1、1工程数学作业（一）答案（满分 100 分）第 2 章 矩阵（一）单项选择题（每小题 2 分，共 20 分）设 ，则 （D ）abc123aabbcc1323A. 4 B. 4 C. 6 D. 6若 ，则 （A ）012aaA. B. 1 C. D. 1112乘积矩阵 中元素 （C ）24035c3A. 1 B. 7 C. 10 D. 8设 均为 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B）A,nA. B. 11()AB11C. D. () 设 均为 阶方阵， 且 ，则下列等式正确的是（D ）,k0A. B. nC. D. kAk()下列结论正确的是（ A ）A. 若 是正交矩阵，则 也是正交矩
2、阵A1B. 若 均为 阶对称矩阵，则 也是对称矩阵B,nBC. 若 均为 阶非零矩阵，则 也是非零矩阵D. 若 均为 阶非零矩阵，则, 0矩阵 的伴随矩阵为（ C）1325A. B. 5C. D. 321321方阵 可逆的充分必要条件是（B ）AA. B. C. D. 00A*0A*0设 均为 阶可逆矩阵，则 （D ）C,n()CB1A. B. ()1C. D. 设 均为 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ）B,A. B. ()22()A2C. D. 11CBCA2（二）填空题（每小题 2 分，共 20 分） 7 2104 是关于 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 1x若 为
3、矩阵， 为 矩阵，切乘积 有意义，则 为 54 矩阵A34B25ACB二阶矩阵 10设 ，则 43034, ()815360设 均为 3 阶矩阵，且 ，则 72 AB, AB32AB设 均为 3 阶矩阵，且 ，则 3 1,12()若 为正交矩阵，则 0 a10a矩阵 的秩为 2 243设 是两个可逆矩阵，则 A12, AO12112A（三）解答题（每小题 8 分，共 48 分）设 ，求 ； ； ； ； ；BC354354, BC23AB5A()ABC答案： 810406A73162A2651237B8052)(CB设 ，求 A1001420, ABC解： 10246131024)(CB已知 ，
4、求满足方程 中的 A314, 3AXB解： 2XB32517345172382)3(1BAX写出 4 阶行列式 0143625中元素 的代数余子式，并求其值a412,答案： 0356)(14 453061)(2442a用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵： ； ； 12210601解：（1） 912019120310 120390610213601121| 23132 3231291 rr rrIA9121A（2） (过程略) (3) 3514207761 101A求矩阵 的秩1002134解： 0011 010112001023143 424132r rr 3)(AR（四）证明题（每小题 4 分，
5、共 12 分）对任意方阵 ，试证 是对称矩阵A证明： )()( A是对称矩阵若 是 阶方阵，且 ，试证 或 nI1证明： 是 阶方阵，且2A或1若 是正交矩阵，试证 也是正交矩阵A证明： 是正交矩阵1)()()1A即 是正交矩阵工程数学作业（第二次） (满分 100 分)第 3 章 线性方程组（一）单项选择题(每小题 2 分，共 16 分)用消元法得 的解 为（C ）xx13410x123A. B. ,02 ,7C. D. 11线性方程组 （B ）xx12364A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解向量组 的秩为（ A ）1012304,A. 3 B. 2 C. 4 D.
