1、第四章学习小结本章为非线性方程与非线性方程组的迭代解法，由此可分为两大节 4.1 非线性方程的迭代解法和 4.2 非线性方程组的迭代解法。本章以人口增长模型为引言，由于在实际应用中只有很少类型的非线性方程能解出根的解析表达式，对于大多数非线性方程，只能用数值法求出它的根的近似值，本章将要介绍几种常用的有效的数值求根方法，它们都属于迭代法，因而还要讨论这些方法的收敛性和收敛速度。4.1.1 对分法（1）基本思想：确定方程有根的区间；将区间逐次分半缩小，得到一个区间长度以 1/2 的比例减小的含根区间序列 ，在给定根的误差界时，利用长度趋于零的特kx点，可得到在某个区间中满足要求的近似根。收敛速度
2、与公比为的等比数列的收敛速度相同。12(2)迭代终止条件 或者 (3)二分法的优缺点：优点：程序简单，总能求出近似根，对 要求不高。()fx缺点：收敛速度慢，只能求单根和奇数重根，不能求偶重根，复根。二分法一般用于对根求近似根。4.1.2 简单迭代法及其收敛性迭代法的基本思想:12abx()kfx2kba2kkbaxs0)(xf)(x1(),01,2kk迭代法是一种逐次逼近法，用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的解。迭代法的基本思想是将隐式方程 的求根问题归结为计算()x一组显式公式 ，逐步过程实际上是一个逐步显示化的过程。1()kkx收敛性：若由迭代公式
3、产生的序列 收敛于 ，1().,23.kkxkxx则 是原方程的根。x收敛条件：a非局部收敛性定理：设函数 ，在（a，b）内可导，且(),xC满足两个条件：（1）当 时， ；（2）当 时， ，其,xab(),xab,x()1xL中 L 为一常数。则有如下结论：（1）方程 在 上有唯一的根 s；()x,（2）对任取的 ，简单迭代法 产生的序列0ab1()kkx且收敛于 s；,kxab（3）成立误差估计式 或10kLxx1kkLsx这种形式的收敛定理称为大范围收敛性定理，但当条件不够充分时，预先指定一个区间常常是不可能的。b局部收敛性定理设 在包含 s 的某个开区间内连续。如果 ，(),sx ()
4、1s则存在 当 时，由简单迭代法 产生的序列0,s1kkx且收敛于 s。,kxs4.1.3 简单迭代法的收敛速度当 （某个正整数）时， 成立，则称序列 收敛于 s 具kK1kreckx有 r 阶收敛速度，简称 是 r 阶收敛的。r 的大小反映了序列kx收敛的快慢程度，r 越大收敛越快。r=1 时称序列线性收敛的，kxr=2 时，为平方收敛的。线性收敛的条件：设函数 ， ，且满足如下条(),xCab(),)xCab件：（1）当 时， ；,xab（2）当 时， ，其中 L 为一常数。()1x则对任取的 ，简单迭代法 产生的序列 收0,x()kkx,kxab敛于方程 在 内的唯一的根 s，并且当 时
5、 是线性()ab0s收敛的。m 阶收敛的条件：设 在包含 s 的某个开区间内连续（(),msx） 。如果 则存在 ，当2() ()012,0ii0但 时，简单迭代法 产生的序列0,xsxs1)kkx以 m 阶收敛速度收敛于 s。kab4.1.4 迭代的加速过程1.加权迭代法: 或者缺点：L 值的确定需要函数的迭代信息，不便于实际应用。),(1kkx迭 代 ：kkLx1改 进 ： )(1kkLx121,kkssLx2Aitken 加速法：设序列 线性收敛于 s，则kx3.Steffensen 迭代法迭代公式：无论迭代法是否收敛于 s， Steffensen 迭代法都能以不低于二阶的收敛速度收敛于
6、 s。4.1.5 Newton 法基本思想：（1）构造法 推导 ， 推出迭代公式Newton 法可求方程的实数根和复数根，求实数根时有明显的几何意义。当获得 之后，过曲线 上的点 作该曲线的切kx()yfx(,)kxf线，此曲线与 X 轴相交的交点的横坐标就是 Newton 法迭代序列的第k+1 个元素 ，因此 Newton 法又称为切线法。1kx局部收敛性定理：设 s 是方程 的根，在包含 s 的某个开区间内 连续且()x ()fx，则存在 ，当 时，由 Newton 法产生的序()0f00,x列 收敛于 s；若 且 ，则序列 是平方收敛的。kx()fsskx非局部收敛性定理：设函数 在区间
