1、1P2.3 解答2.3 如图所示，刚性梁 AB 受到弹簧 BC 的激励。C 点的运动方程为 z(t)。试用 B 点的位移 u 为变量来推导系统的运动方程。假设为小运动，采用牛顿定律来求解。解：1. 画自由体受力图2. 列力矩平衡方程 0AM根据受力分析，可知： 021LffcI3. 力与位移关系2弹簧力 ； 阻尼力 ； 弹簧力2/1ukf2/1ucf)(2uzkf惯性力矩 MLdlulLdlMladmLLLI 31)(0200 4. 将力与位移关系代入到力矩平衡方程，并化简： zkuucM211)4(3P2.13 解答2.13 一根均匀的杆的质量密度为 ，其杆端有一集中质量 M。应用假定振型法
2、（Lx/)(）推导如下系统的轴向自由振动的运动方程。解：1. 形函数及几何边界条件 0),(tU)(tux32. 建立虚功方程 0 inertancWV因为没有外力，所以 0ncWuLAEdxuAEUdxVLL 0)(对于惯性力而言，其虚功包括杆本身的虚功 和杆端集中质量的虚功 。1inerta2inertaWudxLudxWLinerta 3)(0201 MtUtinerta ),(,23. 化简 0)3(uLAE因为 为虚位移，即 ，所以运动方程为u0u)(MP3.7 解答3.7 一台机器的质量为 70kg，安装在弹簧上，弹簧的总刚度为 15kN/m，总阻尼为1.2kN.s/m。试求如下初
3、始条件的运动 u(t)。解：41. 运动方程及其相关参数由图可知，其运动方程为 0kucm其中 ， ， 。所以kgm70N/1054s/120sc msNkndrnrn /rad 32.5.0173.26140/.4.2/rad 73622. 系统的自由振动解 tutuet ddndtn sicos)( 0003. 不同初始条件下的自由运动（a） ,100muttetututt ddndtn 32.5si4.032.5cos10i)(5.800（b） smu/,0 tetuet tdtn 32.5sin2.531i)( .80P4.8 解答4.8 转动机械中的不平衡是很普遍的激励源。下图正是这
4、样一个例子。 （Mm）是机5械的质量，m 是转动不平衡块的质量，其转动圆频率为 。a. 推导机械垂向运动方程；b. 推导系统稳态响应表达式并绘制频响曲线。解：1. 向心力及其垂向分量向心力的大小 ，垂向分量为 。2meF tmetFu sinsin22. 系统的运动方程 tekcuMi2化简后可得： tnsin2223. 系统的稳态响应 22/11tan)si()()(rtkmeu现在考虑其频率响应幅值62/122/1222/12)()1()()()()1(rkmerkerkmunn定义静位移为 ，因此，kmeUn2022/120)()1()( rDrHsP5.1 解答5.1 用一个非常简单的
5、模型来研究着陆的一架轻型飞机的冲击。如图所示，以一个线性弹簧的集中质量表示着陆的装置。当弹簧触到地面时，质量 m 具有一垂直下降速度V。接触时 t=0，并令 u(0)0。(a)确定弹簧保持在接触地面时间内，质量的垂向位置 u（t）的表达式；(b)确定弹簧回弹脱离地面接触的时间。解：1. 受力分析7根据初始条件： ，及上图可知，物体的受力图如右所示。Vut )0(,)(,02. 运动微分方程所以，根据受力图，其运动微分方程为： mgku3. 垂向位置 的解)(t tAtkgunnsico21根据初始条件，可得 mkVmAn221,所以， 。ttkgtunnsi)cos1()(4. 弹簧回弹脱离地
6、面的时间当弹簧再次脱离地面时，其运动状态为： 。因此，可gtuVtut )(,)(,0)( 111 以任意选取一个运动量来求解脱离时间 。这里，我们取速度量，则有1ttVtkmgtunn111cossi)( 11ittnnnnVgt2a1nnt11t kummg8P9.2 解答9.2 一均匀薄刚杆 BC 的质量 m，长度 L 附在一均匀弹性梁 AB 上，设侧向位移很小。应用恰当的自由体图，确定 A 与 B 点的边界条件。解：1. A 点的边界条件为固支，即 0),(tvx2. B 点的边界条件刚体的受力图如上所示。对于端部剪力边界条件， 3232 2BxLxLxLvvmvSEItt（注： 为刚