6、 55设向量组为 ，则（B ）是极大无关组12340101,A. B. C. D. 12,123,124,1 与 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D）AA. 秩 秩 B. 秩 秩()()AC. 秩 秩 D. 秩 秩若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解以下结论正确的是（D ）A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D. 齐次线性方程组一定有解若向量组 线性相关
7、，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出12, sA. 至少有一个向量 B. 没有一个向量C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量9设 A，为 阶矩阵， 既是又是的特征值， 既是又是的属于 的特征向量，则结论（ ）成立nx 是 AB 的特征值 是 A+B 的特征值 是 AB 的特征值 是 A+B 的属于 的特征向量x10设，为 阶矩阵，若等式（ ）成立，则称和相似 AB)( BPA1BPA（二）填空题(每小题 2 分，共 16 分)当 时，齐次线性方程组 有非零解x120向量组 线性 相关 120,向量组 的秩是 2310,设齐次线性方程组 的系数行列式 ，则这个方程组有 无穷多 解
8、，且23xx1230系数列向量 是线性 相关 的123,向量组 的极大线性无关组是 , ,向量组 的秩与矩阵 的秩 相同 , s12 s设线性方程组 中有 5 个未知量，且秩 ，则其基础解系中线性无关的解向量有 个AX0()A3设线性方程组 有解， 是它的一个特解，且 的基础解系为 ，则 的通解为b0X0X12,Ab210kX9若 是的特征值，则 是方程 的根I10若矩阵满足 ，则称为正交矩阵A1（三）解答题(第 1 小题 9 分，其余每小题 11 分)1用消元法解线性方程组6xx1234123463850124解： 26109378418431005176223140586 41324132
9、 5rrA 310451365072913650879 4321343 579121 rrr方程组解为 31023104234214 51 rr 324x设有线性方程组 112xyz为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?解： 2 32222 )1()1(201 110132 31231 r rrA当 且 时， ，方程组有唯一解3AR当 时， ，方程组有无穷多解1)(AR判断向量 能否由向量组 线性表出，若能，写出一种表出方式其中123,87102350631,解：向量 能否由向量组 线性表出，当且仅当方程组 有解321, 321xx这里 57104102376578,321A)(R方程组无解
10、7不能由向量 线性表出321,计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关 123434789110963,解： 018263149082731,321该向量组线性相关求齐次线性方程组 xx12341245053的一个基础解系解： 30714251034074053213 423141325 rrA 0014500124503214 23134321 rrr方程组的一般解为 令 ，得基础解系 014352xx1310435求下列线性方程组的全部解 xx1234123451359768解： 002871419561428028735116357409152 42314132 5rrA方
11、程组一般解为 00271214r 21794321xx令 ， ，这里 ， 为任意常数，得方程组通解13kx241k2 0211079792121432kx试证：任一维向量 都可由向量组4321,a， ， ，01120314线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式证明： 0101201231034任一维向量可唯一表示为)()()(1001 3423124321432 aaaaaa 4343232121 )()()(试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解证明：设 为含 个未知量的线性方程组BAXn该方程组有解，即 nAR)(从而 有唯一解当且仅当而相应齐
12、次线性方程组 只有零解的充分必要条件是0XnAR)(有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组 只有零解BAX 0X9设 是可逆矩阵的特征值，且 ，试证： 是矩阵 的特征值11证明： 是可逆矩阵的特征值存在向量 ，使A 1111 )()()( AI91A即 是矩阵 的特征值10用配方法将二次型 化为标准型43242124321 xxxxf 解： 232242321 )()()(xf )(x令 ， ， ，y432y3y4yx即 443231yx则将二次型化为标准型 2321yf工程数学作业（第三次） (满分 100 分)第 4 章 随机事件与概率（一）单项选择题 为两个事件，则（ B）成立A
13、,A. B. ()()ABC. D. 如果（ C）成立，则事件 与 互为对立事件A. B. UC. 且 D. 与 互为对立事件U10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券，每人购买 1 张，则前 3 个购买者中恰有 1 人中奖的概率为（D ）A. B. C. D. 10327.0.702.072.4. 对于事件 ，命题（C ）是正确的AB,A. 如果 互不相容，则 互不相容AB,B. 如果 ，则C. 如果 对立，则 对立,D. 如果 相容，则 相容某随机试验的成功率为 ,则在 3 次重复试验中至少失败 1 次的概率为（D ）)10(pA. B. C. D. 3)1(p31( )()()1(23pp6
14、.设随机变量 ，且 ，则参数 与 分别是（A ）XBn,)EXD.,.48096nA. 6, 0.8 B. 8, 0.6 C. 12, 0.4 D. 14, 0.27.设 为连续型随机变量 的密度函数，则对任意的 ， （A ）fx() ab,()EX(A. B. d xfab()dC. D. fab() 8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B ）A. B. fxx()sin,230其 它 fxx()sin,02其 它C. D. f()si,其 它 f()si,0其 它109.设连续型随机变量 的密度函数为 ，分布函数为 ，则对任意的区间 ，则 （ Xfx()Fx()(,)ab)(bXaP