7、 上存在二阶连续导数，()fx,ab且满足条件：（1） ；（2） 在区间 上不变号；()0fab()fx,ab（3）当 时， ；（4） 。则有,xbx00,()fxNewton 法产生的序列 单调收敛于方程 在 内唯一的根k x, ,210,2)(),1kxyzxykk121kkxskks122)(1x()0s0)(xf 0)(xfh()hsxfxh)(,210,)(kfxkks，并且至少是平方收敛的。 4.1.6 求方程 m 重根的 Newton 法设 s 是方程 的 m 重根（ ） ， 在 s 的某邻域内有()x2()fxm 阶连续导数，这时结论 线性收敛。（2）变形的 Newton 法令
8、 则 至少平方收敛，缺点是不知道重根的重数 m。（3）若 s 是方程 的 m 重根，则 s 为 的单根。()x迭代函数：迭代公式：优点：至少二阶收敛；缺点：计算 工作量大。()fx4.1.7 割线法基本思想：用割线代替切线，用增量割线斜率 替换导数1()kkfxf。迭代公式()kfx几何意义：(1)()0,mfsfs ()()fx1(),()s()()fxx(),()0s ()fxu2()()()ufxgf12(),01,2kk kfxx 11(),0,2kkkfxxf收敛性：设 ，在 s 的某邻域内 连续且 ，则存在()0fs()fx()0fx，当 时，由割线法产生的序列 收敛于 s，且收敛
9、速01,xIk度的阶至少为 1.618.4.1.8 单点割线法1.基本思想：用固定点 代替 ，也就是点0(,)xf1(,)kkxf永远是割线上的一点。0(,)xf2.迭代公式：3.几何意义：4 收敛性：设函数 在区间 上存在二阶连续导数，且满足条件：()fx,ab（1） ；（2） 在区间 上不变号；（3）当()0fab()f,时， ；（4） 且 。,xfx01,x001(),()fxfx01(),2kkfxxf则由单点割线法产生的序列 单调收敛于方程在 内唯一的根kx,abs，并且收敛速度是一阶的。4.2 非线性方程组的迭代解法4.2.1 一般概念:1.非线性方程组的一般形式： 向量形式2.非
10、线性方程组的一般解法：简单迭代法线性化方法求函数极小值的方法。4.2.2 简单迭代法 设 方程组： (x)=0F1.迭代公式： xG（ ） 迭 代 函 数2.收敛性：非局部收敛性定理设 在闭区域 上满足两个条件：（1）G 把 映入n:GDR0D0D它自身，即 ；（2）G 在 上压缩映射，即存在常数0（ ） 0，使对任意的 有 则有下列结论：L（ ,1） x,y()xyLxyAA（1）对任取的 ，由迭代公式产生的序列 ，且收敛于(0)xD()0kxD方程内的唯一解 ；（2）成立误差估计式 或()(1)(0)kkLxxAA1212(,)0(,)0nnnfxf )()()(21xffFn()0Fxx
11、21ni nif122121 ),(),( 2()xF2min)i(xx():nx ()0()x(1)(),2kk()()(1)1kkLxx AA实际计算时，可预先给定精度水平 ，当迭代序列满足0时停止迭代，取当前的 作为方程组的近似解。()(1)kxA ()kx4.2.3 Newton1.基本思想将非线性方程组线性化，构造迭代格式。设 为方程组解的一组初始近似解。0(,)xy11110 0(,)(,)()fffxyf y2222000(,)(,)()()ffffx2.迭代公式：3.收敛性：条件： 连续可微， 非奇异；()Fx()Fx结论： 超线性收敛于kxA若 二次连续可微，则 平方收敛于(
