1、圆压轴题八大模型题（四）泸州市七中佳德学校 易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都是在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性帮助考生解决问题。类型 4 圆内接等边三角形如图，点 P 为等边 ABC 外接圆劣弧 BC 上一点.(1)求证：PAPBPC ；(2)设 PA、BC 交于点 M， 若 BP4，PC 2，求 CM 的长度. 若 AB4，PC 2，求 CM 的长度.【分析】(1) 证明：连结 C
2、D在 PA 上截取 PD=PC，证得ACDBCP，AD=PB，又 DP=PC，因此 PA=PB+PC.(2)O 中ABMCPM, 12PCMAB12PCAB设 MC=x，则 AM=2x,MN=2-x，又 AN=2 ,3在 RtAMN 中，由勾股定理得 CM=x=.(2)过点 C 作 CEAP 于 E，过点 A 作 ANBC 于点 N.由（1）可得 AP=BP+CP=4+2=6,RtPCE 中 PE=1,CE= ，则 AE=5,AC=2 ,因此 AB=AC=2 ,由（2 ）可得 CM= .377273【典例】（2018湖南常德）如图，已知O 是等边三角形 ABC 的外接圆，点 D 在圆上，在 C
3、D 的OPMCBA图 1232-x2xx24NPMOCBAODPMCBA 27 27351E42OAB CMPN图（1 ） 图（2 ） 图（3 ）延长线上有一点 F，使 DFDA，AEBC 交 CF 于 E（1）求证：EA 是O 的切线；（2）求证：BDCF 【分析】 （1）连结 OA 后，由OAC30，BCAE 得CAEBCA60，因此OAE90证得 AE 是O的切线.（2）ADFABC60，且 DFDA 得等边ADF，且ABC 也是等边三角形，可得ADB AFC，因此 BDCF.【解答】证明：（1）连接 OD，O 是等边三角形 ABC 的外接圆，OAC30，BCA60 ，AEBC，EAC
4、BCA60，OAE OACEAC306090，AE 是O 的切线；（2）ABC 是等边三角形， ABAC，BACABC60，A、B、C、D 四点共圆，ADFABC 60，ADDF，ADF 是等边三角形，ADAF，DAF60，BAC CADDAF CAD，即BAF CAF，在BAD 和CAF 中， ，BADCAF，BD CF【点拨】等边三角形的边等角等易构造三角形全等和相似，圆上一点与圆内接等边三角形三顶点的连线之间的关系探究，可以运用延长法与截短法；含 60角三角形，知两边求第三边；借相交弦或平行线得三角形相似，作等边三角形的高，借比例线段和勾股定理建方程求线段是关键。【变式运用】1.（201
5、1泸州）如图，点 P 为等边ABC 外接圆劣弧 BC 上一点图 4-1图 a（1）求BPC 的度数；（2）求证：PAPBPC ；（3）设 PA，BC 交于点 M，若 AB4，PC2，求 CM 的长度（1）解：ABC 为等边三角形，BAC 60，点 P 为等边ABC 外接圆劣弧 BC 上一点，四边形 ABPC 是圆的内接四边形BPCBAC180，BPC 120，（2）证明：连结 CD在 PA 上截取 PDPC，ABACBC ，APB APC60，PCD 为等边三角形，PCDACB60，CPCD，PCDDCMACBDCM ，即ACDBCP，在ACD 和BCP 中，ACDBCP，ACBDPADPB，
6、PAADDP， DPPC，PAPBPC；（3）解：PCD 和ABC 都为等边三角形，MDCACM60，CD PC ，又DMCCMA，CDMACM，AB 4，PC2，CM：AMDM：MCDC ：ACPC：AC2：41：2，设 DM x，则 CM2x，BM42x，PM2x，AM4x，ADAM DM4xx 3xBMPCMA，PBM CAM，BPMACM，BP：ACPM：CM，即 3x：4（2x）：2x ，解得 x （舍去负号），1则 x ，CM 32132.如图，已知 AD 是ABC 外角EAC 的平分线，交 BC 的延长线于点 D，延长 DA 交ABC的外接圆于点 F，连结 FB、FC.（1）求证
7、：FBFC；（2）FB 2FA FD；图 b图 4-2（3）若 AB 是ABC 的外接圆的直径，EAC120，BC6cm ，求 AD 的长.证明：（1）AD 平分EAC，EADDAC .四边形 AFBC 内接于圆，DACFBC.EADFABFCB，FBCFCB，FBFC.（2）FABFCB FBC，AFBBFD，FBA FDB， FBADFB 2FAFD.（3）解：AB 是圆的直径，ACB90.EAC120，DAC EAC60.1四边形 ACBF 内接于圆，DACFBC60，又 FBFC ，BFC 是等边三角形，BAC BFC60，D30.BC6，AC 2 ，3AD2AC4 33.（2016德
8、阳）如图，点 D 是等边三角形 ABC 外接圆上一点.M 是 BD 上一点，且满足DMDC，点 E 是 AC 与 BD 的交点.（1）求证：CM/AD；（2）如果 AD1，CM2.求线段 BD 的长及BCE 的面积 .解：（1） ABC 是正三角形， ,ADBBDC 60，AB BC又DMDC， CDM 是等边三角形，即 DMCMCD，DMC60 ，ADBDMC60，CMAD； （2）DAC DBC，BMCADC120，而 ACBC， ADCBMC，BMAD1，BD BMMD123 由（1）可得， ADE CME，而 AD1，CM 2， MEDCA又MD 2，DE ，ME ， 23 43 ，且点 E 在线段 AC 上，AE AC，AECE 12 13BAC BDC60，ABD ACD，EDM CBA图 4-3图 4-4ABE DCE， , ,DCAB ECBE 3412A又ABAC，AB 27，即 AB BC,7AD1,CM2,CMCD,AD:CD1:2,又ADE CDE60，BD 平分ADC，AE：CEAD：CD1：2， CE AC，23SBCE SABC ( )2 .23 23 34 7 76 3
