1、24.2.2 直线与圆的位置关系(3),-切线长定理与三角形的内切圆,上节课我们学习了什么内容？,1、切线的判定方法； （1）、定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。 （2）、数量法（d=r）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。 （3）、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、切线的作法； 3、常见辅助线； （1）若直线与圆的有一个公共点已指明，则连接该点和圆心，证明直线垂直于经过这点的半径； （2）若直线与圆的公共点未指明，则过圆心作该直线的垂线段，然后证明这条线段的长等于圆的半径 4、切线的性质。 （）、切线和圆只有一个公共点。 （）、切线和圆心的距离等于
2、半径。 （3）、 切线垂直于过切点的半径。 （）、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。 （）、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。,(1)过圆心； (2)过切点； (3)垂直于切线,已知o及o外的一点P，PA与o相切于A点，连接OA、OP，如果将o沿直线OP翻折，与A点重合的点B在圆上吗？如果在PB是o的切线吗？为什么？,思考:,O,P,A,B,你能发现OA与PA，OB与PB之间的关系吗？,PA、PB所在的直线分别是o两条切线。,经过圆外一点，可以做2 条圆的切线,切线长概念,经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。,如图，P是O外一点，PA，PB是O的两条切线，我
3、们把线段PA，PB叫做点P到O的切线长。,O,P,A,B,注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。,切线和切线长,o,o,p,1.连结OP,2.以OP为直径作O，与O交于A、B两点。,A,B,即直线PA、PB为O的切线。,如图，已知O外一点P，你能用尺规过点P作O的切线吗？,实验,想一想为什么？,o,p,A,B,如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点。如果连结OA、OB、OP，图中的PA与PB，APO与BPO有什么关系？,探究, PA、PB是O的切线，A、B为切点,OAPA，OBPB,又OAOB，OPOP,
4、RtAOPRtBOP,PAPB，APOBPO,结论,切线长定理：,从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。,符号语言, PA、PB是O的切线，A、B为切点,PAPB，APOBPO,猜想,如图，若连接AB，则OP与AB有什么关系？,分析, PA、PB是O的切线，A、B为切点,PAPB，APOBPO,OPAB，且OP平分AB,C,D,归纳,切线长定理推论： 从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。,我们学过的切线，常有 五个 性质： 1、切线和圆只有一个公共点； 2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过
5、切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。,6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。,六个,思考,如图所示是一张三角形的铁皮，如何在它上面剪下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？,A,B,C,A,B,C,M,D,N,I,结论,与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；这个三角形叫做圆的外切三角形。,三角形的内切圆可以作出几个?为什么?.,角平分线BE和CF只有一个交点I,并且点I到ABC三边的
6、距离相等(为什么?),因此和ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.,已知A=80，则BIC= .,130,BIC=90+ A,明确,1.一个三角形有且只有一个内切圆；,2.一个圆有无数个外切三角形；,3.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点；,4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。,作三角形内切圆的方法：,A,B,C,1、作B、C的平分线BM和CN，交点为I。,I,2过点I作IDBC，垂足为D。,3以I为圆心，ID为半径作I.I就是所求的圆。,M,N,o,外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。 外接圆的半径：交点到三角形任意一个顶点的距离。,三角形外接圆,三角形内切圆,
7、内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。 内切圆的半径：交点到三角形任意一边的距离。,A,A,B,B,C,C,提示: 多边形的边与圆的位置关系称为切. 多边形的顶点与圆的位置关系称为接.,图（1）,图（2）,说出下列图形中四边形与圆的位置关系.,四边形ABCD叫做O的外切四边形,四边形ABCD叫做O的内接四边形,小试身手！,根据切线长定理猜想圆的外切四边形的两组对边有什么关系？说明你的结论的正确性.,B,D,E,F,O,C,A,如图，ABC的内切圆的半径为r, ABC的周长为l,求ABC的面积S.,解：设ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，,连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，,则ODA
8、B，OEBC，OFAC.,SABCSAOBSBOC SAOC, ABOD BCOE ACOF, lr,设ABC的三边为a、b、c，面积为S，,结论,探究,三角形的内切圆的有关计算,A,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，C90,BCa,ACb, ABc,O为RtABC的内切圆. 求：RtABC的内切圆的半径 r.,设CE r 则AD= b-r , BE=a-r , O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解：设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。,结论,则有c= (b-r)+ (a-r),应用新知,1、判断 （
9、1）过一点可以做圆的两条切线。（ ） （2）切线长就是切线的长。（ ） 2、已知PA、PB与O相切 于点A、B，O的半径为2 （1）若四边形OAPB的周 长为10，则PA= 。 （2）若APB=60， 则PA= 。,O,A,B,3,2,2,30,4,基础题：,1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是_. 2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_. 3.O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切O于P点，交AB、BC于E、F，则BEF的周长是_.,E,F,H,G,正方形,22cm,2cm,A,B,C,D,E,O,2,1,例1,如图，已知：在ABC中，B90
10、，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点E，与AC相切于点D 。求证：DEOC,证明：连接,，为的半径,是的切线,C是的切线，是切点,，,是的直径,，即,A,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，C90,BC3,AC4, O为RtABC的内切圆. （1）求RtABC的内切圆的半径 . （2）若移动点O的位置，使O保持与ABC的边AC、BC都相切，求O的半径r的取值范围。,设AD= x , BE= y ,CE r, O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解：（1）设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB
11、。,解得,r1,在RtABC中，BC3,AC4, AB5,由已知可得四边形ODCE为正方形，CDCEOD, RtABC的内切圆的半径为1。,例2,（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。,A,B,O,D,C,OBBC3,半径r的取值范围为0r3,点评,几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。,1、 小红家的锅盖坏了，为了配一个锅盖，需要测量锅盖的直径(锅边所形成的圆的直径)，而小红家只有一把长20cm 的直尺，根本不够长，怎么办呢?小红想了想，采取以下方法:首先把锅平放到墙根，锅边刚好靠到两墙，用直尺紧贴墙面量得M
12、A的长，即可求出锅盖的直径，请你利用下图，说明她这样做的道理.,O,思维拓展:,2、如图，PA ，PB是O的两条切线，A，B 为切点，直线 OP交O于 C，D，交AB于E，AF 为O直径，下列结论： ABP= AOP， BC=DF； POBF，其中结论正确的是 ., DOE的大小是定值。,试证： PDE的周长是定值。,（PA+PB）,（AOB/2）,(3)若P=40，你能说出DOE的度数吗？,3、 如图：从O外的定点P作O的两条切线，分别切O于点A和B，在弧AB上任取一点C，过点C作O的切线，分别交PA、PB于点D、E。,O,P,A,B,C,E,D,70,.,课时小结,一、切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。,二、三角形的内切圆,1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。,2、性质: 内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角。,
