1、复合材料力学讲义第一部分 简单层板宏观力学性能1.1 各向异性材料的应力应变关系应力应变的广义虎克定律可以用简写符号写成为：（11）其中 i 为应力分量，C ij 为刚度矩阵 j 为应变分量对于应力和应变张量对称的情形(即不存在体积力的情况)，上述简写符号和常用的三维应力应变张量符号的对照列于表 11。按表 1l，用简写符号表示的应变定义为：表 11 应力应变的张量符号与简写符号的对照注： ij（ij）代表工程剪应变，而 ij（ij）代表张量剪应变（12）其中 u，v，w 是在 x，y，z 方向的位移。在方程(1 2)中，刚度矩阵 Cij 有 30 个常数但是当考虑应变能时可以证明弹性材料的实
2、际独立常数是少于 36 个的存在有弹性位能或应变能密度函数的弹性材料当应力 i 作用于应变 dj 时，单位体积的功的增量为：（13）由应力应变关系式(11)，功的增量为：（14）沿整个应变积分，单位体积的功为：（15）虎克定律关系式(11) 可由方程(15) 导出：（16）于是（17）同样（18）因 W 的微分与次序无，所以：（19）这样刚度矩阵是对称的且只有 21 个常数是独立的。用同样的方法我们可以证明：（110）其中 Sij 是柔度矩阵，可由反演应力变关系式来确定应变应力关系式为（111）同理（112）即柔度矩阵是对称的，也只有 21 个独立常数刚度和柔度分量可认为是弹性常数。在线性弹性
3、范围内，应力应变关系的一般表达式为：（113）实际上，关系式(113) 是表征各向异性材料的，因为材料性能没有对称平面这种各向异性材料的别名是全不对称材料比各向异性材料有更多的性能对称性的材料将在下面几段中叙述各种材料性能对称的应力应变关系式的证明由蔡（Tais）等给出。如果材料有一个性能对称平面应力应变关系式可简化为（114）对称平是 z 0这种材料称为单对称材料单对称材料有 13 个独立的弹性常数。如果材料有两个正交的材料性能对称平面则对于和这两个平面相垂直的第三个平面亦具有对称性。在沿材料主方向的坐标系中的应力应变关系式是：（115）该材料称为正交各向异性材料。注意到正应力 1 2 3
4、和剪应变 23 31 13 之间没有像各向异性材料中存在的(例如由 C14 的存在)相互作用。同样，剪应力和正应变之间没有相互作用，不同平面内的剪应力和剪应变之间也没有相互作用。还注意到在刚度矩阵中现在只剩下 9 个独立常数。如果材料的每一点有一个各个方向的力学性能都相同的平面，那末该材料称为横观各向异性材料例如，假定 12 平面是该特殊的各向同性平面，那末刚度中的下标 l 和 2 是可以互换的这样应力应变关系式中只有 5 个独立常数且可写成（116）如果材料有无穷多个性能对称平面那么上述关系式就简化为各向同性材料的情形，此时刚度炬阵中只有 2 个独立常数。（117）五种最常用的材料性能对称情
5、形的应变应力关系式见方程(118)，(119)，(120)，(121)和(1 22)。各向异性材料(21 个独立常数)（118）单对称材料(13 个独立常数)(对于 z=0 的平面对称)（119）正交各向异性材料(9 个独立常数)(1-20)横观各向同性材料(5 个独立常数)(1-2 平面是各向同性平而)（121）各向同性材料(2 个独立常数)（122）1.2 正交各向异性材料的工程常数工程常数(也称技术常数) 是广义的弹性模量、泊松比和剪切模量以及其它性能常数这些常数可用简单试验如轴向拉伸和疲劳试验来确定因而具有明显的物理解释这些常数比上一节中使用的比较抽象的柔度和刚度矩阵更为直观。最简单的
