1、1 北京师范大学附属中学2016-2017学年高一数学下学期期末考试试 题 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 一、选择题（每小题4分，共32分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项） 1. 若实数a，b满足ab，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 2 2 b a B. b a 1 1 C. 2 2 b a D. 3 3 b a 2. 对变量 y , x 有观测数据理据 , , i )( y , x ( i i 2 1 ，10） ，得散点图1：对变量 v , u 有观 测数据 , 2 , 1 )( , ( i v u i i ，10） ，得散点图2，由这两个散点图可以判断
2、（ ） A. 变量x与y正相关，u与v正相关 B. 变量x与y正相关，u与v负相关 C. 变量x与y负相关，u与v正相关 D. 变量x与y负相关，u与v负相关 3. 从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据 用茎叶图表示（如图所示） 。设甲乙两组数据的平均数分别为 。 。 x x , ，中位数分别为 。 m ， 。 m ，则（ ） A. 。 。 。 。 m m x x , B. 。 。 。 。 m m x x , C. 。 。 。 。 m m x x , D. 。 。 。 。 m m x x ,2 4. 执行下面的程序框图，如果输入a4，那么输出的n的值为（
3、） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 公差不为零的等差数列的第1项、第6项、第21项恰好构成等比数列，则它的公比 为（ ） A. 3 1 B. 3 1 C. 3 D. 3 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 若两条直线都平行于同一个平面，则这两条直线平行； B. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直； C. 若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面； D. 若两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线共面。 7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ） A. 3 2 B. 2 3 C. 2 2 D. 23 8. 在ABC中， 4 B ，
4、BC 边上的高等于 BC 3 1 ，则cosA（ ） A. 10 10 3 B. 10 10 C. 10 10 D. 10 10 3 二、填空题（每小题5分，共30分） 9. 一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，按男、女比例用分层抽样的 方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_。 10. 若 y x, 满足 , 2 , 3 x y y x x ，则 y x 2 的最大值为_。 11. 如图所示，在某路段检测点，对180辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为如下 频率分布直方图，则车速不小于90km/h的汽车约有_辆。 12. 边长为2的正方形中有一
5、封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子， 落在阴影区域内的概率为 3 2 ，则阴影区域的面积为_。 13. 若不等式 2 | | 2 x x a 对任意实数x恒成立，则a的取值范围是_。 14. 数列 n a 中，如果对任意 * N n 都有 k a a a a n n n n 1 1 2 （k为常数） ，则称 n a 为等 差比数列，k称为公差比，现给出下列命题： 等差比数列的公差比一定不为0； 等差数列一定是等差比数列； 若 2 3 n n a ，则数列 n a 是等差比数列； 若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比； 其中正确的命题的序号为_。4 三、解答题（共38分，请写
6、出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题12分） 在ABC中，角 3 2 C 。 （）若 ab a c 2 2 5 ，求 A B sin sin ； （）求 B A sin sin 的最大值。 16. （本小题13分） 手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告 之间所能维持的时间称为手机的待机时间。 为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两 个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下： 手机编号 1 2 3 4 5 A型待机时 间（h） 120 125 122 124 124 B型待机时 间（h）
7、 118 123 127 120 a 已知A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等。 （）求a的值； （）判断A，B两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明） ； （）从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超 过122小时的概率。 17. （本小题13分） 如图，在三棱柱 1 1 1 C B A ABC 中， 1 AA 底面ABC，BAC90， 2 AC AB ， 3 1 AA 。M，N分别为BC和CC 1 的中点，P为侧棱 1 BB 上的动点。5 （）求证：平面APM平面 C C BB 1 1 ； （）若P为线段 1 BB 的中点，求证： N A
