1、2006162006 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：1-6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) .0ln(1)imcosx(2) 微分方程 的通解是 .yx(3) 设 是锥面 ( )的下侧，则2z01z23(1)xdyzxzdy.(4) 点 到平面 的距离 = .(2,10)345xyz(5) 设矩阵 ， 为 阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则 = .2AEB2AEB(6)设随机变量 与 相互独立，且均服从区间 上的均匀分布，则XY0,3= .max,1P二、选择题：9-14 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只
2、有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在 处的()yfx()0,()fxfx:0x增量， 与 分别为 在点 处对应的增量与微分，若 ，则( ):df0 (A) (B)0.xy.yd:(C) (D) (8) 设 为连续函数，则 等于( )(,)fxy140(cos,in)dfrrd(A) (B)2210(,).xdfy 2210(,).xfy(C) (D) 2210(,).yfd 2210(,).ydfdx(9) 若级数 收敛，则级数( )1na(A) 收敛. (B) 收敛.1n 1()na200616(C) 收敛. (D) 收敛.
3、 1na112na(10) 设 与 均为可微函数，且 . 已知 是 在约(,)fxy(,)(,)0yx0(,)xy(,)fx束条件 下的一个极值点，下列选项正确的是( ),0(A)若 ，则 .(xfy0(,)yfx(B)若 ，则 .0,)(C)若 ，则 .(xfy0(,)yfx(D)若 ，则 .0,)(11) 设 均为 维列向量， 是 矩阵，下列选项正确的是( )12sa nAmn(A)若 线性相关，则 线性相关.,s 12,sa(B)若 线性相关，则 线性无关.12s s(C)若 线性无关，则 线性相关.,sa 12,sA(D)若 线性无关， 线性无关. 12s sa(12) 设 为 3 阶
4、矩阵，将 的第 2 行加到第 1 行得 ，再将 的第 1 列的-1 倍加到第 2AB列得 ，记 ，则( )C01P(A) (B)1.A 1.CPA(C) (D) TP T(13) 设 为随机事件，且 ，则必有( ),B()0,(|1B(A) (B)().A.PAB(C) (D) (P()(14) 设随机变量 服从正态分布 ， 服从正态分布 ，且X21(,)NY2,)N则必有( )12|Y200616(A) (B)12.12.(C) (D) .三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)设区域 ,
5、计算二重积分 .2,1,0Dxyx21DxyId(16)(本题满分 12 分)设数列 满足 .nx110,sin1,2xx(I)证明 存在,并求该极限 ；lim(II)计算 .21linxn(17)(本题满分 12 分)将函数 展开成 的幂级数 .2xfx(18)(本题满分 12 分)设函数 在 内具有二阶导数，且 满足等式fu0,2zfxy2zxy(I) 验证 .0fuf(II) 若 求函数 的表达式.1,1,fffu(19)(本题满分 12 分)设在上半平面 内,函数 是有连续偏导数,且对任意的,0Dxyfxy都有 .0t2,fttf证明: 对 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 ，都有 D
6、L200616,0Lyfxdfy:(20)(本题满分 9 分)已知非齐次线性方程组 有 个线性无关的解1234145xxab3(I) 证明方程组系数矩阵 的秩 ;Ar(II) 求 的值及方程组的通解.,ab(21)(本题满分 9 分)设 阶实对称矩阵 的各行元素之和均为 ,向量 是3A312,0,1TT线性方程组 的两个解.0x(I) 求 的特征值与特征向量 (II) 求正交矩阵 和对角矩阵 ,使得 .QTQA(22)(本题满分 9 分)随机变量 的概率密度为 x1,102,240Xxfx其 他为二维随机变量 的分布函数.求2,yXFxy令 (,)Y(I) 的概率密度 ; (II) .YYf