6、试验是在已知载荷或应力下测量相应的位移或应变这样柔度矩阵比刚 Sij 比刚度矩阵 Cij 能更直接确定对正交各向异性材料用工程常数表示的柔度矩阵为（123）其中 E1 E2 E3分别为 1，2，3 方向上的弹性模量ij为应力在 i 方向作用时 j 方向的横向应变的泊松比即（124）此处 i0，其它应力全为零G23 G31 G12依次为 23，31，12 平面的剪切模量。对于正交各向异性材料，只有 9 个独立常量，因为（125）这是由于柔度矩阵是方程(19)证明的对称刚度矩阵(C ij)的逆阵，当用工程常数代入方程(1 25)时，可得（126）这样正交各向异性材料必须满足这三个互等关系。只有 1
7、2 13 和 23 需要进一步研究，因为 12 13 和 23 能用前三个泊松比和弹性模量来表达后三个泊松比亦不应忽视，因为在某些试验中它们可以测到在正交各向异性材料中 12 和 21 的区别可用图 11 来说明，该图表示了两种在单向应力作用下的正方形单元。第种情况应力作用在图 11 的 1 方向。由方程(1 20)和(123)得到应变为（127）所以变形为图 1-1 12 和 21 的区别（128）其中裁荷方向由上标表示第二种情况是，伺样的应力值作用在图 21 中 2 方向，可得应变为（129）而变形为（130）显然，如果 E1E 2，则 11 22。但是，由互等关系，不管 E1 和 E2
8、关系如何，12=21这是用贝蒂(Betti)定理来处理各向异性材料的一个推广。即当应力作用在 2 方向引起的横向变形(或横向应变)和应力作用在 1 方向引起的相同。由于刚度矩阵和柔度矩阵是互为逆阵，由矩阵代数可得正交各向异性材料的矩阵之间的关系为（132）其中 （133）在方程(1 32)中，符号 S 和 C 在每一处都可互换以得到逆转关系式用工程常数表示正交各向异性材料的刚度矩阵 Cij 可由方程(123)表示的柔度矩阵 Sij 的求逆得到，或者把 Sij 代入方程(1 32)和 (133)得到方程(115)中的非零刚度是（134）其中（135）特别指出，假如要明确一种材料是否是正交各向异性
9、的，可以从各种角度进行力学性能试验，看它是否存在剪力耦合影响的方向，由此确定材料是否是正交各向异性的、各向同性的、或是其它的。确定材料主方向的最简单方法是直观法但是，应用直观法材料的特性必须能很容易地用肉眼看出。例如在用硼环氧带制成的纤维增强简单层板中(图 19)，容易看出纵向就是 l方向同样，2方向在带平面中垂直于纵向的方向而 3方向则由垂直于带平面定出。1.3 弹性常数的限制1.3.1 各向同性材料对各向同性材料，弹性常数必须满足某些关系式如剪切模量可由弹性模量贝E 和泊松比，确定（136）为了使 E 和 G 总是正值，即正的正应力或剪应力乘上对应的正应变或剪应变产生正功，于是（137）同
10、样，如果各向同性体承受着静压力 P 的作用，体积应变(即三个正应变或拉伸应变之和)定义为（138）于是体积模量（139）是正值只要 E 是正值，则（140）因为如果体积模量是负值，则静压力将引起各向同性材料体积膨胀因此对各向同性材料，泊松比的范围是（141）1.3.2 正交各向异性材料正交各向异性材料弹性常数间的关系较为复杂为了避免陷入基于各向同性材料工作基础上的错觉，那些关系式应认真研究，首先，应力分量和对应的应变分量的乘积表示应力所做的功，所有应力分量所做的功必须是正值，以免产生能量该条件提供了弹性常数数值上的热力学限制事实上对前面各向同性材料所做的就是这个限制的结果该限制由伦普里尔(le