8、 1 平面APM； （）试判断直线BC 1 与平面APM是否能够垂直，若能垂直，求PB的值；若不能垂直， 请说明理由。 四、填空题（每小题3分，共15分，请将答案填在题中的横线上） 18. 记 1 2 x x 为区间 , 2 1 x x 的长度，已知函数 ) 0 ( , 2 , 2 | | a a x y x ，其值域为 , n m ，则区间 , n m 的长度的最小值是_。 19. 设三棱柱 1 1 1 C B A ABC 的体积为10，点P，Q分别是侧棱 1 AA 、 1 CC 上的点，且 1 QC PA ，则四棱锥 APQC B 的体积为_。 20. 设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿
9、x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个 单位，经过5次跳动质点落在点（1，0） （允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共 有_种（用数字作答） 。 21. 函数 a a x x x f | 4 | ) ( 在区间 4 , 1 上的最大值是5，则实数a的取值范围是 _。 22. 设函数 1 sin ) 1 ( ) ( 2 2 x x x x f 的最大值为M，最小值为m，则 m M _。 五、解答题（共35分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23.（本小题11分） 设 R m ，不等式 0 ) 1 ( 2 ) 1 3 ( 2 m x m mx 的解集记为集合P。 （）若 2 1 |
10、 x x P ，求m的值；6 （）当 0 m 时，求集合P； （）若 P x x 2 3 | ，求m的取值范围。 24.（本小题12分） 已知 n a 是递增的等差数列， n S 为 n a 的前n项和，且 7 4 3 5 , , , 5 a a a S 成等差数 列。 （）求数列 n a 的通项公式； （）求 | | | | 2 1 a a | | 100 a 的值； （）若集合 , 2 ) 1 ( * N n a n n n n 中有且仅有2个元素，求实数 的取值范围。 25.（本小题12分） 有限数列 , , : 2 1 a a A n ， ) 3 .( n a n 同时满足下列两个条件
11、： 对于任意的 j i a a n j i j i ), 1 ( , ； 对于任意的 k i k j j i a a a a a a n k j i k j i , , ), 1 ( , , 三个数中至少有一个数是数列 n A 中的项。 （）若 4 n ，且 6 , , 2 , 1 4 3 2 1 a a a a a ，求a的值； （）证明：2，3，5不可能都是数列 n A 中的项； （）求n的最大值。7 【试题答案】 一、选择题（每小题4分，共32分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项） 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B B C D A C 二、填空题（每小题5分，
12、共30分） 9. 12 10. 9 11. 54 12. 3 8 13. 2 2 a 14. 三、解答题（共38分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 解：（）由余弦定理及题设 ab a ab b a c 2 2 2 2 5 ，得 a b 2 。 由正弦定理 A B a b B b A a sin sin , sin sin ，得 2 sin sin A B 。 （）由（）知AB 3 ， ) 3 sin( sin sin sin A A B A A A cos 2 3 sin 2 1 ) 3 sin( A 因为0A 3 ，所以当A 6 ， B A sin sin 取得最大值1。
13、 16. 解：（） ) ( 123 5 4 4 2 5 0 120 h x A ， 5 ) 120 ( 0 7 3 2 120 a x B ， 由 B A x x ，解得 127 a 。 （）设A，B两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为 2 2 , B A s s ，则 2 2 B A s s 。 （）设A型号手机为 5 4 3 2 1 , , , , A A A A A ；B型号手机为 5 4 3 2 1 , , , , B B B B B ， “至少有 1台的待机时间超过122小时”为事件C。 从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，不同的抽取方法有25种。8 抽取的两台手机待机
14、时间都不超过122小时的选法有： （A 1 ，B 1 ） ， （A 1 ，B 4 ） ， （A 3 ，B 1 ） ， （A 3 ，B 4 ） ，共4种。 因此 25 4 ) ( C P ，所以 25 21 ) ( 1 ) ( C P C P ， 所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是 25 21 。 17. 解：（）由已知，M为BC中点，且ABAC，所以AMBC， 又因为 1 BB 1 AA ，且 1 AA 底面ABC，所以 1 BB 底面ABC。 因为AM 底面ABC，所以 1 BB AM ， 又 1 BB BCB，所以AM平面 1 BB C C 1 。 又因为 AM 平面APM，所
15、以平面APM平面 C C BB 1 1 。 （）取 1 1 B C 中点D，连结 C B DM DN D A 1 1 , , , 由于D，M分别为 CB B C , 1 的中点， 所以DM A A 1 ，且 A A DM 1 ， 则四边形 AMD A 1 为平行四边形，所以 D A 1 AM。 又 D A 1 平面APM， AM 平面APM， 所以 D A 1 平面APM。 由于D，N分别为 C C B C 1 1 1 , 的中点，所以DN C B 1 。 又P，M分别为 CB B B , 1 的中点，所以MPB 1 C。 则DNMP，又 DN 平面APM， MP 平面APM， 所以DN平面A
16、PM。 由于 D A 1 DND，所以平面 DN A 1 平面APM，由于 N A 1 平面 DN A 1 ， 所以 N A 1 平面APM。 （）假设BC 1 与平面APM垂直，由 PM 平面APM，9 则BC 1 PM。 设 3 , 0 , x x PB ，当 1 BC PM时，BPM B C B 1 1 ， 所以RtPBMRt B C B 1 1 ，所以 1 1 1 BB B C MB PB 。 由已知 3 , 2 2 , 2 1 1 1 BB B C MB ， 所以 3 2 2 2 x ，得 3 3 4 x ，由于 3 , 0 3 3 4 x ， 因此直线 1 BC 与平面APM不能垂