7、1,42F(23)(本题满分 9 分) 设总体 的概率密度为 . X ,01,01201,xfx其 中 是 未 知 参 数其 它为来自总体 的简单随机样本,记 为样本值 中小于 的个数,求12n,. N12,.nx的最大似然估计.2006162006 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(1)【答案】2.【详解】由等价无穷小替换， 时， ，0x21ln(1),cosxx:=2200ln(1)imlicosxx(2)【答案】 .xCe【详解】分离变量，(1)dyx(1)dyx1()dyx1dyxdlnclnlnyxcexyCe(3)【答案】 2【详解】补一个曲面 ,取上侧，则 组
8、成的封闭立体 满足高斯公式，21:xyz1 11()PQRdvPydzQxRdyIxyz 设 ，则,2,3(1)236xyz ( 为锥面 和平面 所围区域) ( 为上述圆锥体体积)I6dxyz1V注：以下几种解法针对于不同的方法求圆锥体体积方法 1： (高中方法，圆锥的体积公式，这种方法最简便)I23而 ( 在 上： )1 1)0xdyzxzdy 1,0zd方法 2：先二重积分，后定积分.因为 ， ， ， ， ，0VSz2rxy22rxy2rz2Srz200616所以 .从而1122003Vzd 623IV方法 3：利用球面坐标. 在球坐标下为： ，1cos1224cos006inIdd243
9、00sincod2430s()co 422001()()s2方法 4：利用柱面坐标 . 21006rIddz2100()rd1223006()2(4)【答案】 2【详解】代入点 到平面 的距离公式0(,)Pxyz0AxByCzD022642915ABd(5)【答案】 【详解】由已知条件 变形得， , 两边取行BAE2BAE()2BAE列式, 得()24其中， ， 2101AE 2E4因此， .42B(6)【答案】 19【详解】根据独立性原理：若事件 独立，则1,nA2006161212n nPAPA 事件 ，而随机变量 与 均服max,XYYXYXY从区间 上的均匀分布，有 和 . 又随机0,
10、3 103dx103dy变量 与 相互独立，所以，ax(,)1,PyPxYPY9二、选择题.(7)【答案】 A【详解】方法 1： 图示法. 因为 则 严格单调增加；因为 则 是凹函数，又()0,fx()fx()0,fx()fx，画 的图形:2结合图形分析，就可以明显得出结论： .0dy:方法 2：用两次拉格朗日中值定理(前两项用拉氏定理)0 0()()ydfxfxfx:(再用一次拉氏定理)0, 其中f000,x:由于 ，从而 . 又由于 ，故选()fxyddyfA方法 3： 用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式：，000()()fffx()20 00 0() )!nnfxfxR其中 . 此时
11、 取 1 代入，可得(1)00()!nnnfRxO x0 x0+x xyy=f(x) ydy20061620001()()()0ydfxfxfxfx又由 ，选 .)A(8)【答案】 ()C【详解】记 ，则区域 的极坐标表示是：140(cos,in)(,)DdfrrdfxydD， . 题目考察极坐标和直角坐标的互化问题，画出积分区间，结合图r形可以看出，直角坐标的积分范围(注意 与 在第一象限的交点是yx21y)，于是 2（ ， ） 2:0,所以，原式 . 因此选 2210(,)ydfxd ()C(9) 【答案】 D【详解】方法 1：数列收敛的性质：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛因为
12、收敛，所以 也收敛，所以 收敛，从而 也收敛.选 D.na1na 1()na12na方法 2：记 ，则 收敛. 但 ，( 级数， 级数发散)；()1n11nnp( 级数， 级数发散)均发散。由排除法可知，应选 D.1nap(10) 【答案】 D【详解】方法 1： 化条件极值问题为一元函数极值问题。已知 ，由 ，在 邻域，可确定隐函数 ，0(,)xy(,)0xy0,)xy（ ()yx满足 ， 。d是 在条件 下的一个极值点 是 0,)（ (,)f(,) 0x的极值点。它的必要条件是(zfxy0 000,x xfyfxyddx 0000(,)(,)(,)xyxyff若 ，则 ，或 ，因此不选 ，