12、)FkxxA4.Newton 算法5.Newton 法的优缺点：优点：收敛快，一般都能达到平方收敛；缺点：对初值要求较苛刻，且要求 的各个偏导数存在。()ifx4.2.4 离散 Newton 法1.基本思想：用差商代替导数。),(21(1)()()1(),1,2kkkk)()1()(kkxx )()(1)( kkkF1k xxF()()()()kkkijii kjfxhefxf2.迭代公式：3. 的选取()kh(1)保证:(2)Newton-Steffensen 方法，取 （ 为非零常数；()()kkjjhcFxAjcj=1,2，n）（3） 也可取与 k 无关的常数。()kjh思考题8.设 s
13、 是方程 的根， 在 s 的某个邻域内连续，并且()0fx4()fx。令 为使迭代法()0fx2 ()()hff能够至少以三阶收敛速度收敛于 s，则应如何选1(,1kk取函数 ？)hx解：由定理 4.4 可知，至少三阶收敛速度于 s。则 ，(1)0s， 。令 ，于是 。(2)0s(3)0s()fxu 2()xuhx通过求导可得：()()()()()()11111()()()()()()()()1, kkkknkkkkkkknnnnnk kfxhefxffFxJhfxhefxffh ()()()1(),01,2k kkJF()0,kj()(),12,kjxeDn(2) ()1()()()0;2;
14、()0.xuhxhxu(2)fxh9.试分别用割线法和单点割线法求方程 的根，要求sin1x。61/0kkx解：令 ， ，()sin1fx(0),()si0ff所以 。（1）割线法：迭代公式 11(),0,2kkkfxxf 由于 ， 在 只有一个根。(0)f()sinf,取 ，则1,x011)(.543012fxf02 .978(.5)7984.58924()3f 213 10.596(0.0.35)0.98755978)fxf算到 即可。.1342x（2）单点割线法， ，满足定理 4.9 的 4()sinf ()1cos,()sinfxfx个条件：（1） ； （2）当 ；(0)1f(2)0,
15、10xfx（3） ；（4） 且0,1()0fx在 区 间 时 01,x(1)()ff取 ，由单点割线法产生的迭代公式0,x由单点割线法产生的序列 单调收01(),1,2kkfxf kx敛于方程在 内唯一的根。,1021()10.84179()0.54312()0fxfff213().5432(.)(.532)f fxf f结果为 80.978s2.查阅其他参考书，寻找用牛顿法求解多项式方程根的特殊方法，再找一种加权法。解: (1)Newton 法1.基本思想将非线性方程组线性化，构造迭代格式。设 为方程组解的一组初始近似解。0(,)xy11110 0(,)(,)()fffxyf y222200
16、0(,)(,)()()ffffx2.迭代公式：3.收敛性：条件： 连续可微， 非奇异；()Fx()Fx结论： 超线性收敛于kxA),(21(1)()()1(),1,2kkkk若 二次连续可微，则 平方收敛于()FxkxxA4.Newton 算法5.Newton 法的优缺点：优点：收敛快，一般都能达到平方收敛；缺点：对初值要求较苛刻，且要求 的各个偏导数存在。()ifx(2)离散 Newton 法1.基本思想：用差商代替导数。 ()()()()kkkijii kjfxhefxf2.迭代公式：3. 的选取()kh(1)保证:(2)Newton-Steffensen 方法，取 （ 为非零常数；()(
17、)kkjjhcFxAjcj=1,2，n）（3） 也可取与 k 无关的常数。()kjh(3)简化牛顿法:简化牛顿法，也称平行弦法. 其迭代公式为:1()0,1.kkxCfx迭代函数: (.f)()1()(kk )()(1)( kkkF1kxx xxF()()()()()()11111()()()()()()()()1, kkkknkkkkkkknnnnnk kfxhefxffFxJhfxhefxffh ()()()1(),01,2k kkJF()0,kj()(),12,kjxeDn若在根 附近成立 ，即取 ,则迭xA ()1()xcf0()2xf代法 局部收敛.10,kkCf在 中取 ，则称为简