7、杆 BC 的质心加速度）232xLxLtt对于端部弯距边界条件， LxLxBvtIvEIM222)(其中 231mLI9P10.4 解答解：1 特征方程现拟采用如下通解形式 xCxCxxV cossincoshsin)( 4321 两端边界条件为自由端，所以 LxdxV,032将边界条件代入通解表达式，可得 0sincosinhcos cosici 0043213333 2222 CLL如果上面方程有非零解，则其系数行列式为零。化简后得特征方程： 0)1(0由此可见，本系统有零固有频率，而其非零频的特征方程为： coshL2. 现确定零频率的个数。10当 时，根据自由运动微分方程（10.12）
8、 ，可得： 。因此，我们可以假定解的形式为0 04dxV。考虑边界条件，可知 。因此，零频率的振型为342321)(xaxaV3a。考察得到的振型函数可知，只可能存在 2 个相互正交的组合。相对应的，存在两个零频率。3. 求零频率的刚体模态（利用正交性） 。设 ， ，则有：xaV210xb21001LdxVA32)(2121Lbaba由于 L 具有任意性，所以 。因此可以设 。因此，上式变为：020,2LbLb12210所以，两个刚体模态为： ， 。可进一步，采用 正规化方法，10aV)(1x102LdxAV求解 、 。通过计算得到：1ab，ALa1b31所以，正规化的刚体模态为，0)2(1L
9、x4. 非零频率对于非零频的特征方程，只能采用数值的方法求解。结果是： ，421)73.4(ALEI。422)85.7(ALEI5. 振型通过线性方程组，4 个方程中的三个，我们可以得到弯曲模态的振型表达式（ ）0 xLxxV nnnnnnnnnn sisihcoshcosshsisih)( 11P11.26 解答11.26 运用假定振型法求解悬臂梁的 2DOF 模型。其中，自由端的变形 和转角)(tv被定义为模型的广义坐标。相应的振型函数如下图所示。)(t解：（a）推导基于如下一般多项式的形函数 和 。)(1x)(23)( LxdcLba12（b）推导此 2DOF 模型的运动微分方程。解：（
10、a）由图可知，对于 而言，有：)(1x.0)(;1)(;0)(;01 L0321Ldcba.2;0ba所以， 3213)(Lxx对于 而言，有：)(2x .1)(;0)(;0)(;0)( 2222 1320Ldcba.;0Lba所以， 322)(xLx（b）1首先求形函数的二阶导数。 2“232“1 6)(;6)( Lxxx2推导刚度和质量矩阵系数 和 。ijkijm3203202“11 16LEIdxLEIdxIkL 220320“2121 6LEIdxIIL 13LEIdxLEIdxIkL 4620202“2 同样的，对于 有：ijmAdxLxAdxLL 351232030211 2320
11、02121 10ALdxLxL 30232022 105AdLxAdxmLL 3装配运动微分方程（因为没有外力，所以广义力为零） 0)(236)(105232 tvLEItvLL P12.8 解答P12.8 一均匀悬臂梁采用如下假定振型简化为一 2-DOF 模型：321)(,)(LxLx（a）推导该 2-DOF 模型的运动微分方程；（b）计算固有频率。并和精确解（例 10.3）以及基频近似值（10.4）比较。解：（a）参考第 11 章例 11.10 的步骤建立运动微分方程 321)(,)(LxLx2121,143“2326)(,)(LxLx因此， 3232131 1,6,4LEIkIkLEIk
12、75AmmA装配系统的运动方程（注意，这里没有外力，所以广义力为零。 ） 0632304212121uLEIu（b）参考第 12 章例 12.3 的步骤解方程，得到固有频率假设简谐运动为代入运动方程，得 0354263221Ui其中， 2420iiEIAL从系数的行列式得特征方程 0)35()6)(4( 222 iii 即 013524ii求解特征方程的根 846.,97.02i利用 22iiEIAL得到15212153.AEIL212807.4I和精确解对比（例 10.3）假定振型法的频率大于精确解的频率，并且所计算出基频的精度远大于第二频率。与例 10.4 瑞利法基频比较（例 10.4 利用瑞利法计算均匀悬臂梁的近似基频。假定形函数为 ）2)(Lx假定振型法的基频小于瑞利法的基频，精度高于瑞利法。