11、mpriere)推广到正交各向异性材料。他要求联系应力应变的矩阵在形式上是正定的，即有正的主值或不变量于是，刚度和柔度矩阵两者都是正定的这个数学条件可由下述物理论证来代替，如每次只有一个正应力作用，对应的应变由柔度矩阵对角线元素决定于是，这些元素必须是正的，即（142）或用工程常数表示（143） 同样，在适当的限制下，可能只有一个拉伸应变的变形再则，功只是由相应应力产生的这样，由于所作的功是由刚度矩阵的对角线元素决定的，这些元素必须是正的，即（144）由方程(1 34)（145）同时，因为正定矩阵的行列式必须是正的，得（146）由方程(1 32)，根据刚度矩阵是正值导出（147）利用柔度矩阵的
12、对称性方程(112)，得（148）于是方程(1 45)可以写为（149）如果 Sij 用工程常数表示，方程(149) 也可以从方程(147)得到同样，方程(146)可以表示为（150）亦可改写为（151）为了得到用另外二个泊松比 32 和 13 来表达一个泊松比 21 界限，方程(151)可进一步化为(152)对 32 和 13 可得相似的表达式。前述对正交各向异性材料工程常数的限制，可以用来检验实验数据，看它们在数学弹性模型的范围内是否与实际相一致在硼环氧复合材料的试验中，迪克森(Dickerson) 和戴马蒂诺(DiMartino) 报道说，在 1 方向加载荷引起 2 方向应变的泊松比(
13、12) 高达 1.97，两个方向的弹性模量是 E1=11.86*106 磅/ 英寸2，E 2=1.33*106 磅/英寸 2，于是(153) 和条件(154)是满足的。因此，即使我们按照各向同性材料的直觉知识不能接受这么大的数值，但 12197 却是一个合理的数据。文献没有报道充分的资料以证明行列式条件(2 46)，这个条件可能是比较严格的。文献报道了另一个泊松比 21 为0.22，这个值满足对称条件或互等关系(148)。只有测定的材料性能满足限制条件，我们才有信心着手用这种材料设计结构物。否则，我们就有理由怀疑材料模型或实验数据，或者二者都怀疑。1.4 正交各向异性简单层板的强度1.4.1
14、强度概念在描述层合板时，正交各向异性简单层板的强度特性如同刚度特性一样是一个重要的基础。因为要得到简单层板所有可能方向的强度特性事实上是不可能的，必须确定一个方法，以得到用材料主方向的特性表示任意方向上的特性。在此，众所周知的主应力和主应变的概念是无价值的。这里的中心点是主应力和主应变是与材料方向无关的最大值；应力和应变的方向对各向同性材料毫无意义。因为正交各向异性材料的主应力轴和主应变轴不一定是一致的。还有，在一个方向的强度比另一个方向低，所以最大应力不一定是控制设计的应力，必须合理比较实际的应力场和许用的应力场。前面几节中在刚度关系方面已完成的工作可用作计算实际应力场的基础，尚待确定的是许
15、用应力场。建立在材料主方向的许用应力或强度，是研究正交各向异性简单层板强度的基础。对于应力作用在其自身平面内的简单层板，如果简单层板的拉伸强度和压缩强度是相等的，它具有三个基本强度：X轴向或纵向强度Y横向强度S剪切强度(单位：力面积，即许用应力)。这些强度的方向表示在图 12 中；显然，这些强度是应力 1、 2、 12。单独作用的结果图 12 单向增强简单层板基本强度的确定X=50000 磅/ 英寸 2Y=1000 磅/ 英寸 2S=2000 磅/英寸 2根据纤维的方向，像强度一样刚度在 l方向高而在 2方向低。假定在 12平面内的应力是1=45000 磅/英寸 22=2000 磅/英寸 21