18、化牛() 01()cfx顿法，这类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行弦与 X 轴交点作为 的近似值. xA(4)牛顿下山法牛顿法收敛性依赖初值 的选取,如果 偏离所求根 较远，0x0xxA则牛顿法可能发散.为了防止迭代发散，对迭代过程再附加一项要求，即具有单调性: 满足这项要求的算法称下山法. 1()(kkff将牛顿法与下山法结合起来使用，即在下山法保证函数值稳定下降的前提下，用牛顿法加快收敛速度. 将牛顿法的计算结果 与前一步的近似值适当加1()kkfxx权平均作为新的改进值, 其中 ,kk称为下山因子,即 称为牛顿(01)1()0,1)kkfxx下山法. 选择下山因子时从 开
19、始，逐次将 减半进行试算，直到能使下降条件 成立为止. 1()()kkfxf任玉杰习题 2.81.用抛物线法求方程 的一个实根的近似值 ，3()2510fxkx使精确到 。610解：（1）用作图法确定初始值 ,3x在 MATLAB 工作窗口输入x=-2:0.001:2;y=2.*x.3-5.*x-1;plot(x,y);grid,gtext(y=2x3-5x-1)运行后得出图形 1-1，可知区间 内有一个实根，故取初值(0.5,)01.25,0,3.5xx（2）建立名为 fnq.m 的 M 文件function y=fnq(x)y=2.*x.3-5.*x-1;图 1-1（3）保存名为 paow
20、u.m 的 M 文件(4)在 MATLAB 工作窗口输入k,piancha,xdpiancha,xk,yk=paowu(-0.25,0,-0.5,1e-6,1e-6,100)（5）运行后输出结果为提示：根的判别式值为正数.ans=1.0000 0.2500 0.5000 -0.2022 -0.0058提示：根的判别式值为正数.ans=2.0000 0.0478 0.2367 -0.2034 0.0000提示：根的判别式值为正数.ans=3.0000 0.0012 0.0060 -0.2034 -0.0000提示：根的判别式值为正数.ans=4.0000 0.0000 0.0000 -0.203
21、4 0提示：根的判别式值为正数.ans=5.0000 0.0000 0.0000 -0.2034 0k=5piancha=1.1558e-010xdpiancha=5.6836e-010xk=-0.2034yk=0即，迭代 k =5 次，得到精度为 的根的近似值 xk=-0.2034，其函610数值为 yk=0，x k 的相邻最小偏差为 piancha=1.1558e-010，其相对误差为 xdpiancha=5.6836e-010.表 1-1kpianchxdpianchkxky1.0000 0.2500 0.5000 -0.2022 -0.00582.0000 0.0478 0.2367
22、-0.2034 0.00003.0000 0.0012 0.0060 -0.2034 -0.00004.0000 0.0000 0.0000 -0.2034 05.0000 0.0000 0.0000 -0.2034 02.用抛物线法求方程 的全部实根，精确到 。3()50fx91解：（1）用作图法确定初始值 1,23x在 MATLAB 工作窗口输入x=-5:0.0001:5;y=x.3-x+5;plot(x,y);grid,gtext(y=x3-x+5)运行后得出图形 2-1，可知区间 内有一个实根，故取初值(3,1)012,1,03xx（2）建立名为 fnq.m 的 M 文件functio
23、n y=fnq(x)y=x.3-x+5;图2-1（3）保存名为 paowu.m 的 M 文件(4)在 MATLAB 工作窗口输入k,piancha,xdpiancha,xk,yk=paowu(-2,-1,-3,1e-9,1e-9,100)（5）运行后输出结果为提示：根的判别式值为正数.ans=1.0000 1.0000 0.3333 -1.9129 -0.0865提示：根的判别式值为正数.ans=2.0000 0.0871 0.0455 -1.9042 -0.0007提示：根的判别式值为正数.ans=3.0000 0.0086 0.0045 -1.9042 0.0000提示：根的判别式值为正数
