1、. .Word 格式高一求求函数值域的 7 类题型和 15 种方法讲义题型一：一次函数 0yaxb的值域（最值）1、一次函数： 当其定义域为 R，其值域为 ；2、一次函数 在区间 ,mn上的最值，只需分别求出 ,fmn，并比较它们的大小即可。若区间的形式为 ,n或 ,等时，需结合函数图像来确定函数的值域。题型二：二次函数 )0()(2acbxf的值域（最值）1、二次函数 )()(2axf， 当其 定义域为 R时，其值域为24 0 acbya2、二次函数 )0()(2cbf在区间 ,mn上的值域(最值)首先判定其对称轴 xa与区间 的位置关系（1）若 ,2mn,则当 0时， ()2bfa是函数的
2、最小值，最大值为 (),fmn中较大者；当时， 是函数的最大值，最大值为 中较小者。（2）若 ,bna,只需比较 (),fn的大小即可决定函数的最大（小）值。特别提醒：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；若给定的区间形式是 ,bab等时，要结合图像来确函数的值域；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。例 1：已知 2fx的定义域为 3,，则 fx的定义域为 ,1 。例 2：已知 1，且 4x，则 的值域为 7 。题型三：一次分式函数的值域1、反比例函数 )0(kxy的定义域为 0x，值域为 0y2、形如： cdab的值域：（1）若定义域为 xR
3、a时，其值域为 cyRa（2）若 ,mn时，我们把原函数变形为 dbx，然后利用 ,xmn（即 x的有界性），便可求出函数的值域。. .Word 格式例 3：函数 231xyA的值域为 1,3, ；若 1,2x时，其值域为 1,5 。例 4：当 ,时，函数 2xy的值域 4, 。 练习：已知 31xf，且 ,，则 fx的值域为 6,5 。题型四：二次分式函数2decyab的值域一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题： 检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；闭区间的边界值也要考查达到该值时的 x是否存在；分子、分母必须是既约分式。例
4、6：216xy； 2,7例 7： 2； 1yR例 8： 43xy； 3,4例 9：求函数 21 1,x的值域解：由原函数变形、整理可得： 210yxy求原函数在区间 ,上的值域，即求使上述方程在 ,有实数解时系数 y的取值范围当 0y时，解得： 1,x 也就是说， 是原函数值域中的一个值 当 时，上述方程要在区间 上有解，即要满足 f或021yA解得： 108y 综合得：原函数的值域为： ,8题型五：形如 yaxbcd的值域 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题，然后求其值域。例 10： 求函数 142在 ,1x时的值域 4,题型六：分段函数的值域：一般分别求出每一分段上函
5、数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。例 11： 21xy 3,练习： 24 5题型七：复合函数的值域 对于求复合函数的值域的方法是：首先求出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。. .Word 格式例 13： 12xy 0,2练习： 34 5,函数值域求解的十五种求法（1）直接法（俗名分析观察法）：通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。即从自变量 x的范围出发，推出 ()yfx的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。注意此法关
6、键是定义域。例 1：已知函数 12xy， 2,10x，求函数的值域。 1,03练习：求函数 的值域。 ,)例 3：求函数 ,yxx 的值域。 2练习：求函数 2610的值域。 1,（2）配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。对于形如 2yaxbc或 20Fxafbfxca类的函数的值域问题，均可使用配方法。例 1求函数 32的值域。分析与解答：因为 0x，即 1x， 4)1(2xy，于是：4)(02x， 20y。例 2求函数 x2在区间 4,x的值域。分析与解答：由 y2配方得： 62xxy，当 41x时，函数 4x是单
7、调减函数，所以 4186y；当 2时，函数 2y是单调增函数，所以 7。所以函数在区间 4,x的值域是 4186y。（3）最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的值域的方法。例 1 求函数 y=3-2x-x2当定义域为-3，1的值域。. .Word 格式解：由 3-2x-x20，解出。 函数 y 在-3，1内是连续的，在定义域内由 3-2x-x2 的最大值为 4，最小值为 0。 函数的值域是0,2练习：求函数 xy， 2,的值域。 1,4（4）反函数法（逆求或反求法）：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。即通过反解，用
8、 y来表示 x，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 y的取值范围。对于形如)0(abxdcy的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。例 1：求函数 12xy的值域。解：由x解得 xy， 20x， 10y， 1y函数 12xy的值域为 (1,)。（5）分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数 )0(cdxbay，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为 cay；如果是条件定义域（对自变量有附加条件） ，采用部分分式法将原函数化为 )(bdcxay，用复合函数法来求值
9、域。例 1：求函数 125xy的值域。解：7()125xxx，7205， 1y， 函数 y的值域为 1|2y。（6）换元法（代数/三角）：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。对形如 1yfx的函数，令 fxt；形如 (,0)yaxbcdabac均 为 常 数 的函数，. .Word 格式令 cxdt；例 1：求函数 21yx的值域。解：令 t（ 0t） ，则2tx， 2215()4ytt当 12t，即 38x时， m