16、2=1000 磅/英寸 2那末，最大主应力显然低于最大强度。然而， 2 比 Y 大，这样简单层板必定在所加应力下破坏。在正交各向异性简单层扳中，要注意的关键是强度是应力方向的函数。相反，对各向同性材料，强度和施加于物体上的应力方向无关。如果材料的拉伸和压缩性能不相等（多数复合材料都是如此)，那末下述强度是必须的：Xt轴向或纵向拉好强度XC轴向或纵向压缩强度Yt横向拉伸强度Yc横向压缩强度，S剪切强度上述强度必须定义在材料主方向上。材料主方向的剪切强度和拉伸与压缩性能的差别无关，它必须由纯剪应力确定。即对于拉伸和压缩呈现不同性能的材料，不管剪应力是正的还是负的，都具有相同的最大值。观察图 13
17、中单向增强简单层板上作用着正的或负的剪应力，可知上述陈述是合理的。剪应力正负的规定和帕加诺与周(Chou)的规定是一致的。在图 13 中，标明了正的和负的剪应力的应力场之间没有区别。这两个应力场彼此镜面对称。即使用图13 的下半部分来检验主应力时也是如此。于是在两种情况下的剪应力的最大值是相同的。图 13 在材料主方向上的剪应力 图 14 在和材科主方向成 45o 角的剪应力但是，在非材料主方向上的剪应力的最大值依赖于剪应力的符号。例如，在和材料主方向成 45o 时，正的和负的剪应力在纤维上产生符号相反的正应力，如图 14 所示。图中对于正的剪应力，纤维方向有拉伸应力，而垂直纤维的方向上有压缩
18、应力对于负的剪应力，纤维方向存在着压缩应力，而拉伸应力垂直于纤维然而材料的法向强度和法向刚度在拉伸和压缩时是不同的。因此对于作用在和材料主方向成 45o 的正的和负的剪应力的表观剪切强度和剪切刚度是不同的。这个道理可以由简单的单向增强简单层板推广到织物材料。上述例子只是分析具有不同拉伸和压缩性能的正交各向异性材料所遇到的因难之一。此外这个例子也说明了，在材料主方向上的那些基本资料是怎样转换到其它有用的依赖于所考虑的应力场坐标的方向这样的转换仅仅指出不管是强度还是刚度，这些基本资料是张量形式的，因此服从张量转换的常用规则。对于拉伸和压缩具有不同强度和刚度的材料的这个课题，不准备探入研究(除了报道
19、不同强度之外) ，因为对这种材料的研究仍处于初始阶段但是这个课题对于一般的复合材料是十分重要的，即使不是纤维增强层合复合材料。1.4.2 强度和刚度的实验确定对于拉伸和压缩性能相等的正交各向异性材料，可以进行一定的基本试验来得到材料主方向的性能。如果正确地进行试验，一般可以同时求得材料的强度和刚度特性刚度特性是述月 E1 E2 12 21 中只有三个是独立的强度特性是X轴向或纵向强度(1方向)Y横向强度(2方向)S剪切强度 (12 平面内)通过下述几个试验，可以得到上述的基本刚度和强度数据。试验的基本原则是，当载荷从零增至极限载荷或破坏载荷时，材料的应力应变关系是线性的这样的线性关系对玻璃环氧
20、复合材料是典型的，对于硼环氧复合材料也是十分合理的。而剪切性能却完全是非线性的，直到破坏为止。这个到破坏为止的线弹性特性和直到塑性开始之前呈现线弹性性能的物体的分析是完全相似的因此塑性理论的某些概念例如屈服函数，对于强度理论是有用的模拟，这点将在后面讨论。简单层板的刚度和强度特性的试验测定中的关键，是使试件承受均匀应力状态。对于各向同性材料达样的加裁是比较容易的。然而，对于正交各向异性复合材料当载荷作用在非材料主方向时此时的应力应变关系式由方程(155) 给出，这个正交各向异性性能将导致：(1)正应力和剪应变(2)剪应力和正应变(3)正应力和弯曲曲率(4)弯曲应力和正应变之间出现藕合影响这样为