24、.ans=4.0000 0.0001 0.0000 -1.9042 -0.0000提示：根的判别式值为正数.ans=5.0000 0.0000 0.0000 -1.9042 0提示：根的判别式值为正数.ans=6.0000 0.0000 0.0000 -1.9042 0k=6piancha=4.4409e-016xdpiancha=2.3322e-016xk=-1.9042yk=0即，迭代 k =6 次，得到精度为 的根的近似值 xk=-1.9042，其函910数值为 yk=0，x k 的相邻最小偏差为 piancha=4.4409e-016，其相对误差为 xdpiancha=2.3322e-
25、016.表 2-1kpianchxdpianchkxky1.0000 1.0000 0.3333 -1.9129 -0.08652.0000 0.0871 0.0455 -1.9042 -0.00073.0000 0.0086 0.0045 -1.9042 0.00004.0000 0.0001 0.0000 -1.9042 -0.00005.0000 0.0000 0.0000 -1.9042 06.0000 0.0000 0.0000 -1.9042 03.求曲线 与曲线 之间的最小垂直距离处的 x2()fx()sin5xg值，精确到小数点后 10 位。解：令 ，距离最小处即求 的最小2(
26、)()sinxFxfx()Fx值，故 处即可能为最小值点。 1cos205（1）用作图法确定初始值 ,23x在 MATLAB 工作窗口输入x=-5:0.0001:5;y=cos(x)-2.*x-1/5;plot(x,y);grid,gtext(y=cos(x)+2x-1/5)运行后得出图形 3-1，可知区间 内有一个实根，故取初值(0,1)01.5,21,03xx（2）建立名为 fnq.m 的 M 文件function y=fnq(x)y=cos(x)+2*x-0.2;（3）保存名为 paowu.m 的 M 文件(4)在 MATLAB 工作窗口输入k,piancha,xdpiancha,xk,
27、yk=paowu(0.5,1,0,1e-9,1e-9,100)（5）运行后输出结果为提示：根的判别式值为正数.ans=1.0e+015 *0.0000 0.0000 2.2518 -0.0000 -0.0000提示：根的判别式值为正数.ans=2.0000 0.3754 1.0000 -0.3668 -0.0000提示：根的判别式值为正数.ans=3.0000 0.0086 0.0234 -0.3667 0.0000提示：根的判别式值为正数.ans=4.0000 0.0000 0.0000 -0.3667 0.0000提示：根的判别式值为正数.ans=5.0000 0.0000 0.0000
28、-0.3667 0.0000k=5 piancha=7.0561e-010xdpiancha=1.9240e-009xk=-0.3667yk=5.5511e-017即，迭代 k =5 次，得到精度为 的根的近似值 xk=-0.3667，其函910数值为 yk=5.5511e-017，x k 的相邻最小偏差为 piancha=7.0561e-010，其相对误差为 xdpiancha=1.9240e-009.表 3-1kpianchxdpianchkxky1.0000 0.0000 2.2518 -0.0000 -0.00002.0000 0.3754 1.0000 -0.3668 -0.00003.0000 0.0086 0.0234 -0.3667 0.00004.0000 0.0000 0.0000 -0.3667 0.00005.0000 0.0000 0.0000 -0.3667 0.0000图 3-1