17、直。 四、填空题（每小题3分，共15分，请将答案填在题中的横线上） 18. 3 19. 10/3 20. 10种 21. 2 9 , ( 22. 2 解析：因为 1 sin 2 1 1 sin 1 2 ) ( 2 2 2 x x x x x x x x f ， 所以，可构造 1 sin 2 ) ( 2 x x x x g ，则 ) (x g 的最大值为M1，最小值为 1 m 。 又因为 ) (x g 是奇函数，所以 ) 1 ( 1 m M ，即 2 m M 。 五、解答题（共35分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 解：（）因为 2 1 | x x P ， 所以方程 0 )
18、1 ( 2 ) 1 3 ( 2 m x m mx 的两根为1和2。 将 1 x 代入上述方程，得 0 ) 1 ( 2 ) 1 )( 1 3 ( ) 1 ( 2 m m m ， 解得 m 2 1 。 （）不等式 0 ) 1 ( 2 ) 1 3 ( 2 m x m mx 可化为 0 ) 1 ( ) 2 ( m mx x ， 当 0 m 时，方程 0 ) 1 ( 2 ) 1 )( 1 3 ( ) 1 ( 2 m m m 的两根为 m m 1 和2。 当 2 1 m m ，即 1 m 时，解得 2 x ， 当 m m 1 2 ，即 1 0 m 时，解得 2 x 或 m m x 1 ， 当 m m 1
19、2 ，即 1 m 时，解得 m m x 1 或 2 x 。10 综上，当 1 0 m 时， 1 2 | m m x x x P 。 ；当 1 m 时， 2 , | x R x x P 。 ；当 1 m 时， 2 1 | x m m x x P 。 。 （）依题意，当 ) 2 , 3 ( x 时，不等式 0 ) 1 ( 2 ) 1 3 ( 2 m x m mx 恒成立。 当 0 m 时，原不等式化为 0 2 x ，即 2 | x x P ，适合题意。 当 0 m 时，由（）可得 1 0 m 时，适合题意。 当 0 m 时，因为 2 1 1 1 m m m ，所以 2 1 | x m m x P
20、。 此时必有 m m 1 3 成立，解得 0 4 1 m 。 综上，若 P x x 2 3 | ，则m的取值范围是 1 , 4 1 。 24. 解：（）设等差数列 n a 的首项为 1 a ，公差为d。 由 5 5 S ，可得 5 ) ( 2 5 5 1 a a ， 由 7 4 3 , , a a a 成等比数列，可得 ) 6 )( 2 ( ) 3 ( 1 1 2 1 d a d a d a ， 所以 , 0 3 2 , 1 2 2 1 1 d d a d a 解得 , 0 , 1 1 d a （舍）或 。 2 , 3 1 d a 所以数列 n a 的通项公式为 5 2 n a n 。 （）解
21、 0 5 2 n 可得 2 5 n ， 所以数列 n a 中 0 , 0 2 1 a a ，其余各项均大于零， 所以 | | | | 2 1 a a | | 100 a 3 2 1 a a a 100 a ) ( 2 98 100 3 2 1 a a a a 9608 ) 195 1 ( 2 98 1 3 。 （）设 n n n n n a c 2 5 2 2 ， n n n n n n n n c c 2 2 9 2 5 ) 1 ( 2 2 5 2 1 1 ，11 令 0 1 n n c c ，得 2 9 n ，所以 6 5 4 4 3 2 1 , c c c c c c c 又由 n n
22、n c 2 5 2 ，知 0 , 0 2 1 c c ，其余各项均大于零。 在 n n n c t ) 1 ( 中， ) , 2 ( 0 , 0 * 2 1 N m m t t m ，且 8 6 4 t t t 计算得 64 7 , 16 3 , 2 3 6 4 1 t t t ， 所以， 的取值范围是 , 16 3 64 7 R 。 25. 解：（）由，得 6 2 a ， 由，当 4 , 3 , 2 k j i 时， a a 6 , 2 ，12中至少有一个是数列1，2，a，6中的项， 但 6 12 , 6 6 a ，故 6 2 a ，解得a 3 。 经检验，当 3 a 时，符合题意。 （）假
23、设2，3，5是数列 n A 中的项，由可知：6，10，15中至少有一个是数列 n A 中的项，则有限数列 n A 的最后一项 5 n a ，且 4 n 。 由， 1 3 2 1 n n n n a a a a ， 对于数 n n n a a a , , 1 2 ，由可知： n n n a a a 1 2 ；对于数 n n n a a a , , 1 3 ，由可知： n n n a a a 1 3 。 所以 3 2 n n a a ，这与矛盾， 所以2，3，5不可能是数列 n A 中的项。 （）n的最大值为9，证明如下： （1）令 2 , 1 , 2 1 , 0 , 4 1 , 2 1 , 1
24、, 2 , 4 : 9 A ，则 9 A 符合、。 （2）设 , , : 2 1 a a A n ) 3 ( , n a n 符合、，则： （i） n A 中至多有三项，其绝对值大于1， 假设 n A 中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设 l k j i a a a a , , , 是 n A 中绝对值最大的四 项，其中 | | | | | | | | 1 l k j i a a a a 。则对 l k i a a a , 有 | | | | | | | | l l k l j i a a a a a a 。 ，故 l k l i a a a a , 均不是数列 n A 中的项，即 k i a
25、 a 是数列 n A 中的项。 同理： k j a a 也是数列 n A 中的项。 但 | | | | |, | | | k k j k k i a a a a a a ， 所以 l k j k i a a a a a ，12 所以 j i a a ，这与矛盾。 （ii） n A 中至多有三项，其绝对值大于0且小于1， 假设 n A 中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（i）得出矛盾。 （iii） n A 中至多有两项绝对值等于1。 （iv） n A 中至多有一项等于0。 综合（i） ， （ii） ， （iii） ， （iv）可知 n A 中至多有9项。 由（1） ， （2）可得，n的最大值为9。