21、了保证得到所期望的数据，必须特别谨慎。(155)首先考虑一单向增强简单层板平片在 1方向的单向拉伸试验如图 15 所示。在这个试验中测量应变 1 和 2，由定义：(156)其中 A 是垂直于作用载荷的试件横截面积。第二，考虑一单向增强简单层扳平片在 2方向的单向拉伸试验如图 16所示像第一种试验那样，测出 1 和 2，这样(157)其中 A 也是垂直于作用载荷的试件横截面积。图 15 在 1方向作用单向载荷 图 16 在 2方向作用单向载荷此时，刚度性能必须满足互等关系式：(158)否则就存在着三种可能性(1)测量的数据不准确(2)进行的计算有错误(3)材料不能够用线弹性应力应变关系式描述第三
22、考虑一简单层板平片，在和 l方向成 45o 角的单向拉伸试验如图 17 所示。单独测量 x，显然(157)应用方程(1 59)中转换关系式(158)(159) 其中，只有 G12 是未知的。于是(160)对于强度，不存在像方程(160)一样的关系式因为强度没有必要像刚度一样转换因此，不可能依赖这个试验来决定极限剪应力 S，因为伴随的剪切破坏并不引起纯剪切变形所以，必须考虑得到 S 的其它方法。(161)然而，在转到决定剪切强度的其它方法之前，评论进行第三种试验的难易程度是合适的。显然，由方程(161)可见，由于 S16 的存在，在正应力 x 和剪应变 xy 之间存在着藕合影响这样，虽然只有 P
23、 力表示在图 17 中，试验并不能正确地进行，除非作用力是均匀地横贯于端部，且简单层板的端部像图18 的左图那样自由变形否则，如果简单层板的端部嵌在试验机中，并作用着合力 P 则简单层板将由剪切变形受到限制而扭曲成如图 18 右图中的形式如果和宽度相比试件足够长，在这种试件的中部，其变形相似于图 18 所示的没有限制的简单层板的剪切和拉伸。这就是说，远离圣绍南(gtvenant) 端部效应，试验的方式是无关紧要的然而在正常情况下，我们不能选用足够多的材料来得到有用的标距段。图 17 单向裁荷作用在和 1方向成 45o 角 图 18 载荷自纤维成 45o 角的单向增强简单层扳的变形图 17 和
24、18 表示的非铀向试验的另一个特性，实际上不是测弹性模量 Ex，而是测量了转换后的二维刚度 Q11 除非试件有高的长 宽比。这个矛盾的原因在于，在试件中几何上容许的应变状态强烈地依赖于几何形状。如果试件是长而细的，按照圣维南原理，试件端部夹紧的边界条件是不重要的因此可以得到纯粹的单向应变：(162) 然而，对短而粗的试件端部限制： x0， y=xy =0 将导致应力应变关系：(163) 读者可利用所述条件和推导 x 的关系来证明方程(162)和(163)。方程（262）的 Ex 和方程(1 63)中的 Q11 的区别是显著的，它可通过石墨环氧试件的图 19 得到最好的说明图中，对于和纤维方向成
25、 30o 角的非轴向试验，Q 11的值比 Ex 大 10.4 倍Q 66 和 Qxy 相比亦存在相似的差别。对于 E1E 2 的值较低的材料，Q 11 和 Ex 之间的差别是较小的Q 11 和 Ex 之间的差别的实际意义是非轴向试件的长宽比必须足够大以保证测量的是 Ex 而不是 Q11。图 19 刚度圆 Q66 和 Qxy 与弹性模量 Gxy 和 Ex 的比较讨论的最后一个试验实际上包括测定剪切模量和强度的一组试验。讨论了几个试验。因为每一个试验都有缺点而且在某种程度上，它们没有被普遍承认为是最好的剪切性能试验。由惠特尼，帕加诺和派普斯描述的管子扭转试验简明地表示在图 110 中。图中，薄的圆
