1、24.2(2) 比例线段,例题：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O， ；求证： .,若已知条件中的 换成DCAB，其他条件不变，上述结论还成立吗？,练习,如图，已知AD、BE是 的两条高. 求证： .,探究,A,B,答：存在,APPB,即线段 AP是AB和PB的比例中项.,如图，线段AB的长度是 点P是线段AB上的一点，且求线段AP的长.（用 表示）,概念学习,问1：由图可知，线段 AB、AP、PB之间有 怎样的数量关系？,答1：AP+PB=AB，即AP+PB=l,问2：结合已知条件 即 ，如何求线段AP的长？,答2：由,得关于x的方程,.,即线段 AP是AB和PB的比例中项.,设
2、线段AP的长为x， 则线段PB的长为l-x.,如图，线段AB的长度是 点P是线段AB上的一点，且满足求线段AP的长.,解：线段AP的长为，那么线段PB的长为l,整理，得,解得,概念学习,由AB=l，AP= ， 得在比例式中 ，线段 AP是AB和PB的比例中项.,如果点P把线段AB分割成AP和PB（APPB)两段,其中AP是AB和PB的比例中项,那么称这种分割为黄金分割,点P称为线段AB的黄金分割点.,AP与AB的比值 称为黄金分割数(简称黄金数). 黄金分割数是一个无理数, 在应用时常取它的近似值0.618,即,概念学习,点P是AB的黄金分割点（APPB）,概念学习,因 APPB 故可以把线
3、段AP称为较 长线段，BP 称为较短线段，AB称为全长线段.”,解：P是线段AB的黄金分割点，根据题意APPB,例题1：已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB=8, 求较长线段AP和较短线段PB.,8=,新知运用,分析：,如果把AP=2改为PB=2,如何求AB和AP的长.,P是线段AB的黄金分割点，APPB，,解：P是线段AB的黄金分割点，APPB，,例题2：已知点P是线段AB的黄金分割点，APPB， 且AP=2求AB和PB的长.,AB=AP+PB,得,.AB=AP+PB=3+,.,新知运用,分析：,，,.,即,适时小结,在黄金分割问题中，,例题3：已知点P是线段AB的黄金分割点， 若AB=8
4、,求线段AP的长.,（1）当APPB时，,（2）当PBAP时，,线段AP是较长线段还是较短线段不确定，所以要分类讨论.,解：,新知运用,P1,P1,分析：,8=,8=,一般地一条线段的黄金分割点有两个,适时小结,两个,P2,P1,1：已知线段MN的长为2厘米，点P 是线段MN的黄金分割点，则较长的线段MP的长是 厘米，较短的线段PN的长是 厘米.,2：已知点P是线段AB的黄金分割点，APPB， AB=4厘米，那么线段AP、PB的长度分别是 厘米 和 厘米,课堂练习,3. 已知点P是线段AB的黄金分割点，被分得的较 长线段PB=4厘米，那么较短线段PA= 厘米， AB= 厘米,4. 已知点P是线段AB的黄金分割点， AB=4厘米， 那么线段AP长度是 厘米,课堂练习,或,通过本节课的学习你得到了哪些新知识，又有哪些收获？,课堂小结,1.点P是AB的黄金分割点（APPB）,2.一条线段的黄金分割点有两个,拓展提高,拓展提高,2、如图，在矩形ABCD中截取正方形ABMN，已知MN是BC和CM的比例中项，且CM= ,求AD的长.,