13、.(,)f 0(,)yf , A(B若 ，则 (否则 ). 因此选0,xfy0,yfx0xdz()D200616方法 2：用拉格朗日乘子法. 引入函数 ，有(,)(,)(,)Fxyfxy(,)(,)01(2),xxyyFf因为 ，所以 ，代入(1)得0(,)yx0(,)yfx000(,)(,)(,)yxxff若 ，则 ，选0,xf0(,)yf()D(11)【答案】A【详解】方法 1：若 线性相关, 则由线性相关定义存在不全为 的数 使得 2,s 012s,k0skk为了得到 的形式，用 左乘等式两边, 得12,sA A0skk于是存在不全为 的数 使得成立，所以 线性相关.012s, 12,s
14、A方法 ：如果用秩来解,则更加简单明了. 只要熟悉两个基本性质, 它们是:21. 线性相关 ；2. . 12,s 12(,)sr ()rB矩阵 , 设 ， 则()s sAA 12s,由 得 . 所以答案应该为( ).()rB1212,()ssrr A(12) 【答案】【详解】用初等矩阵在乘法中的作用(矩阵左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵进行初等行变换或列变换)得出将 的第 2 行加到第 1 行得 ，即 AB10A 记 P200616将 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得 ，即BC10B 记 BQ因为 ，故 . PQ01E1QP从而 ,故选( ).1CBPAB(13)【答案】C【详解】本题考条
15、件概率的概念和概率的一般加法公式根据条件概率的定义，当 时， 得()0PB1PABBP根据加法公式有 ,故选(C)A(14) 【答案】A.【详解】由于 与 的分布不同，不能直接判断 和 的大小XY1|PX2|1PY与参数关系. 如果将其标准化后就可以方便地进行比较了。随机变量标准化，有 ，且其概率密度函数是偶函数. 所以1(0,)N.11()()XP11122()02()XP同理有， 22()()Y因为 是单调递增函数，当 时， ()x12|1PXPY1()，即 ，所以 ，故选(A).21()1212三、解答题(15)【详解】积分区域对称于 轴， 为 的奇函数，x21y200616从而知 20
16、1Dxyd所以 1212 02 20ln()lnrIydrx极 坐 标(16)【详解】(I) 由于 时， ，于是 ,说明数列0sinx1sinnxx单调减少且 . 由单调有界准则知 存在.记为 . nxnxlmA递推公式两边取极限得 si,0A(II) 原式 ，为“ ”型. 21sinlm()nx=因为离散型不能直接用洛必达法则，先考虑 210sinlm()tt210sinl()tt20sinlim()tte201(cosi)lisin2ttte:30cosinli2tt200cosincssinli lm66t tttte1所以 2 2 21110iili()l()l()n nxxxn=(1
17、7)【详解】用分解法转化为求 的展开式，而这是已知的.1ax由于 211)(32x x（ 1362x00136nnx()因此 .10()2nnnfx()x(18)【详解】(I)由于题目是验证，只要将二阶偏导数求出来代入题目中给的等式就可以了 2 22 2;zxzyfxyfxy 200616222 22 22xxyzxfxyf 22 2322f fxy 同理 2 22 2322zyxfxfy y 代入 ，得 ，20x22()0ffxx 所以 成立.()fuf(II) 令 于是上述方程成为 ，则 ，()fp dpudpuc即 ，所以 lnluc()cf因为 ，所以 ，得 (1)f12lnf又因为
18、，所以 ，得 020c()u(19)【详解】方法 1：把 两边对 求导，得：2(,)(,)ftxytfxyt3(,)xyft令 ，则 ；(,)(,)2(,)xyffxfxy再令 ，,PyQ所以 ，(,)(,)xffyx(,)(,)yPfxf得 ，所以由格林公式知结论成立.y方法 2： 是单连通区域，对于 内的任意分段光滑简单闭曲线 ， 为 内的一曲线DDLD(,)(,)0Lfxdfxy:在 内与路径无关yd200616(,)(,)xfyfxy(,)D20xxy同方法 1，由 可证得上式.2(,)(,)ftytfxy因此结论成立.(20)【详解】(I)系数矩阵 未知量的个数为 ，且又 有三143