26、管在两端承受扭矩 T管子由全部平行于管轴，或者全部周向的多层纤维薄片组成。如果管壁很薄，有理由确信在整个壁厚内是等应力状态的。然而，由于管壁簿，端部夹固困难。通常，管子的端部由附加胶按层来加厚，以使加栽时，破坏发生在管子中间的均匀应力部分。制造扭转试件管子的费用高，且需要比较完善的测试设备如果测得在剪应力 12 作用下的剪应变 12 则(164)(165)也可得到应力应变曲线的线性部分的剪切弹性模量(166)然而，典型的剪应力剪应变曲线是完全非线性的，如图 110 所示因此，如像韩(Hahn)和蔡(tsai)所做的那样，在实际分析中应该用完全的应力应变曲线代替初始“弹性”模量。尽管如此，大多数
27、复合材料仍然是用方程(166)给出的初始弹性模量进行分析的。图 110 管子扭转试验另一个用来测量复合材料剪切模量和剪切强度的试验是肖克(Shockey)提供的“十字梁”试验，他评价的复合材料简单层板为夹层梁的面板，梁的芯子的弹性模量约比简单层板小二个数量级。如图 111 表示的承受着载荷的十字梁。这样产生了一个薄膜应力状态，与 x 抽成 45o 方向，可能是均匀纯剪应力。然面由于交叉角处的应力集中，均匀应力状态只是在十字中心才达到。破坏在交叉角处开始。所以十字梁试验不是一个合适的测量剪切强度和剪切刚度的方法。还有一种剪切强度和剪切刚度试验，它是由惠特尼(Whitney)，斯坦斯巴杰(Stan
28、sbarger)和豪厄尔(howell)所描述的 “轨道剪切”试验。用两根轨道在简单层板两对边用螺栓连结起来，如图 112 所示，一对在层合板的顶部伸出而另一对在层合板的底部伸出，组合件放置在万能试验机加载夹头之间加压。这样，简单层板中引起剪切，考虑到端部影响(例如简单层板顶部和底部的自由边)，这种试件的几何形状必须仔细选择。这些和其它一些影响可能导致测定的强度低于实际情况。尽管如此“轨道剪切”试验在航空工业中是广泛应用的，因为它简单、便宜而且还能用来做高低温的试验。图 111 夹层十字梁试验 图 112 “轨道剪切”试验 第二部分 简单层板的微观性能2.1 刚度的材料力学分析方法材料力学方法
29、的主要特点是对复合材料的力学性能作一些简化假设。最主要的假设是：在单向纤维复合材料中，纤维和基体在纤维方向的应变是一致的，如图21 所示，由于基体和纤维的应变是相同的，显然垂直于 1 轴的截面在承载前是平面，在承载后仍是平面上述假设是材料力学方法最基本的假设，如在梁、板和壳体理论中常用的那样。在此基础上，我们将导出单向纤维增强复合材料的表观正交各向异性弹性模量的材料力学表达式。图 21 在 1方向承裁的代表性体积单元2.1.1 E1 的确定要确它的第一个弹性模量是在复合材料的 1方向上，即纤维方向的弹性模量。由图 21（21）根据基本假设，式中 1 适用于纤维和基体两者的应变。如果两种组分材料
30、都处于弹性状态，则应力是（22）平均应力 1 作用在描截面 A 上， f 作用在纤维的横截面 Af 上， m 作用在基体的横截面 Am 上。作用在复合材料单元上的合力是（23）将(2 2)式代入 (23)式并认为（24）显然（25）纤维和基体的体积比可写成（26）这是纤维方向表现弹性模量的混合律表达式，混合律如图 22 所示。混合律表示，当 Vf 从 0l 变化时，表现弹性模量 E1 从 Em 线性变化到 Ef图 22 E1 随纤维体积含量的变化 图 23 在 2方向承载的代表性体积单无2.1.1 E2 的确定下面研究垂直于纤维方向的“表观”弹性模量 E2。在材料力学方法中，假定纤维和基体承受