15、D）A. B. Fab()abdC. D. f fx()10.设 为随机变量， ，当（C ）时，有 XEXD(),2EYD(),()01A. B. YYXC. D. 2（二）填空题从数字 1,2,3,4,5 中任取 3 个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为 522.已知 ，则当事件 互不相容时， 0.8 ， 0.3 PAB().,().05AB,PAB()PAB()3. 为两个事件，且 ，则 , P()4. 已知 ，则 p, 15. 若事件 相互独立，且 ，则 , q),()pq6. 已知 ，则当事件 相互独立时， 0.65 ， 0.3 ().,(.035 ()7.设随机变
16、量 ，则 的分布函数 XU,)1XFx()10x8.若 ，则 6 B(,.203E(9.若 ，则 N)P)3)(210. 称为二维随机变量 的 协方差 EY),XY（三）解答题1.设 为三个事件，试用 的运算分别表示下列事件：AC, ABC, 中至少有一个发生；B 中只有一个发生；, 中至多有一个发生； 中至少有两个发生；, 中不多于两个发生；AC 中只有 发生B,解:(1) (2) (3) CBACBA(4) (5) (6)2. 袋中有 3 个红球，2 个白球，现从中随机抽取 2 个球，求下列事件的概率： 2 球恰好同色； 2 球中至少有 1 红球解:设 =“2 球恰好同色”， =“2 球中
17、至少有 1 红球”A503)(523CP 10936)(253CBP3. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是 2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是 3%，求加工出来的零件是正品的概率解：设 “第 i 道工序出正品 ”（i=1,2 ）iA906.)3.1)(02.()|()(12121 A4. 市场供应的热水瓶中，甲厂产品占 50%，乙厂产品占 30%，丙厂产品占 20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率解：设 “1产 品 由 甲 厂 生 产 “2产 品 由 乙 厂
18、 生 产 “3产 品 由 丙 厂 生 产A11“产 品 合 格B )|()|()|()( 332211 ABPABPAP865.0.85.039.505. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止已知他每发命中的概率是 ，求所需设计次数 的概率分布pX解： X)()(2PP213kk)()(故 X 的概率分布是 pppk12)()1()(3216.设随机变量 的概率分布为 02345650103 试求 PXPX(),(),()4253解： 87.12.5.)4(210 P0302)()()()52( X7.03137.设随机变量 具有概率密度 fxx(),0其 它试求 PX(),()1242解：
19、412010xdxf 65)()241( 1421441fXP8. 设 ，求 fxx,0其 它 EXD(),解： 322)()( 101dfXE4022 xxx18)(2)()ED9. 设 ，计算 ； 6.0,12NXPXP()0解： 8164.092.13.2.)3.(.13.()8.2.( P 04759167)67.010.设 是独立同分布的随机变量，已知 ，设 ，求Xn12, EXD(),()112Xnii112EXD(),解： )()(1)(1)( 22 nnni XEXEXE )()(1)(1)() 2222 nnni DDDXD 2工程数学作业（第四次）第 6 章 统计推断（一）
20、单项选择题设 是来自正态总体 （ 均未知）的样本，则（A ）是统计量xn12, N(,)2,2A. B. C. D. x1x1x1设 是来自正态总体 （ 均未知）的样本，则统计量（D ）不是 的无偏估计123, (,)2,2 A. B. ma,1xC. D. 12x23（二）填空题1统计量就是 不含未知参数的样本函数 2参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 常用的参数点估计有 矩估计法 和 最大似然估计 两种方法3比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 ， 有效性 4设 是来自正态总体 （ 已知）的样本值，按给定的显著性水平 检验xn12, N(,)2 ，需选取统计量 H00:;:nxU
21、/05假设检验中的显著性水平 为事件 （u 为临界值）发生的概率|（三）解答题1设对总体 得到一个容量为 10 的样本值X4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0试分别计算样本均值 和样本方差 xs2解： 6.310ix87.295)(212iixs2设总体 的概率密度函数为X13fxx(;)(),101其 它试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数 解：提示教材第 214 页例 3矩估计： ,12)1()(0 nixdxXE12最大似然估计： )()();,( 21121 nnininxL ，0ll,ll 1iiii xdLx 1ln1
22、iix3测两点之间的直线距离 5 次，测得距离的值为（单位：m）：108.5 109.0 110.0 110.5 112.0测量值可以认为是服从正态分布 的，求 与 的估计值并在 ； 未知的情况下，分别N(,)2225.2求 的置信度为 0.95 的置信区间解： 105ix 87.1)(152iixs（1）当 时，由 10.95， 查表得：2. 97.0)(96.故所求置信区间为： 4,68,nx（2）当 未知时，用 替代 ，查 t (4, 0.05 ) ，得 22s2 .2故所求置信区间为： 71,30,s4设某产品的性能指标服从正态分布 ，从历史资料已知 ，抽查 10 个样品，求得均值为
23、17，取显著N()24性水平 ，问原假设 是否成立05.H0:解： ，37.016.4|/217|/| nxU由 ，查表得：95.)(9.因为 1.96 ，所以拒绝2370|05某零件长度服从正态分布，过去的均值为 20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取 8 个样品，测得的长度为（单位：cm）：20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（ ）05.解：由已知条件可求得： 12.0x6712s3.9.|8/59.|/|0nsxT6),().,1(tt | T | 2.62 接受 H014即用新材料做的零件平均长度没有变化。