19、5Aab4nAXb个线性无关解，设 是方程组的 3 个线性无关的解, 则 是123, 2131,的两个线性无关的解. 因为 线性无关又是齐次方程的解，于是0AX2131的基础解系中解的个数不少于 2, 得 , 从而 .4()rA()r又因为 的行向量是两两线性无关的, 所以 . 所以 .22(II)对方程组的增广矩阵作初等行变换:= Ab21431| 1|1435053| 3|aababa 3211|05,42|42ab 由 , 得 ， 即 .()2rA5ab,3所以 作初等行变换后化为； ，b1024|5|0它的同解方程组 1342xx中令 求出 的一个特解 ；340x,AXb(2,0)T的
20、同解方程组是 AX13425xx200616取 代入得 ；取 代入得 . 所以3410x,(2,10)T341x,(4,501)T的基础解系为 ，AX(,5)T所以方程组 的通解为：b， 为任意常数 12(2,30)(,0)(4,01)TTTcc2,c(21)【详解】(I) 由题设条件 ， ，故 是 的对应于11A22A12,A的特征向量，又因为 线性无关，故 至少是 的二重特征值. 又因为02, 0的每行元素之和为 ，所以有 ，由特征值、特征向量的A3(,)(3,)(,)TTT定义， 是 的特征向量, 特征值为 ， 只能是单根， 是0(1,)TA330k,全体特征向量，从而知 是二重特征值.
21、0于是 的特征值为 ；属于 的特征向量: ；属于 的特征向量: 3, 3k,， 不都为 .12k12,k() 为了求出可逆矩阵必须对特征向量进行单位正交化 .先将 单位化, 得 .003(, )T对 作施密特正交化, 得 , .1212(0, , )T26(, )3T作 , 则 是正交矩阵,并且 123(,)QQ-1 0 TAQ(22)【详解】 , 由于 是分段函数，所以在计算 时，要相()YfyF()Xfx2PXy应分段讨论. 求 只是与 有关，14211,4(,4),2PY不必先求出 的函数.(,)xy(I) 因为 ，当 时，2YFyXy0()0;YFy当 时， ；01y0013()4yP
22、dx200616当 时， ；14y0101()242yYFyPXydxy当 时，1;综上所述，有 20, 0314() 1,4 Y yFyPyXyy由概率密度是分布函数在对应区间上的的微分，所以， 3,0181(),40Y yfyF其 他这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对 y 进行适当的讨论即可，属于基本题型.() 由协方差的计算公式 232cov(,)c(,)()()XYEX需要计算 ， ， .(EX） 2)3E；02-101(4xxfdd（ ）；222- -105)6Xxf（ ）.330233- -107()48XExfdd（ ）故 232cov(,)c,(YEX） ） ） 1
23、52.63(III) 根据二维随机变量的定义 ，有,),FabPaYb21111(,4)(,4,422 2FPXYX由一维概率计算公式 有， .()bXaafxd),(F124dx200616(23)【答案】 的矩估计 ； 的最大似然估计32X.Nn【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)，所以矩估计的关键在于找出总体的矩 .()E最大似然估计，实质上就是找出使似然函数最大的那个参数，问题的关键在于构造似然函数. 样本值中 小于 1 的概率是 ， 大于 1 的概率是 . 因此，似然函数应为：ixix1();().nNniiLf(I) 由数学期望的定义： 201()(;)(-)EXxfdxxd13()2样本均值 1nii用样本均值估计期望有 即 ，解得 .EX32X32X所以参数 的矩估计为 . 其中 .1nii() 对样本 按照 或者 进行分类，不妨设： ，nx,2112,ppNx 1. 似然函数12,pNpnxx ，1212(),()0,NppNpNpnxxxL ， 其 他在 ， 时，等式两边同取自然对数得12,ppNx 12,ppn，)l(ln)(l 由于 和 在 的同一点取得最大值，所以令L，01)(ld解得 ，所以 的最大似然估计值为 .NnNn
