社，2003.9，185-204 页，329-354 页。2李尚志，线性代数M，高等教育出版社，2006.5，1-230 页，493-501 页。- 12 -6刘志军，矩阵可逆的几个充分

31、条件J，北华大学学报，2008，第 7 卷 第 6 期。致谢：本文的完成离不开宋蔷薇老师的细心指导。从论文的选题到资料的搜集直至最后修改的整个过程中，花费了宋老师很多的宝贵时间和精力，衷心地感谢宋老师！她宽厚的待人之道温暖着我、她严谨的治学态度鼓舞并激励着我，也将是我一生的榜样和追求！在此过程中，师长、同学、舍友们帮助了我很多，真挚的感谢你们！四年大学生活即将结束，这几年里，老师们给了我很多关心和帮助，在老师尽心授课下，我满载了扎实的专业知识，即将顺利地完成学业。我始终怀着一颗感恩的心：感谢我的辅导员孙树林老师，感谢我的母校山西师范大学，祝愿我们数计学院的所有老师，身体健康，工作顺利！父母是每个孩子的守望天使，所以我还要感谢辛辛苦苦养育我成人的父母，感谢二老!最后，我要感谢各位评审老师！辛苦了!