1、专科起点升本科高等数学（一）知识点汇总平面与直线1、平面方程（1）平面的点法式方程：在空间直角坐标系中，过点 ，以 为),(00zyxM,CBAn法向量的平面方程为称之为平面的点法式方程)()()( 000 zCyBxA（2）平面的一般式方程 称之为平面的一般式方程Dz2、特殊的平面方程 表示过原点的平面方程0CByAx表示平行于 轴的平面方程Oz表示过 轴的平面方程yx表示平行于坐标平面 的平面方程0DCz xy3、两个平面间的关系设有平面 0:111 DzCyBxA222平面 和 互相垂直的充分必要条件是：1 02121CBA平面 和 平行的充分必要条件是：12 22D平面 和 重合的充分
2、必要条件是：12 2121CBA4、直线的方程（1）直线的标准式方程 过点 且平行于向量 的直线方程),(00zyxM,pnms称之为直线的标准式方程（又称点向式方程、对称式方程） 。pznymx000常称 为所给直线的方向向量,s（2）直线的一般式方程称之为直线的一般式方程02211DzCyBxA5、两直线间关系设直线 ， 的方程为1l2111:pznymxl 2221:l直线 ， 平行的充分必要条件为 ；1l2 21nm直线 ， 互相垂直的充分必要条件为1l2 0211p6、直线 与平面 间的关系设直线 与平面 的方程为lpznymx000:)()()(: 000 CBA直线 与平面 垂直
3、的充分必要条件为： l pCnBmA直线 与平面 平行的充分必要条件为：l000Do直线 落在平面 上的充分必要条件为l 00CpBnAmo将初等函数展开成幂级数1、定理: 设 在 内具有任意阶导数,且)(xf)0U， 则在 内0)(limxRn 10)1()!nnnxfx),(0xUnnff )(!)(00)(称上式为 在点 的泰勒级数。或称上式为将 展开为 的幂级数。xf0 )(xf0x2、几个常用的标准展开式 nx01 nnx)(0 !0enx )!12()si0xnn )!(co0xnn xnn1)l(0 xn0)l(常微分方程1、一阶微分方程（1）可分离变量的微分方程若一阶微分方程
4、通过变形后可写成 或 0),(yxFdxfyg)()(则称方程 为可分离变量的微分方程.)(gfy ,2、 、可分离变量微分方程的解方程 必存在隐式通解 。其中： ,dxf)()( CxFyG)(dygyG)(.xF即两边取积分。（2）一阶线性微分方程1、定义：方程 称为一阶线性微分方程.)()(xQyP(1) 非齐次方程 ；0(2) 齐次方程 .)(yx2、求解一阶线性微分方程（1）先求齐次方程 的通解： , 其中 为任意常数。0)(PdxPCey)(（2）将齐次通解的 换成 。即 Cxuxu)(（3）代入非齐次方程 , 得)()(QyCdxeqeyPdxP)()(2、二阶线性常系数微分方程
5、（1）可降阶的二阶微分方程1、 型的微分方程)(xfy例 3： 求方程 的通解.分析： ；xesin21 12cos41Cxedxyx.218Cdxyx2、 型的微分方程),(f解法：(1) 令 ，方程化为 ；yp ),(pxf(2) 解此方程得通解 ；1Cp(3) 再解方程 得原方程的通解),(xy.21d3、 型的微分方程),(yf解法：(1) 令 , 并视 为 的函数, 那么 ,p dypxdpy(2) 代入原方程, 得 ),(pyfd(3) 解此方程得通解 ；,1C(4) 再解方程 得原方程的通解 )(y.21),(xCyd例 4：求方程 的通解.0y分析：(1) 令 , 并视 为 的
6、函数, 那么 ,py dypxdpy(2) 代入原方程, 得 或 02pd(3) 解上方程, 得 , ( ).Cyln|l|lnyp1C1(4) 再解方程 .y11 21|lx(5) 于是原方程的通解为 , ( ) xCe122Ce（2）常系数线性微分方程（1） 、二阶常系数齐次线性方程 的解。0qyp写出特征方程并求解.02qpr下面记 , 为特征方程的两个根.421（1） 时, 则齐次方程通解为：2。xrxreCy21（2） 时, 则齐次方程通解为04qp.)(21211xCexeyxrr （3） 时,有 ,则齐次方程通解为,i)0( ir).sinco(21xCeyx（2）二阶常系数非齐次方程解法方程的形式： 解法步骤：)(xfqyp(1) 写出方程的特征方程 ；02r(2) 求出特征方程的两个根 ；21,(3) 原方程的通解如下表所示:(4) 再求出非齐次方程的一个特解 ；)(*xy(5)那么原方程的通解为 。)(*21xyC特征方程的根 方程的通解21rxrxreC21r)(21 ir )sinco2ex )0(
