1、第二部分 题型研究题型四 新定义与阅读理解题类型二 新概念学习型针对演练1. 若 x1， x2是关于 x 的方程 x2 bx c0 的两个实数根，且| x1| x2|2| k|(k 是整数)，则称方程 x2 bx c0 为“偶系二次方程” 如方程x26 x270， x22 x80， x23 x 0， x26 x270, x24 x40 都是“偶274系二次方程”. (1)判断方程 x2 x120 是否是“偶系二次方程” ，并说明理由；(2)对于任意一个整数 b，是否存在实数 c，使得关于 x 的方程 x2 bx c0 是“偶系二次方程” ，并说明理由. 2. 设二次函数 y1， y2的图象的顶
2、点分别为( a， b)、( c， d)，当 a c， b2 d，且开口方向相同时，则称 y1是 y2的“反倍顶二次函数” (1)请写出二次函数 y x2 x1 的一个“反倍顶二次函 数” ；(2)已知关于 x 的二次函数 y1 x2 nx 和二次函数 y2 nx2 x；函数 y1 y2恰是y1 y2的“反倍顶二次函数” ，求 n.3. 函数 y 和 y (k0)的图象关于 y 轴对称，我们定义函数 y 和kx kx kxy (k0)相互为“影像”函数：kx(1)请写出函数 y2 x3 的“影像”函数：_；(2)函数_的“影像”函数是 y x23 x5; (3)若一条直线与一对“影像”函数 y
3、(x0)和 y (x0)的图象分别交于点2x 2xA、 B、 C(点 A、 B 在第一象限)，如图，如果 CB BA12，点 C 在函数 y (x0)的2x“影像”函数上的对应点的横坐标是 1，求点 B 的坐标第 3 题图4. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 P0的坐标为(1，0)，将线段 OP0按逆时针方向旋转 45，再将其长度伸长为 OP0的 2 倍，得到线段 OP1，又将线段 OP1按逆时针方向旋转45，长度伸长为 OP1的 2 倍，得到线段 OP2，如此下去，得到线段 OP3， OP4， OPn(为正整数)(1)求点 P3的坐标； (2)我们规定：把点 Pn(xn， yn)(n0，1
4、，2，3)的横坐标 xn、纵坐标 yn都取绝对值后得到的新坐标(| xn|，| yn|)称为点 Pn的“绝对坐标” ，根据图中 Pn的分布规律，求出点Pn的“绝对坐标” 第 4 题图考向 2) 几何类(杭州：2015.19；台州：2016.23，2015、2013.24；绍兴：2017.22，2013.22，2012.21)针对训练1. (2017 绍兴)定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形(1)如图，等腰直角四边形 ABCD， AB BC， ABC90. 若 AB CD1， AB CD，求对角线 BD 的长； 若 AC BD，求证： AD CD.(2)如图，
5、在矩形 ABCD 中， AB5， BC9，点 P 是对角线 BD 上一点，且 BP 2PD，过点 P 作直线分别交边 AD， BC 于点 E， F，使四边形 ABFE 是等腰直角四边形求 AE 的长第 1 题图2. 阅读下面的材料：如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的 一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形” ，如图， ABEF 即为 ABC 的“友好平行四边形” 请解决下列问题：(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好矩形” ；(2)若 ABC 是钝角三角形，则 ABC 显然只有一个“友好矩
6、形” ，若 ABC 是直角三角形，其“友好矩形”有_个；(3)若 ABC 是锐角三角形，且 AB AC BC，如图，请画出 ABC 的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的“友好矩形” ，并说明理由第 2 题图)3. (2017 常州)如图，在四边形 ABCD 中，如果对角线 AC 和 BD 相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形(1)在“平行四边形、矩形、菱形”中，_一定是等角线四边形(填写图形名称)；若 M、 N、 P、 Q 分别是等角线四边形 ABCD 四边 AB、 BC、 CD、 DA 的中点，当对角线AC、 BD 还需要满足_时，四边形 MNPQ 是正方形；(2)如图，已