31、着同一个横向应力 2，如图 23 所示。因此纤维和基体的应变是（28）f 作用的横向尺寸近似乎均值为 Vf W。作用的为 VmW。总的横向变形为（29）或 （210）用(2 8)式代入后，它成为（211）但（212）因此（213）这是在垂直纤维方向的表观弹性模量的材料力学表达式。方程(313)可以无量纲化，成为（214）表 3 给出了三个基体对纤维模量比 E2E m 值表 31 对不同 EmE f 和 Vf 值给出 E2E m 值在图 24 中，如果 Vf1，则预测的模量即为纤维模量。如果作用的是拉伸应力 2，那就意味着纤维之间的粘结是理想的如果作用的是压缩应力 2，并不意味着要这种粘结。即使
32、在 Ef10 Em 时，需要 50%以上的纤维体积含量才能使横向模量提高到基体模量的两倍。这就是说，除非纤维的百分比很高，否则纤维对横向模量的提高不能起大的作用。显然，上述推导中包括的假设并不是完全一致性的按照(28)式，在纤维和基体界面上的横向应变是不一致的，而且纤维和树脂的横向应力也不相同。相反垂直于纤维和基体边界面上的位移完全一致将形成一精确解，以确定“表观”的横向弹性模量，这种解答只有用弹性力学方法才能得到。这种不一致性只有用实验结果与之比较才能估量。对这一解要注意的另外一点是，如果纤维和基体的泊松比不相同(它们很可能是不同的)，那么在纤维和基体中出现了纵向应力(纵向的净合力为零)以及
33、在纤维和基体界面上出现了剪应力。这种剪应力在某些应力状态下必然出现。因此不能把这一材料特性看成是不合适的或者是一个不适当解的标志。图 24 E2E m 随纤维体积含量 N 变化 图 35 在 1方向承截的代表性体积单元2.2.3 12 的确定主泊松比 12 可由类似于分析 E1 的方法得到。当应力 1 而其它应力全为零时，主泊松比定义为（215）变形如图 35 所示。横向变形 w 是（216）但（217）用分析横向弹性模量 E2 的方法，变形 mw 和 fw 近似地为（218）这就是对主泊松比的混合律，用类似 E1 的方法绘于图 26 中。很明显，如果m =f 那么 12 =m =f =。图
34、2612 随纤维体积含量的变化 图 27 受剪切裁荷时的代表性体积单元2.2.4 G12 的确定在材料力学方法中，简单层板的平面内剪切模量 G12 是由假定纤维和基体中的剪应力相等来确定的裁荷如图 27 所示由基本假设（220）不考虑纤维增强复合材料典型的剪应力剪应变非线性性能，认为该性能是线性的。在微观尺度上，变形如图 28 所示总的剪切变形为（221）近似地由（222）组成，由于 m+f 除以 W 得（223）把（220）式代入，并认为（224）则（223）式可写成（225）最后（226）这和横向弹性模量 E2 的表达式一样。象 E2 一样，G 12 的表达式可用基体模量正化，表示为（22
35、7）用若干 GmG f 值将上述方程绘于图 38 中。同 E2 一样，基体模量是 G12 表达式中的主要项当 GfG m =10 时，只有当纤维体积超过总体积的 50%时，G 12才能提高到 Gm 的两倍。图 28 代表性体积单元的剪切变形图 29 G12 随纤维体飘含量的变化2.2.5 小结前面所述仅是使用材料力学方法的一些例子。用物理性质的其它假说对正交各向异性层的四个弹性模量可以导出不同的表达式。例如，欧克凡尔(Ekvall)考虑了由于纤维约束引起在基体中的三向应力状态而得到了凡 E1 和 E2 混合律表达式的修正式（228）式中：（229）但是，当 m 0.25 时，对上述表达式的修正并不显著还作出了正方形或矩形纤维代替圆纤维或由于纤维引起的应力集中等各种特点的其它修正。
