1、 1 4.4 角动量算符的本征值和本征态 4.4.1 角动量算符的球坐标表示 轨道角动量 算符的定义是： i,L r p r 即是 i , i , i , x y zL y z L z x L x yz y x z y x 它们满足 对易关系 , i , , i , , ix y z y z x z x yL L L L L L L L L , 或 简记为 , i , ( , , , , 1 , 2 , 3 )i j ijk kL L L i j k x y z 其中 ijk 是“完全反对称三阶单位张量”，它的非零 分量是 1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2
2、 1, 此外定义 2 2 2 2 2 ,x y zL L L L L 那么就有 2 2 2 , , , 0 .x y zL L L L L L 所以，这些算符的 完备集是 2L 以及 ,x y zL L L 之中的某一个，通常选为 zL 。我们的任务是求解 2L 和 zL的同时本征方程（注意 ： 这和动量算符的情况完全不同）。 这些方程更便于从 直角坐标 系 ( , , )xyz 转入球坐标 系 ( , , )r 求 解。这个变换是 s i n c o s , s i n s i n , c o s , x r y r z r 其中 0 , ) , 0 , , 0 , 2 ) ,r 那么， ,
3、i zL 2222211s in .s in s inL 注意：它们与 r 无关。 目前 暂时用不到 xL 和 yL 的表达式 。 4.4.2 zL 的本征值和本征函数 记 zL 的本征值为 m ，本征函数为 )(m ，则本征方程是： , mmz mL 即是： ),(i mm mdd 所以 i( ) e mm C 。 由波函数的单值性，必须有： ),()2( mm 所以 ,2,1,0 m 归一化条件 2 20 ( ) 1m d 导致 1/ 2C ，所以 2 i1( ) e2 mm . 这些本征函数可以用于求解平面转子问题。 注。 这里出现 了 量子数 m (整数集 )的 情形，其 数学原因是圆
4、周 1S 的第一同伦群 是 ，所以 m 在本质上是一个拓扑量子数， 数学上称为 第一 Chern（陈省身）数，物理上 称为 绕数 (winding number)。 4.4.3 2L 的本征值和本征函数 2L 的本征函数是 ),( 的函数，记为 ),( Y ，本征值记为 2 ，则本征方程是 22,L Y Y 即是 22211s in ( , ) .s in s inYY Y 我们要求 ( , )Y 同时是 zL 的本征函数，这个要求等价于 ( , )Y 是一个分离变量的 解，也就是 i( , ) ( ) e ,mYP 因而 )(P 满足： 221 s in ( ) ( ) .s in s in
5、d d P m PPdd 通常引入 c o s , 1, 1,ww 则方程成为： 222( 1 ) ( ) 0 .1d d P mw P wd w d w w 这个方程称为 连 带 (associated)（又称 缔合 ） 勒让德 (Legendre)方程。 1w 是这个方程的奇点 ， 所以 ，除非 取某些特定值，方程的解会 在 1w 处变成无穷大。 的这些允许值是： ( 1 ) , , 1 ,l l l m m 我们把对应的解记为 )(wPml ，所以 )(wPml 满足方程 222( 1 ) ( 1 ) ( ) 0 .1m mlldPdmw l l P wd w d w w 特别是，当 0
6、m 时， )()( 0 wPwP mll 满足： 2(1 ) ( 1 ) ( ) 0 .l ldPd w l l P wd w d w 这个方程称为 Legendre 方程，它的解 )(wPl 是 w 的 l 阶多项式，称为 Legendre多项式 ，定义为 .)1(!2 1)( 2 lllll wdwdlwP 直接求导就不难 验证 )(wPl 满足 Legendre 方程。 )(wPl 还有如下的母函数（生成函数） 展开式： 2 01 ( ) . ( 0 1 , 1 1 )12 lll P w x x ww x x 头三阶 Legendre 多项式 是 0( ) 1,Pw 1( ) ,P w
7、 w 22 1( ) (3 1).2P w w 3 连带 Legendre 方程的解 )(wPml 称为 连带 Legendre 函数 ，定义为 2 / 2 21( ) ( 1 ) ( 1 ) . ( , 1 , , )2! lmm m ll l l mdP w w w m l l ll d w 事实上，在 0m 的时候， 2 / 2( ) (1 ) ( ) ,mmmllmdP w w P wdw 而 ()mlPw 和 )(wPml 只有常数因子的差别： ( ) !( ) ( 1 ) ( ) .( ) !m m mlllmP w P wlm 例如 1 ( ) ( 1, 0, 1)mP w m
8、是 1 2 0 1 21 1 1 1( ) 1 , ( ) , ( ) 1 ,2 P w w P w w P w w 换为变量 的表达式就是 1 0 11 1 1 1( c o s ) s i n , ( c o s ) c o s , ( ) s i n .2 P P P w 综上所述 ， 轨道角动量的本征函数是 i( , ) ( c o s ) e ,mmlm lm lY N P 其中本征值 ml, 的取值范围是 0 , 1 , 2 , , 1 , , .l m l l l lmN 是归一化常数，使 ( , ) ( , ) 1 , ( s i n )lm lmY Y d d d d 结果是
9、 （关于 lmN 的相位的选择以后再解释） ( 2 1 ) ( ) !( 1 ) ,4 ( ) !mlm l l mN lm 最后得 i( 2 1 ) ( ) !( , ) ( 1 ) ( c o s ) e .4 ( ) !m m mlm ll l mYP lm ),( lmY 称为 球谐函数 ， l 称为 角量子数 ， m 称为 磁量子数 。采用原子物理的术语， 0,1,2,3l 的状态分别称为 S, P, D, F 态 ， 4,5,6,l 的状态 按字母表的顺序 依次 称为 G, H, I, 态 。对于指定的 l ，有 12l 个不同的 m 值，这就是 2L 的本征值 2)1( ll 的
10、简并度。 0l 和 1l 的球谐函数是： ,4100 Y i1 0 1 , 133c o s , s in e .48YY 注意 到 1 ( 0, 1)mYm也可以写为1 0 1 , 133 , ( i ) , , , ,48 x y zY z Y x y x y z r r r ， 所以 1 1 ,1 1 , 1 1 1 ,1 1 , 1 1 1 01 3 i 3 3 ( ) , ( ) , .4 4 422x y zY Y Y x Y Y Y y Y Y z 这表明 ， 3 个 1 阶球谐函数实际上就是单位矢径 /r r r 的 3 个分量。 4.4.4 球谐函数的基本性质 (1) ),(
11、 lmY 是 2L 和 zL 的同时本征函数： 4 22( 1 ) , ( 0 , 1 , 2 , ) . ( , 1 , , )lm lmz lm lmL Y l l Y lL Y m Y m l l l (2) ),( lmY 是正交归一的： ( , ) ( , ) .l m lm l l m mY Y d (3) 空间反射变换 ( , , )r r x x y y z z 在球坐标系 ),( r 中成为 ,rr . 当 时 ww ，利用 ( ) ( 1) ( )m l m mllP w P w 和 ),( lmY 的表达式 ， 不难发现 ),()1(),( lmllm YY , 所以， ),( lmY 的宇称是 l)1( 。 (4) 球谐函数 ),( lmY 是单位球面（ 1r ） 上的完备函数系，也就是说，以 (, ) 为变量的任何函数都可以展开为 ),( lmY 的线性组合。 在经典力学里动量和角动量都是矢量，二者的区别只是动量是极矢量而角动量是 轴矢量 。但是在量子力学里动量和角动量的区别要大得多。请思考一下 这些区别 都有哪些？