7、知 ABC 中， ABC90， AB4， BC3， D 为平面内一点若四边形 ABCD 是等角线四边形，且 AD BD，则四边形 ABCD 的面积是_； 设点 E 是以 C 为圆心，1 为半径的圆上的动点，若四边形 ABED 是等角线四边形，写出四边形 ABED 面积的最大值，并说明理由第 3 题图4. (2017 黄石)在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4 的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为 1，我们不妨就把这样的矩形2称为“标准矩形” 在“标准矩形” ABCD 中， P 为 DC 边上一定点，且 CP BC，如下图所示(1)如图，求证： BA BP；
8、(2)如图，点 Q 在 DC 上， 且 DQ CP，若 G 为 BC 边上一动点，当 AGQ 的周长最小时，求 的值；CGGB(3)如图，已知 AD1，在(2)的条件下，连接 AG 并延长交 DC 的延长线于点 F，连接BF，T 为 BF 的中点， M、 N 分别为线段 PF 与 AB 上的动点，且始终保持 PM BN，请证明： MNT 的面积 S 为定值，并求出这个定值第 4 题图5. 对于一个四边形给出如下定义：如一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形，如图中， B D， AB AD；如图中， A C ， AB AD 则这样的四边形均为奇特四边形(1)在图中，若 AB A
9、D4， A60， C120，请求出四边形 ABCD 的面积； (2)在图中，若 AB AD4， A C 45，请直接写出四边形 ABCD 面积的最大值；(3)如图，在正方形 ABCD 中， E 为 AB 边上一点， F 是 AD 延长线上一点，且BE DF，连接 EF，取 EF 的中点 G，连接 CG 并延长交 AD 于点 H，若 EB BC m，问四边形BCGE 的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值(用含 m 的代数式表示)；如果不是，请说明理由第 5 题图6. 类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形” (1)如图，在四边形 ABCD 中，添加一个条件
10、使得四边形 ABCD 是“等邻边四边形”请写出你添加的一个条件；(2)小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由；(3)如图，小红作了一个 Rt ABC，其中 ABC90， AB2， BC1，并将 Rt ABC沿 ABC 的平分线 BB方向平移得到ABC，连接 AA， BC.小红要使平移后的四边形 ABC A 是 “等邻边四边形” ，应平移多少距离(即线段 BB的长)?第 6 题图7. (2017 江西)我们定义：如图，在 ABC 中，把 AB 绕点 A 顺时针旋转 (0 180)得到 AB，把 AC 绕点 A 逆时针旋转 得到 AC，连接 BC. 当 180
11、时，我们称 ABC 是 ABC 的“旋补三角形” ， ABC 边 BC 上的中线 AD 叫做 ABC 的“旋补中线” ，点 A 叫做“旋补中心” 特例感知(1)在图，图中， ABC 是 ABC 的“旋补三角形” ， AD 是 ABC 的“旋补中线”如图，当 ABC 为等边三角形时， AD 与 BC 的数量关系为 AD_ BC；如图，当 BAC90， BC8 时，则 AD 长为_猜想论证(2)在图中，当A BC 为任意三角形时，猜想 AD 与 BC 的数量关系，并给予证明拓展应用(3)如图，在四边形 ABCD 中， C90， D150， BC12， CD2 ， DA6.3在四边形内部是否存在点
12、P，使 PDC 是 PAB 的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求 PAB 的“旋补中线”长；若不存在，说明理由第 7 题图答案1. 解：(1)不是理由如下：解方程 x2 x120，得 x14 ， x23，|x 1| x2|432|3.5|，3.5 不是整数，方程 x2 x120 不是“偶系二次方程” ；(2)存在理由如下：方程 x26 x270， x26 x270 是“偶系二次方程” ，假设 c mb2 n，当 b6， c27 时，有2736 m n， x20 是“偶系二次方程” ， n0， m ，34 c b2.34又 x23 x 0 也是“偶系二次方程” ，274当 b3 时， c 3