10、ax54y，无最小值。函数 x的值域为 (,。练习：求函数 21)(12(2 的值域。 168|y（7）判别式法：把函数转化成关于 x的二次方程 (,)0Fxy；通过方程有实数根，判别式 0，从而求得原函数的值域。对形如2112abcy（ a、 2不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于 x 的二次方程，由于方程有实根，即 0从而求得 y 的范围，即值域。值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论。注意：主要适用于定义在 R 上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论。例 1：求函数231xy的值域。解：由2x变形得 2()(1)30yxy，当 1y时，此方程无解；当 1y时， R， 2
11、4()解得 3，又 1y， 13y函数23x的值域为 1|3y（8）函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，可考虑利用函数的单调性求出函数的值域。例 1：求函数 12yx的值域。解：当 增大时， 随 的增大而减少， 12x随 的增大而增大，函数 12yx在定义域 (,2上是增函数。 12y，函数 的值域为 1,。例 2求函数 xy在区间 0上的值域。. .Word 格式分析与解答：任取 ,0,21x，且 21x，则2121fxf ，因为 210，所以： 0,2121xx，当 21时， 0x，则 21xff；当 0x时， 21，则 ；而当 1x时， 2miny于是：函数
12、xy在区间 ,上的值域为 ),。（10）函数有界性法： 利用某些函数有界性求得原函数的值域。例 1：求函数21yx的值域。解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为 R，对函数进行变形可得2()(1)yy， ， 21yx（ x， 1y） ， 0y， ，函数21x的值域为 |练习求函数 12x的值域 0, yy或（11）数型结合法：如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域，如由 12yx可联想到两点 1,xy与 2,连线的斜率或距离。例 1：求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域。解法 1：将函数化为分
13、段函数形式： )2(13xy，画出它的图象，由图象可知，函数的值域是 y|y3。解法 2（几何法或图象法）：函数 y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点 x 到两定点-1，2 的距离之和，易见 y 的最小值是 3，函数的值域是3，+ 。如图O 1 2-1x O 1 2-1 x O 1 2-1 x ）2-13xOy. .Word 格式（12）复合函数法：对函数 (),()yfugx，先求 ()ugx的值域充当 ()yfu的定义域，从而求出 ()yfu的值域的方法。例 1、求函数 13x 的值域（复合函数法）设 tx ，则 11313tyxx0101tt0原 函 数 的 值 域 为练习：求函数
14、 21log(53)yx的值域。 49,8（13）非负数法根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。例 1、(1)求函数 216xy的值域。 (2)求函数 132xy的值域。解析：(1) 02， 41602故 所求函数的值域为 40，y。(2) 12x， 原函数可化为 3)(xy，即 3)(2x， 当 1y时，y32， 02， 013y，解得 1 又 y， 所以 y，故 所求函数的值域为 ），。练习：求下列函数的值域：（1） y= 26x； （2） y=2410x； （3） y=10- 216x； （4） y=3()41)； （14） “平方开方法”.本文将指出适合采用
15、“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题.1.适合函数特征设 ()fx（ D）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法” ，则它通常具有如下三个特征：（1） f的值总是非负，即对于任意的 xD， ()0f恒成立；. .Word 格式2,4,21,05853)(222原 函 数 值 域 为得由yxx（2） ()fx具有两个函数加和的形式，即 12()()fxfx（ D） ；（3） f的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即 221()()()fxffxcgx（ ， c为常数） ，其中，新函数 ()g（ D）的值域比较容易求得.2.运算步骤若函
16、数 ()fx（ ）具备了上述的三个特征，则可以将 ()fx先平方、再开方，从而得到()fxcg（ ， c为常数）.然后，利用 ()gx的值域便可轻易地求出 ()fx的值域.例如,uv，则显然 (),fxuv.3.应用四例能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧.例 1 求函数 ()fxbxa（ ,b， a）的值域.解：首先，当 ,a时， ()0f；其次， ()fx是函数 1fxb与 2()fxa的和；最后， 2 22()()fbaaxba可见，函数 ()x满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对 ()fx平方、开方得2() )f
17、xbaabx（ ,ab）.这里， 2()gxab（ ,xab）.对g根号下面的二次函数采用“配方法” ，即可求得 的值域为 0,.于是， ()f的值域为,2()ba.练习： 求函数 xy53 的值域解：（平方法）函数定义域为： 5,3x2,4,21,05853)(222原 函 数 值 域 为得由yxx )(2原 函 数 值 域 为得由 2,41,08)(32原 函 数 值 域 为得由 （15）一一映射法. .Word 格式原理：因为)0c(dxbay在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。例 1. 求函数 123的值域。解：定义域为 21x|或由 1x3y得 3y2故 213yx或 3y解得或故函数的值域为,23,欢迎您的光临，Word 文档下载后可修改编辑.双击可删除页眉页脚.谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。赠语； 1、如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑，那么我们索性就做得更好，来给人笑吧！ 2、现在你不玩命的学，以后命玩你。3、我不知道年少轻狂，我只知道胜者为王。4、不要做金钱、权利的奴隶；应学会做“金钱、权利”的主人。5、什么时候离光明最近？那就是你觉得黑暗太黑的时候。6、最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。 7、压力不是有人比你努力，而是那些比你牛几倍的人依然比你努力。
