1、1积分因子的求法及简单应用1. 恰当微分方程的概念及判定1.1恰当微分方程的概念我们可以将一阶方程 ,dyfx写成微分形式 ,0fy或把 x,y 平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程 ,MxdNx这里假设 M(x,y)，N(x,y)在某矩形域内是 x，y 的连续函数，且具有连续的一阶偏导数，如果方程的左端恰好是某个二元函数 u(x,y)的全微分.即 ,uMxydNxydxydy则称方程为恰当微分方程. 11.2 恰当微分方程的判定定理 1 假设函数 M(x,y)和 N(x,y)在某矩形域内是 x，y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数，则方程是恰当微分方程的充分必要条件是在此区域内恒有
2、.MNyx利用定理 1 我们就可以判定出一个微分方程是否是恰当微分方程.2. 积分因子如果对于方程在某矩形域内 ，此时方程就称为非恰当微分方MNyx程。对于非恰当微分方程，如果存在某个连续可微的函数 u(x,y)0,使得2为恰当微分方程，则称 u(x,y)为方程,0uxyMdxuyNxdy的 1 个积分因子.注 可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的.定理 2 函数 u(x,y)是方程的积分因子的充要条件是 uMNNuxyx3. 积分因子求法举例3.1 观察法对于一些简单的微分方程，用观察法就可以得出积分因子如: 有积分因子0ydx1xy 有积分因子 ， ， ， ，21
3、xy221xy例 1 找出微分方程 的一个积分因子.10xydd解 将原方程各项重新组合可以写成 xy由于 是 的积分因子， 也是 的积分因子，从而原方1xydxy1dxy程有积分因子 .2观察法只运用于求解简单的微分方程的积分因子，有的可以直接看出，有的需要先将原方程重新组合，再运用观察法得出.3.2 公式法引理 1 微分方程存在形如： ， ， ， ，uxyuxy3， 的积分因子的充要条件有：2uxyux 方程存在仅与 x 有关的积分因子的充要条件：， 是仅与 x 有关的函数；1MNxy 方程存在仅与 y 有关的积分因子的充要条件：， 是仅与 y 有关的函数；1yx 方程有形如 的积分因子的
4、充要条件：uy， 是仅与 x+y 有关的函数，MNxxyy， 是仅与 x-y 有关的函数；xxyNy 方程有形如 的积分因子的充要条件：u， 是仅与 xy 有关的函数；MyxxNy 方程有形如 的积分因子的充要条件：2u， 是仅与 有关的函数，22yxxNM2y2xy， 是仅与 有关的函数；2yxx2y2xy 方程有形如 的积分因子的充要条件：ux4， 是仅与 有关的函数。21MNyxxyx若方程中的 M(x,y)，N(x,y)以及 ， 的关系满足以上 6 个充要条件N之一时，则方程的积分因子 u(x,y)都可由一阶线性齐次微分方程求得（其中 是 的函数）. 可以取 ， ， ，ln,duxyz
5、zzzxy， ， ，由此可得 .xy2xzdue我们将上述引理归结为求积分因子的公式法.例 2 求解微分方程 的积分因子.23320ydxyd解 由于 ，MNyx,Mxy观察可得： 是关于 xy 的函数1,xyxy故原方程有积分因子： .1,dxyue3.3 分组求积分因子法定理 3 若 u 为方程的一个积分因子，且 ，则 也uMdxNyvu是方程的积分因子，其中 是 v 的任一连续可微函数 .也可以说微分方程 120MdxNydxy是第一部分的积分因子，即1u111uMNdu是第二部分的积分因子，即2 222xy从 ， 中选择满足 的 和 ，其中 ，12u112u1u是分别关于 ， 的连续可微函数，这样 是原方程的积分因子.212 u5例 3 求解微分方程 的积分因子.32570xydxyd解 将原方程各项重新组合 232是第一部分的积分因子12uxy2532153lnxyddxy是第二部分的积分因子231uxy323717lnydxydxy即 ， 分别是第一、二部分的积分因子531uxy32u需满足 7xy令 ，53531xy3372则 217y所以 ，得到5312故 原微分方程的积分因子为 .,uxy