13、2，274 34可设 c b2，34对任意一个整数 b，当 c b2时， b2 4ac b24 c 4b2，34 x ， x1 b， x2 b， b2|b|2 32 12| x1| x2| |b| |b|2| b|.32 12 b 是整数，对于任意一个整数 b，存在实数 c，当且仅当 c b2时，关于 x 的方程，34x2 bx c0 是“偶系二次方程” 2. 解：(1) y x2 x1， y( x )2 ，12 34二次函数 y x2 x1 的顶点坐标为( ， )，12 34二次函数 y x2 x1 的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为( ， )，12 32反倍顶二次函数的解析式为 y( x
14、 )2 x2 x ；12 32 74(2)y1 y2 x2 nx nx2 x( n1) x2( n1 )x( n1)( x2 x)( n1)( x )212，n 14顶点的坐标为( ， )，12 n 14y1 y2 x2 nx nx2 x(1 n)x2( n1) x(1 n)(x2 x) (1 n)(x )122 ，1 n4顶点的坐标为( ， )，12 1 n4由于函数 y1 y2恰是 y1 y2的“反倍顶二次函数” ，则2 ，1 n4 n 14解得 n .133. 解：(1) y2 x3；【解法提示】令 x x 得 y2 x3.(2)y x23 x5；【解法提示】令 x x 得 y x23
15、x5.(3) 如解图，作 CC x 轴， BB x 轴， AA x 轴垂足分别为 C 、 B 、 A ，第 3 题解图设点 B(m， )， A(n， )，其中 m0， n0，2m 2n由题意，将 x1 代入 y 中解得 y2，2x点 C(1，2)， CC2， BB ， AA ，2m 2n又 AB n m， BC m1， CC BB AA， CB AB12, 则BC AB 12，则 ，消去 n 化简得到 3m22 m30, n m 2（ m 1）2m 2n 23（ 2 2n） )解得 m 或 (舍弃)，1 103 1 103 ，2m 21 103 2 2103点 B 坐标为( ， )1 103
16、2 21034. 解：(1)根据题意，得 OP3 2OP2 4OP1 8OP08 , 根据等腰直角三角形的性质， 得 P3(4 ，4 ); 2 2(2)由题意知，旋转 8 次之后回到轴的正半轴，在这 8 次旋转中，点分别落在坐标象限的角平分线上或 x 轴或 y 轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况：当 Pn的 n0，4，8，12，则点在 x 轴上，则“绝对坐标”为(2 n，0) ，当 Pn的 n2，6，10，14，则点在 y 轴上，则“绝对坐标”为(0，2 n) ；当 Pn的 n1，3，5，7，9，则点在各象限的角平分线上，则“绝对坐标”为(2n
17、1 ，2 n1 )2 2考向 2 几何类针对演练1. 解：(1) AB CD1， AB CD，四边形 ABCD 是平行四边形，又 AB BC， ABCD是菱形又 ABC90，四边形 ABCD 为正 方形， BD ；2如解图，连接 AC， BD，第 1 题解图 AB BC， AC BD， ABD CBD，又 BD BD， ABD CBD， AD CD；(2)若 EF 与 BC 垂直，则 AE EF， BF EF，四边形 ABFE 不是等腰直角四边形，不符合条件；若 EF 与 BC 不垂直，当 AE AB 时，如解图，此时四边形 ABFE 是等腰直角四边形，第 1 题解图 AE AB5；当 BF
18、AB 时，如解图，此时四边形 ABFE 是等腰直角四边形，第 1 题解图 BF AB5. DEBF ， PED PFB， ，EDFB PDPB 12 DE2.5， AE92.56.5.综上所述， AE 的长为 5 或 6.5.2. 解：(1)三角形的一边与矩形的一边重合，三角形这边所对的顶点在矩形这边的对边上；(2)2；【解法提示】如解图的矩形 BCAF、矩形 ABED 为 Rt ABC 的两个“友好矩形” ；第 2 题解图(3)此时共有 3 个“友好矩形” ，如解图的矩形 BCDE、矩形 CAFG 及矩形 ABHK，其中的矩形 ABHK 的周长最小理由如下：矩形 BCDE、矩形 CAFG 及
