1、一元二次方程根与系数的关系在二次函数综合题中的运用1 已知抛物线 y1= 过点 A(1,0)，顶点为 B，且抛物线不经过第三象2(0,)axbcac限。（1）使用 a、 c 表示 b;（2）判断点 B 所在象限，并说明理由；（3）若直线 y2=2x+m 经过点 B，且于该抛物线交于另一点 C( ),求当 x1 时 y1 的取,8cba值范围。2 如图，抛物线 y=ax2+c（a 0）经过 C（2，0） ，D（0，1）两点，并与直线 y=kx 交于A、B 两点，直线 l 过点 E（ 0， 2）且平行于 x 轴，过 A、B 两点分别作直线 l 的垂线，垂足分别为点 M、N（1）求此抛物线的解析式；
2、（2）求证：AO=AM；（3）探究：当 k=0 时，直线 y=kx 与 x 轴重合，求出此时 的值；试说明无论 k 取何值， 的值都等于同一个常数3 已知关于 x 的二次函数 y=x22mx+m2+m 的图象与关于 x 的函数 y=kx+1 的图象交于两点A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ；（x 1x 2）（1）当 k=1，m=0，1 时，求 AB 的长；（2）当 k=1，m 为任何值时，猜想 AB 的长是否不变？并证明你的猜想（3）当 m=0，无论 k 为何值时，猜想 AOB 的形状证明你的猜想（平面内两点间的距离公式 ） 4 如图所示，已知直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，
3、抛物线ykxmyAC经过 、 两点，点 是抛物线与 轴的另一个交点，当 时，2yxbcACBx12x取最大值 .54（1）求抛物线和直线的解析式；（2）设点 是直线 上一点，且 ABP ： BPC ，求点 的坐标；PSA1:3P（3）若直线 与（1）中所求的抛物线交于 、 两点，问:2yxaMN是否存在 的值，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请09ONa说明理由；猜想当 时， 的取值范围（不写过程，直接写结论）.09Ma（参考公式：在平面直角坐标系中，若 ， ，则 ， 两点1(,)Mxy2(,)NxyMN间的距离为 ）2211()()MNxy1 解析：（1）抛物线 y1=ax2+bx+c
4、（a0，a c） ，经过 A（1，0） ，把点代入函数即可得到：b=ac；（2）B 在第四象限理由如下：抛物线 y1=ax2+bx+c（a0，a c）过点 A（1，0） ， ，所以抛物线与 x 轴有两个交点， 又因为抛物线不经过第三象限，所以 a0，且顶点在第四象限；（3） ，且在抛物线上，b+8=0 ，b=8， a+c=b， a+c=8，把 B、C 两点代入直线解析式易得：ca=4，即 解得： ，如图所示，C 在 A 的右侧，当 x1 时， 2 解析：（1）解：抛物线 y=ax2+c（a0）经过 C（2，0） ，D （0， 1） ， ， 解得 ， 所以，抛物线的解析式为 y= x21；（2）
5、证明：设点 A 的坐标为（ m， m21） ，则 AO= = m2+1，直线 l 过点 E（0， 2）且平行于 x 轴， 点 M 的纵坐标为2，AM= m21（2）= m2+1，AO=AM；（3）解：k=0 时，直线 y=kx 与 x 轴重合，点 A、B 在 x 轴上，AM=BN=0（2）=2， + = + =1；k 取任何值时，设点 A（x 1， x121） ，B （x 2， x221） ，则 + = + = = ，联立 ，消掉 y 得，x 24kx4=0，由根与系数的关系得，x 1+x2=4k，x 1x2=4，所以，x 12+x22=（x 1+x2） 22x1x2=16k2+8，x12x2
6、2=16， + = = =1，无论 k 取何值， + 的值都等于同一个常数 13 解析：（1）当 k=1，m=0 时，如图由 得 x2x1=0，x1+x2=1，x 1x2=1，过点 A、B 分别作 x 轴、y 轴的平行线，两线交于点 C直线 AB 的解析式为 y=x+1，BAC=45，ABC 是等腰直角三角形，AB= AC= |x2x1|= = ；同理，当 k=1，m=1 时，AB= ；（2）猜想：当 k=1，m 为任何值时， AB 的长不变，即 AB= 理由如下：由 ，得 x2（2m+1 ）x+m 2+m1=0，x1+x2=2m+1， x1x2=m2+m1，AB= AC= |x2x1|= =
7、（3）当 m=0， k 为任意常数时， AOB 为直角三角形，理由如下：当 k=0 时，则函数的图象为直线 y=1，由 ，得 A（1，1） ，B（1，1） ，显然AOB 为直角三角形；当 k=1 时，则一次函数为直线 y=x+1，由 ，得 x2x1=0，x1+x2=1，x 1x2=1，AB= AC= |x2x1|= = ，AB2=10，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（x 1+1） 2+（x 2+1） 2来源:学科网 ZXXK=x12+x22+（x 12+2x1+1）+（x 22+2x2+1）=2（x 12+x22）+2（x 1+
8、x2）+2来源:学科网 ZXXK=2（1+2）+2 1+2=10，AB2=OA2+OB2，AOB 是直角三角形；当 k 为任意实数，AOB 仍为直角三角形由 ，得 x2kx1=0，x1+x2=k，x 1x2=1，AB2=（x 1x2） 2+（y 1y2） 2=（x 1x2） 2+（kx 1kx2） 2=（1+k 2） （x 1x2） 2=（1+k 2） （x 1+x2） 24x1x2=（1+k 2） （4+k 2）=k4+5k2+4，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（kx 1+1） 2+（kx 2+1） 2=x12+x22+（k
9、2x12+2kx1+1）+（k 2x22+2kx2+1）=（1+k 2） （x 12+x22）+2k（x 1+x2）+2=（1+k 2） （k 2+2）+2k k+2=k4+5k2+4，AB2=OA2+OB2，AOB 为直角三角形4 解析：（1）由题意得 解得21()454bc16bc抛物线的解析式为 ，2yx(3,0)A(2,)B直线 的解析式为 （2 分）AC26yx（2）分两种情况：点 在线段 上时，过 作 轴，垂足为PPH 13ABCS 14AC HOO ， 2P494H 93(,)点 在线段 的延长线上时，过 作 轴，垂足为CAPGx 13ABPS 12 GOAOC ， 292G 9
10、(,3)P综上所述， 或 （4 分）1(,42(,3)P（3）方法 1：假设存在 的值，使直线 与（1）中所a2yxa求的抛物线 交于 、 两点26yx1(,)M(,)N（ 在 的左侧），使得MN09O由 得216yxa2312xa ，1312又 ，2yxayxa 112()()214xxACOBxyMNP Q2634a 09MON 22 221211()()xyxy 10 即2634a250a 或5存在 或 使得 （3 分）3a209MON方法 2：假设存在 的值，使直线 与（1）中所求的抛2yxa物线 交于 、 两点（ 在 轴6yx1(,)2(,)Mx上侧），使得 ，如图，过 作 于 ，过09ONP作 于NQx可证明 MP 即O12yx 即12xy1120以下过程同上当 时， （1 分）53a09MONACOBxyMNP QMN-352
