1、求通项常见的几种方法,利用递推公式,求通项常见的几种方法,其他方法,类型1 这种类型求 的方法一般主要采用逐差或累加法。,逐差法：,化简得,累加法：,例：已知数列 满足 ，求 证明, 解： =3+1=4， =9+4=13,证法1（累加法）：由 得,累加得： 根据等比数列前n项的公式，得,证法2（逐差法）由已知得：,类型2 这种类型求 的方法一般有累乘法，也称逐商相乘法。,步骤： （1）把原递推公式转化为（2）利用恒等式即,例（2004年高考全国卷）已知数列 满足 ，则 的通项,考题剖析,将以上n个式子相乘，得,解：由题可得,再联合已知式，可得 当 时，,即,又 ,类型3 这种类型一般主要利用待
2、定系数法构造等比数列。,步骤：1）设2）去括号得，3）与已知递推式比较，得，即4）代入1）中式子，得以p为公比的等比数列,例（2006，重庆,文,14）在数列中 ，若 ，则该数列的通项 =_,解法一（构造数列-待定系数法）： 设 再联合原递推式可得， =3 令 ，则 再由 得， =4 即 为以4为首项且以2为公比的等比数列， ,解法二（累加法）：设 ，则 再由 ，得 即 为以4为首项且以2为公比的等比数列，则累加得：,解法三（迭代法）：,解法四（特征根法）：找出其齐次递推关系,得到特征方程 x-2=0,特征根为x=2,得到通解为,设特解 A是待定常数, 代入原递推关系式，得A=2A+3，得A=
3、-3,得到 ， 为待定常数。,根据 ，可得即,类型4 （其中p,q均为常数） 这种类型求通项的方法一般有待定系数法。,步骤：1）把原递推公式转化为,2）去括号得,3）联合原递推式，可得,4）解出可得 是以t为公比的等比数列,5）根据4），最后可把它化到类型1的形式进行求解,例 （2006年高考福建卷）已知数列 满足， 求数列 的通项公式。,解：设则,与已知等式比较，得解得，s=1,t=2或s=2,t=1,考题剖析,方法一 取s=1,t=2,得即 是以 为首项，2为公比的等比数列，, （类型1的形式）,根据累加法，可得 （经验证，n=1也满足）,方法二 取s=2,t=1,得 （类型3的形式）,根
4、据待定系数法构造等比数列 ，得,方法三 综合联立方法一、二的 ，可得,方法四（特征根法）特征方程为 解出特征根 得到通解为 （ ， 为待定数）。,根据初始条件，得,解方程组，得 =-1， =1.,代入，得,类型5 这种类型一般利用 与 消去 或与,（2006，陕西,理,20本小题满分12分) 已知正项数列 ，其前n项和 满足 且 成等比数列，求数列 的通项 。,解：由 ，可知解之得 又 ,由 - 得,当不成等比数列， ,当 满足 ， 则,类型6 这种类型的一般是等式两边取倒数后换元转化为,类型3,步骤： 1）将原递推式取倒数，得,2）令 ,得,例（2006年高考江西卷）已知数列 满足 ，且 求
5、数列 的通项公式。,考题剖析,解：原递推式取倒数，得,用待定系数法构造等比数列（类型3的步骤），设,去括号，化简，与所求递推式比较，得 则 是以公比为 的等比数列。,由，得,类型7,这种类型的一般有下面两种方法 两边同除以 ，转化成类型3，进行求解。 两边同除以 时，就化成类型1，运用累加法或逐差法解决。,考题剖析,例.已知数列 中， 求数列 的通项公式。,解法一：对已知式两边同除以 ，得,令 ，则,用类型3的待定系数法求解，得,解法二：对已知式两边同除以 ，得,用类型1的累加法可得，,方法1 周期性,例题剖析,解析：这种题一般都是通过求出前几项，验证找出其周期性。,解：,故 是周期为3的周期
6、数列，故,类型8,步骤：1）构造辅助数列 使,方法2 数学归纳法 由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法。,推理：证明当n=k+1时命题也成立。,例（2002年北京春季高考）已知点的序列是线段 的中点， 是线段 的中点， 是线段 的中点， (1)写出 之间的关系式 (2)设 ，计算 ，又此推测 的通项公式，并加以证明,考题剖析,解析：（1） 是线段 的中点,（2）,猜想 下面用数学归纳法证明。,(i)n=1时已知结论成立。 (ii)假设n=k时结论成立，即,当n=k+1时，故n=k+1时结论也成立。 综上，由(i),(ii)可知，命题对所有正整数n都成立。,分析：对此类题型，我们有两种思考： 1）根据已知，求出前几项，猜想出通项，再用数学归纳法证明即可； 2）从 的关系式突破，寻找它们之间的某些关系，从而推导出 的通项公式。,