19、矩形 ABHK 均为 ABC 的“友好矩形” ，这三个矩形的面积相等，令其为 S，设矩形 BCDE，矩形 CAFG 及矩形 ABHK 的周长分别为 L1，L 2，L 3，ABC 的边长 BC a， CA b， AB c，则 L1 2a， L2 2b， L3 2c，2Sa 2Sb 2Sc L1 L2( 2a)( 2b) (b a)2( a b)2( ab) ，而2Sa 2Sb 2Sab ab Sabab S， a b， L1 L20，即 L1 L2，同理可得， L2 L3， L3最小，即矩形 ABHK 的周长最小3. 解：(1)矩形；【解法提示】平行四边形和菱形的对角线不相等，矩形的对角线相等，
20、故矩形一定是等角线四边形垂直；【解法提示】四边形 ABCD 是 等角线四边形， AC BD， M、 N、 P、 Q 分别是边AB、 BC、 CD、 DA 的中点， MN PQ AC， PN MQ BD， MN PQ PN MQ， 四边形12 12MNPQ 是菱形， 根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可知需要四边形 MNPQ 有一个角是直角，又易知 MN PQ AC， PNQMBD ，要使四边形 MNPQ 是正方形需要 AC BD.(2)3 2 ；21 AD BD， D 在 AB 的垂直平分线上，四边形 ABCD 是等角线四边形， AC BD，在 Rt ABC 中， ABC90， AB4， B
21、C3， AC5， BD5，如解图，取 AB 的中点 为 M，则 DM AB，第 3 题解图在 Rt ADM 中， AD BD5， AM BM2，由勾股定理得 DM ；21 S 四边形 ABCD SABD SBCD ABDM BCBM12 12 4 3232 ；12 21 12 21四边形 ABED 面积最大值为 18，理由如下：如解图，设 AE 与 BD 交于点 O，夹角为 ，则第 3 题解图S 四边形 ABED SAED SABE AEODsin AEOBsin AEBDsin，12 12 12 AE BD， S 四边形 ABED AE2sin，12当 AE 最大，且 90时，四边形 ABE
22、D 的面积最大，此时延长 AC 交圆 C 于 E，则 AE 最大为 516，四边形 ABED 的最大面积为 6218.124. (1)证明：如解图所示，第 4 题解图 PC BC， BCP90， BP BC，2又矩形 ABCD 为“标准矩形” ， AB BC，2 AB BP；(2)解：如解图，作点 Q 关于直线 BC 对称的点 F，连接 AF 交 BC 于点 E，连接QE、 GF，第 4 题解图 DQ CP， CQ DP CF 且 AQ 为定值， EQ EF， GQ GF， AQ 为定值，要使 AGQ 的周长最小时，只需 AG GQ AG GF 最小，显然 AG GF AF AE EF AE
23、EQ，即当点 G 与点 E 重合时， AGQ 的周长最小，此时 ，CGGB CEEB CFAB DPAB 1 1 ，DPAB CD CPAB AB BCAB BCAB 22当 AGQ 的周长最小时， 1 ；CGGB 22(3)证明：如解图， MN 交 AF 于点 K，连接 KT，第 4 题解图由(2)可知， CF DP， PF AB 且 PFAB ，四边形 ABFP 为平行四边形，又由 PM BN， MF AN， MFK NAK，点 K 为 AF 与 MN 的中点，又点 T 为 BF 的中点， KT 为 FAB 的中位线， SFKT STMK STKN ， SMNT 2 SFKT SFAB S
24、 平行四边形 ABFP ，12 14 14 2 24 MNT 的面积 S 为定值，这个定值为 .245. 解：(1)如解图，设 AC 与 BD 交于点 O；第 5 题解图 AB AD， A60， ABD 是等边三角形， AB AD BD4, ABD ADB60， ABC ADC， CBD CDB， BCD120， CBD CDB30， CB CD， AB AD， AC BD， BO OD2， OA ABsin602 ， OC OBtan30 ，3233 S 四边形 ABCD BDOA BDOC BD(OA OC) ；12 12 12 1633(2) ；2【解法提示】如解图，作 DH AB 于
25、H，过点 B、 D、 C 作圆，连接 BD，第 5 题解图 C C45，当 CB CD 时， BDC的面积最大，此时四边形 ABCD 的面积最大，易证四边形 ABCD 是菱形，在 Rt AHD 中， A45 ， AHD90， AD4， AH HD2 ，2四边形 ABCD 的面积 ABDH8 ，2四边形 ABCD 的 面积的最大值为 8 .2(3)四边形 BCGE 的面积是定值，理由如下：如解图，连接 EC、 CF，作 FM BC 于 M.第 5 题解图在 BCE 和 DCF 中，BE DF EBC FDC，BC DC ) BCE DCF(SAS)， CE CF， EG GF， SECG SFC
26、G ，四边形 CDFM 是矩形， BC DC MF， DF BE CM， BM m， BE FM m， FCM， DCF， BCE 的面积相等， S 四边形 BCGE S 四边形 BEFM mm m2.12 12 12 146. 解：(1) AB BC 或 BC CD 或 CD AD 或 AD AB；(2)解：小红的结论正确理由如下：四边形的对角线互相平分，这个四边形是平行四边形，四边形是“等邻边四边形” ，这个四边形有一组邻边相等，这个“等邻边四边形”是菱形；(3)由 ABC90， AB2， BC1，得： AC ，5将 Rt ABC 平移得到 Rt ABC ， BB AA ， ABAB ，
27、AB AB2， BC BC1， AC AC ，5()如解图，当 AA AB 时， BB AA AB2；第 6 题解图()如解图，当 AA AC 时， BB AA AC ；5第 6 题解图()当 AC BC 时，如解图，延长 CB 交 AB 与点 D，则 CB AB，5第 6 题解图 BB平分 ABC， ABB ABC 45，12 BBD ABB 45， BD BD，设 BD BD x，则 CD x1， BB x，2根据在 Rt BCD 中， BC 2 CD 2 BD2即 x2( x1) 25，解得： x1 或 x2( 不合题意，舍去)， BB x ；2 2第 6 题解图()当 BC AB2 时
28、，如解图，与()方法同理可得： x 或 x 1 72(舍去)， 1 72 BB x .2 2 142故应平移 2 或 或 或 的距离 5 2 2 1427. 解：(1) ，4；12【解法提示】如解图中，第 7 题解图 ABC 是等边三角形， AB BC AC AB AC ， DB DC ，A D BC ，BAC 60， BAC BAC 180， BAC 120， B C 30， AD AB BC.12 12如解图中，第 7 题解图 BAC90， BAC BAC 180， BAC BAC90， AB AB ， AC AC ， BAC BAC ， BC BC ， BD DC ， AD BC BC4
29、；12 12(2)猜想： AD BC.12理由：如解图中，延长 AD 到 M，使得 AD DM，连接 BM ， CM ，第 7 题解图 BD DC， AD DM ，四边形 ACMB 是平行四边形， AC BM AC， BAC BAC 180， BAC ABM 18 0， BAC MBA, AB AB， BACABM ， BC AM， AD BC；12(3)存在理由：如解图中，延长 AD 交 BC 的延长线于 M，作 BE AD 于 E，作线段 BC 的垂直平分线交 BE 于 P，交 BC 于 F，连接 PA、 PD、 PC，作 PCD 的中线 PN，连接 DF 交 PC 于 O，第 7 题解图
30、 ADC 150， MDC30，在 Rt DCM 中， CD2 ， DCM90， MDC30，3 CM2， DM4， M60，在 RtBEM 中，BEM90，BMBCCM14，MBE30， EM BM7，12 DE EM DM3， AD6， AE DE, BE AD， PA PD， PB PC，在 Rt CDF 中， CD2 ，CF6，3 CDF CPE60，易证 FCP CFD， CD PF， CD PF，四边形 CDPF 是矩形， CDP90， ADP ADC CDP 60， ADP 是等边三角形， APD60， BPF CPF 60， BPC120， APD BPC180， PDC 是 PAB 的“旋补三角形” ，在 Rt PDN 中， PDN90， PD AD6， DN ，3 PN .DN2 PD2 （ 3） 2 62 39
